\begin{questions}
\item Pour tout $x>1$ :
\begin{align*}
f(x)-1 & =\dfrac{x^2}{2x-1}-1\\[10pt]
& =\dfrac{x^2-2x+1}{2x-1}\\[10pt]
& =\dfrac{(x-1)^2}{2x-1}\;.
\end{align*}
Or, $(x-1)^2>0$ et $2x-1>0$ donc, pour tout $x>1$,  $ f(x)-1>0 $, soit $f(x)>1$.

\item
\begin{questions}
\item Pour tout $n \in \N$, $u_0>1$ et $u_{n+1}=f(u_n)>1$ d'après la\linebreak question~1, donc $v_n=\dfrac{u_{n}-1}{u_n}$ existe ($u_n \neq 0$) et $v_n>0$.

Par conséquent $w_n=\ln (v_n)$ existe.

Les suites $(v_n)$ et $(w_n)$ sont bien définies pour tout $n \in \N$.

\item Pour tout entier naturel $n$, on a :
\[
v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}}
\quad
\text{et}
\quad
u_{n+1}=f(u_n)=\dfrac{u^{2}_{n}}{2u_n-1}.
\]


Ainsi, $\begin{aligned}[t]
v_{n+1}&=\dfrac{\frac{u^{2}_{n}}{2u_n-1}-1}{\frac{u^{2}_{n}}{2u_n-1}} \\
&=\dfrac{\frac{u_n^2-(2u_n-1)}{2u_n-1}}{\frac{u_n^2}{2u_n-1}}\\
&=\dfrac{u_n^2-2u_n+1}{u_n^2}\\
&=\dfrac{(u_n-1)^2}{u^{2}_{n}} \\
&=v^{2}_{n}.
\end{aligned}$

On en déduit alors que $w_{n+1}=\ln (v_{n+1}) =2 \ln (v_{n}) =2w_n
$.


$(w_n)$ est donc géométrique de raison $2$.

De plus, $w_0=\ln(v_0)$ et $v_0=\dfrac{u_0-1}{u_0}=\dfrac{1}{2}$, donc $w_0=-\ln 2$.
\item Pour tout $n\in\N$, on a :
\[
w_n=-\ln 2 \times 2^n=\ln \left( \dfrac{1}{2} \right) \times 2^n\]
et
\[
v_{n}=\nep^{w_n}
=\nep^{2^n\times\ln\frac{1}{2}}
=\left(\nep^{\ln\frac{1}{2}}\right)^{2^n}
=\left( \dfrac{1}{2} \right)^{2^n}.
\]
De plus,
\[ v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n} \iff u_n=\dfrac{1}{1-v_n}\;, \]
d'où :
\[ u_n=\dfrac{1}{1-\left( \dfrac{1}{2} \right)^{2^n}}. \]
On en déduit $ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n=1 $.
\end{questions}
\end{questions}
