La fonction $f$ est dérivable sur $\left]-1~;\dfrac{1}{2} \right[ \cup \left] \dfrac{1}{2}~; +\infty \right[$ et :
\[
f'(x) = -\frac{2}{(2x-1)^2} - \frac{1}{2\sqrt{x+1}}.
\]
On a donc $f'(x) < 0$ pour tout $x$ dans $\left]-1~; \dfrac{1}{2}\right[ \cup \left]\dfrac{1}{2}~;
+\infty \right[$, ce qui prouve que $f$ est strictement décroissante sur $\left]-1~;
\dfrac{1}{2}\right[$ et strictement décroissante sur $\left]\dfrac{1}{2}~; + \infty\right[$.

On a de plus $f(-1) = -\dfrac{1}{3}$, donc $f$ ne prend que des valeurs strictement négatives sur  $\left]-1~; \dfrac{1}{2}\right[$ : donc l'équation $f(x)=0$ n'a aucune solution dans cet intervalle.

Par ailleurs, $f$ est continue et strictement décroissante sur $\left]\dfrac{1}{2}~; +\infty \right[$.

De plus,
\[
\lim_{x \to \left(\frac{1}{2}\right)^{+}}f(x) = +\infty \quad \text{et} \quad \lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty\;,
\]
 donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\left]\dfrac{1}{2}~; +\infty \right[$.
\par
On remarque enfin que $f(1)=1-\sqrt2 <0$, donc
$\alpha\in\left]\dfrac{1}{2}~; 1\right[$.
