\begin{questions}
\item On doit résoudre $\ln (- 3x + 4) \leqslant 3$. La condition de validité est:
\[
-3x + 4 > 0 \iff x < \dfrac{4}{3}.
\]
On se ramène à une situation de référence où l'on pourra utiliser la propriété : $\ln(x)\leqslant\ln(y)\iff x\leqslant y$ pour $x$ et $y$ réels strictement positifs. Il faut «~équilibrer~» l'inéquation en faisant apparaître un logarithme à droite.

On écrit $3$ sous forme d'un logarithme : $ 3 = 3 \times \ln \nep = \ln \nep^3 $.
\begin{align*}
\ln(-3x + 4) \leqslant 3 & \iff \ln{(-3x + 4)} \leqslant \ln{\nep^{3}} \\
& \iff -3x + 4\leqslant \nep^3 \quad \text{(stricte monotonie de ln)} \\
& \iff x \geqslant \frac{\nep^3 - 4}{-3} \\
& \hspace*{4em}\text{(l'inégalité change de sens en divisant par $-3$)}\\
&\iff x \geqslant \frac{4 - \nep^3}{3}.
\end{align*}
On obtient finalement deux conditions:
\[ x \in \Bigl]-\infty\,; \dfrac{4}{3}\Bigr[ \quad \text{et} \quad x \geqslant \frac{4 - \nep^3}{3}. \]

Donc l'ensemble des solutions est: $\Bigl[\dfrac{4 - \nep^3}{3}\, ; \dfrac{4}{3}\Bigr[$.


\item On commence par poser les conditions de validité, garantissant l'existence de chaque logarithme.
\begin{align*}
\begin{cases}
x^2 - 4 > 0 \\
2x(x + 2) > 0
\end{cases}
& \iff
\begin{cases}
x < - 2 \text{ ou }x > 2 \\
x < - 2 \text{ ou } x > 0
\end{cases}
\parbox{3.5cm}{\raggedleft(trinôme positif à l'extérieur des racines)} \\
& \iff
\begin{cases}
x \in \left]-\infty\,; - 2  \right[ \cup \left]  2\,; + \infty\right[, \\
x \in \left]-\infty\,; - 2  \right[ \cup \left]  0\,; + \infty\right[.
\end{cases}
\end{align*}
Donc : $x \in \left] -\infty\,; -2 \right[ \cup \left]2\; + \infty\right[$.\hfill(1)

Noter que l'on a pris la conjonction des deux conditions, c'est-à-dire l'intersection des ensembles solutions de ces conditions. La condition~(1) signifie que l'on doit résoudre dans $\left]-\infty\,; -2 \right[ \cup \left]  2\,; + \infty \right[$.

Par stricte monotonie, on a :
\begin{align*}
\ln\big(x^2 - 4\big) < \ln\big(2x(x + 2)\big) & \iff x^2 - 4 < 2x(x + 2) \\
&\iff x^2 - 4 - 2x(x + 2) < 0.
\end{align*}
Or, $\begin{aligned}[t]
x^2 - 4 - 2x(x + 2) & = (x - 2)(x + 2) - 2x(x + 2) \\
                    & = (x + 2)(x - 2 - 2x) \\
                    & = (x + 2)( - x - 2) \\
                    & = -(x + 2)(x + 2)\\
                    & = -(x + 2)^2.
\end{aligned}$

Donc, l'inégalité équivaut à : $(x + 2)^2 > 0$.\hfill(2)

Le carré $(x + 2)^2$ étant positif ou nul pour tout $x \in \R$, la condition (2) équivaut à $x \neq - 2$. En résumé, les solutions de l'inéquation doivent vérifier :
\[
x \in \left] - \infty\,; -2  \right[ \cup \left]  2\,; + \infty\right[ \text{ et } x \neq -2.
\]
Donc, l'ensemble des solutions de l'inéquation est : \[ \left]-\infty\,; -2 \right[ \cup \left] 2\,; + \infty\right[. \]
\end{questions}
