\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/ILTM2026ch05exoQuotOper}}}
%\rput(-0.5,-1.1){\PictoNathanLive[Video]}
\vspace*{-5mm}

Pour résoudre l'inéquation demandée, il faut d'abord déterminer la condition d'existence du logarithme. On étudie donc le signe du quotient qui se trouve sous le logarithme.

Le signe du quotient $\dfrac{x + 2}{x - 2}$ est égal au signe du produit $(x + 2) \times (x - 2)$.

$(x+2)(x-2)>0$ est équivalent à $x <-2$ ou $x>2$.

L'inéquation à résoudre est donc définie sur $]-\infty;-2[\cup]2;+\infty[$.

\begin{align*}
\ln\left(\dfrac{x + 2}{x - 2}\right) > 1 &
\iff \ln\left(\dfrac{x + 2}{x - 2}\right) > \ln\nep\\
& \iff \dfrac{x + 2}{x - 2} > \nep \text{ (d'après la propriété du cours page \pageref{ln:conservation})}.
\end{align*}
\begin{attention}
Pour résoudre cette inéquation, il ne faut surtout pas multiplier les deux membres par $(x-2)$ car le signe de cette expression est variable.
\end{attention}

\begin{align*}
\frac{x + 2}{x - 2} > \nep & \iff \frac{x + 2}{x - 2} - \nep > 0 \\
& \iff \frac{x + 2 - \nep (x - 2)}{x - 2} > 0 \\
& \iff \frac{(1 - \nep )x + 2(1 + \nep )}{x - 2} > 0.
\end{align*}

Le numérateur est une fonction affine de coefficient directeur $(1-\nep)$ qui s'annule en $\alpha = \dfrac{2(\nep + 1)}{\nep - 1}$.

Comme $1-\nep<0$, le tableau de signe correspondant est le suivant:
\[
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{array}{|R|c*{3}{cc}|}
            \hline\tabulartitle
            x & - \infty & & 2 & & \alpha & & + \infty\\
            \hline
            x - 2 & & - & 0 & + & & + & \\
            \hline
            (1 - \nep)x + 2(1 + \nep) & & + & \vline & + & 0 & - & \\
            \hline
            \dfrac{(1 - \nep )x + 2(1 + \nep )\strut}{x - 2\strut} & & - & \vline~\vline & + & 0 & - & \\
            \hline
\end{array}
\]

Finalement, l'inéquation a pour solutions les nombres $x$ satisfaisant en même temps les conditions suivantes:
\[
x \in \left]-\infty\,; -2 \right[ \cup \left] 2\,; +\infty\right[\quad\text{et}\qquad x \in \Bigl] 2\,; \frac{2(1 + \nep)}{\nep - 1}\Bigr[.
\]

L'ensemble des solutions est donc l'intervalle :
$\Bigl]\ 2\, ; \dfrac{2(1 + \nep )}{2\nep - 1} \ \Bigr[$.

\Par

On peut visualiser graphiquement à l'aide de la calculatrice ce résultat en\linebreak traçant la courbe représentative de la fonction $f$ définie par $f(x)=\ln\left(\dfrac{x+2}{x-2}\right)$:
\begin{center}
\includegraphics{160_ln-fig6}
\end{center}
%L'ensemble des solutions est l'intervalle des $x$ sur lequel la courbe se situe au-dessus de la droite d'équation $y=1$.
L'ensemble des solutions correspond aux points de la courbe situés au-dessus de la droite d'équation $y=1$, dont les abscisses sont dans $\Bigl]\ 2\, ; \dfrac{2(1 + \nep )}{2\nep - 1}  \Bigr[$.
%\begin{plusloin}
%%En posant $f(x)=\ln\left(\dfrac{x+2}{x-2}\right)$, pour tout $x\in]-\infty;2[\cup]2;+\infty[$, on a:
%La fonction $f$ est \textit{impaire}. En effet, pour tout $x\in]-\infty;2[\cup]2;+\infty[$,\linebreak on a:
%\[
%f(-x)=\ln\left(\dfrac{-x+2}{-x-2}\right)=\ln\left(\dfrac{x-2}{x+2}\right)=\ln\left[\left(\dfrac{x+2}{x-2}\right)^{-1}\right]=-f(x).
%\]
%La courbe représentative de $f$ est symétrique par rapport à l'origine $O$.
%\end{plusloin}
