Si $ax^2+bx+c>0$, la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et $f'(x)=\dfrac{2ax+b}{ax^2+bx+c}$.

D'après les données du tableau de variations :

\begin{itemize}
\item $f'(0)=0$ donc $b=0$ ;
\item $f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=0$ donc $\ln\left(\dfrac{a}{4}+c\right)=0$, soit $\dfrac{a}{4}+c=1$ ;
\item $f\left(\dfrac{1}{4}\right)=\ln\dfrac{5}{8}$ donc $\ln\left(\dfrac{a}{16}+c\right)=\ln\dfrac{5}{8}$, soit $\dfrac{a}{16}+c=\dfrac{5}{8}$.
\end{itemize}

De ces deux équations, on déduit $c=\dfrac{1}{2}$, $a=2$ et nous avions déjà $b=0$.

L'expression $2x^2+\dfrac{1}{2}$ est bien strictement positive sur $\R$ donc la fonction $f$ est bien définie sur $\R$.
