\begin{questions}
\item D'abord, on s'occupe des conditions d'existence des logarithmes :
\[
\begin{cases}
x^2 - 4 > 0 & \iff x\in \left]-\infty , -2 \right[ \cup         \left]  2\,; + \infty\right[\\
2x + 11 > 0 & \iff x > - \dfrac{11}{2}
\end{cases}
\]
Finalement, la condition de validité est :
\[
x \in \mathscr{D} \text{ avec } \mathscr{D} = \left]-\dfrac{11}{2}\,; - 2 \right[ \cup\, ] 2\,; + \infty[.
\]
Si $ x\in \mathscr{D}$, on transforme l'équation sachant que la fonction $\ln$ est strictement croissante :
\begin{align*}
\ln\big(x^2 - 4\big) = \ln(2x + 11) & \iff x^2 - 4 = 2x + 11 \\
 & \iff x^2 - 2x - 15 = 0.
\end{align*}
Le discriminant du trinôme vaut : $\Delta = 4 + 4\times 15 = 64 = 8^2$.

Il y a deux racines:
\[ x_{1} = \dfrac{2 - 8}{2} = - 3 \quad \text{ et } \quad x_{2} = \dfrac{2 + 8}{2} = 5. \]

Ces racines sont bien des solutions valides car elles sont dans $\mathscr{D}$.

L'équation a donc pour ensemble de solutions : $\{-3\,; 5\}$.

\item Cette fois, on doit avoir :
\[
\begin{cases}
x - 2 > 0 & \iff x > 2, \\
x + 2 > 0 & \iff x > - 2, \\
2x + 11 > 0 & \iff x > - \dfrac{11}{2}.
\end{cases}
\]
Donc on résout dans $\mathscr{D}= \left]  2\,; + \infty \right[$ :
\[ \ln(x - 2) + \ln(x + 2) = \ln\left[(x - 2)(x + 2) \right] = \ln\big(x^2 - 4\big). \]
D'où :
\[ \ln(x - 2) + \ln(x + 2) = \ln(2x + 11) \iff \ln\big(x^2 - 4\big) = \ln(2x + 11). \]
On est ramené à l'équation de la question 1. Attention, cela ne veut pas dire que l'on va trouver les mêmes solutions, car on ne résout pas dans le même ensemble. En réduisant l'équation, on obtient les mêmes racines : $ x_{1} = - 3 $ et $ x_{2} = 5$. Mais cette fois-ci, on voit que $ x_{1}\not\in \mathscr{D}$. Seule $ x_{2} $ est donc solution.

L'équation admet donc une seule solution : $5$.
\end{questions}
