\emph{Fonction $u$.}
\par
La fonction $u$ est continue sur $\R^*_+$ et $\R^*_-$ comme quotient de deux fonctions continues sur $\R^*_+$ et $\R^*_-$
dont le dénominateur ne s'annule pas sur $\R^*_+$ et $\R^*_-$.
\par
Soit donc $I$ l'un des deux intervalles $]-\infty~;0[$ ou $]0~;+\infty[$, la fonction $u$ possède des primitives sur $I$.
\par
En examinant l'écriture de $u(x)$, on est conduit à penser à la formule de la dérivée d'un quotient du type $\dfrac{f}{g}$ soit $\dfrac{f'g-fg'}{g^2}$.
Définissons sur $I$ les fonctions $f$ et $g$ par :
\[
f(x)=\sin x
\quad
\text{et}
\quad
g(x)=x.
\]
Le quotient est défini et dérivable sur $I$ avec :
\[
\begin{aligned}
\left(\dfrac{f}{g}\right)'(x)
&=\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^2}\\
&=-u(x).
\end{aligned}
\]
Alors la fonction $U\, :\, x\mapsto -\dfrac{\sin x}{x}$ est une primitive de $u$ sur $I$.
 %
\Par
\emph{Fonction $v$.}
\par
 La fonction $v$ est continue sur $\R$ comme quotient de fonctions continues sur $\R$ dont le dénominateur ne s'annule pas sur $\R$ , elle possède donc des primitives sur $\R$ tout entier.
\par
Exploitons la même idée que pour la fonction $u$. La difficulté provient du fait que le numérateur de $v(x)$ a été effectué et simplifié. Il faut donc le ramener à la forme $f'g-fg'$. L'observation du dénominateur conduit à poser\linebreak[4] $g(x)=1+x^2$. On a alors $g'(x)=2x$. La numérateur de $v(x)$ peut alors s'écrire $(1+x^2)-x \times 2x$, ce qui fait que :
\[
\dfrac{1-x^2}{{(1+x^2)}^2}=\dfrac{(1+x^2)-x \times 2x}{{(1+x^2)}^2}.
\]
On pose donc $f(x)=x$, $g(x)=1+x^2$ et :
\[
v(x)=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}
=\left(\dfrac{f}{g}\right)'(x).
\]
La fonction :
\[
V\, :\, x \mapsto \dfrac{x}{1+x^2}
\]
 est donc une primitive de $v$ sur $\R$.
