\begin{questions}
\item Soit $g$ une fonction polynôme de degré 2, définie, pour tout réel $x$ par:
\[
g(x)=ax^2+bx+c.
\]

Alors, $g$ est dérivable sur $\R$ et, pour tout $x \in \R$,
\[
g'(x)=2ax+b.
\]
Donc, $g$ est solution de $(\mathcal{E})$ si et seulement si :
\[
4ax+2b+ax^2+bx+c=x^2+2x-2\;,
\]
soit $a=1$, $b=-2$ et $c=2$.

\Par

La fonction polynôme $g$ définie par:
\[
g(x)=x^2-2x+2
\]
est donc l'unique solution polynomiale de degré 2 de $(\mathcal{E})$.


\item La fonction $\phi$ est solution de $(\mathcal{E})$ si et seulement si pour tout $x \in \R$,
\[
2 \phi'(x)+ \phi(x)=x^2+2x-2.
\]
Or, on sait que pour tout $x \in \R$,
\[
2g'(x)+g(x)=x^2+2x-2.
\]
Donc $\phi$ est solution de $(\mathcal{E})$ si et seulement si pour tout $x \in \R$,
\[
2(\phi-g)'(x)+( \phi-g)(x)=0\;,
\]
c'est-à-dire que $\phi-g$ est solution de $(\mathcal{E}')$.


\item
\begin{questions}
\item  D'après les théorèmes du cours, les solutions de $(\mathcal{E}')$ sont les fonctions de la forme :
\[
y(x)=A \nep^{-\frac{x}{2}}
\quad
\text{où}
\quad
A
\quad
\text{est une constante.}
\]


\item Une fonction $z$ est solution de $(\mathcal{E})$ si et seulement si $z-g$ est solution de $(\mathcal{E}')$.

Les solutions de $(\mathcal{E})$ sont donc les fonctions de la forme :
\[
z(x)=A \nep^{-\frac{x}{2}}+x^2-2x+2
\quad
\text{où}
\quad
A
\quad
\text{est une constante.}
\]


\item Dire que la courbe représentative d'une fonction $f$ passe par $O$ signifie que:
\[
f(0)=0.
\]
On cherche donc la solution $f$ de $(\mathcal{E})$ qui vérifie  $f(0)=0$, soit $A=-2$.


Donc pour tout $x \in \R$,
\[
f(x)=-2 \nep^{-\frac{x}{2}}+x^2-2x+2.
\]
\end{questions}
\end{questions}
