\begin{questions}
\item  L'équation différentielle $y'+3y=0$ s'écrit aussi $y'=-3y$.

D'après le cours, ses solutions sont les fonctions $G$ définies sur $\R$ par :
\[
G(x)=A \nep^{-3x}
\]
où $A$ est une constante réelle.

\item Il existe une et une seule valeur de $A$ pour laquelle $y(0)=k$.

Or, $y(0)=A$, d'où $A=k$.

La solution valant $k$ en $x=0$ est $y(x)=k\nep^{-3x}$.


\item Nous allons déterminer une \emph{solution particulière} \ $\phi$ \ de $({\cal E})$.

Comme le second membre de l'équation est une fonction affine, cherchons-la sous la forme $\phi(x)=\alpha x+\beta$, où $\alpha$ et $\beta$ sont deux réels.

On calcule alors $\phi'(x)=\alpha$, donc $(\phi'+3\phi)\,(x)=3\alpha x+\alpha+3\beta$.

On en déduit que $\phi$ est solution de $(\mathcal{E})$ si et seulement si $3\alpha=1$ et $\alpha+3\beta=1$.

Il vient facilement :

\[
\phi(x)=\frac{1}{3}\,x+\frac{2}{9}.
\]

Soit alors $y$ une solution de $(\mathcal{E})$. La fonction $G=y-\phi$ est alors une solution de $(\mathcal{E}_0)$. Puisque $y=G+\phi$ et $\phi(0)=\dfrac{2}{9}$, il est clair que $y(0)=1$ est équivalent à $G(0)=1-\dfrac{2}{9}=\dfrac{7}{9}$. En utilisant la question 1, il vient :

\[
y(x)=\frac{1}{3}\,x+\frac{2}{9}+\frac{7}{9}\,\nep^{-3x}.
\]

\Par

Il existe bien une et une seule solution de $(\mathcal{E})$ vérifiant $y(0)=1$.
\end{questions}
