\begin{questions}
\enlargethispage*{\baselineskip}
\item $f_0(x)=(x^2+3x)\nep^{-x}$ est de la forme $f_0=u \times v$ avec:
\Par
$u(x)=x^2+3x$, $u'(x)=2x+3$, $v(x)=\nep^{-x}$ et $v'(x)=-\nep^{-x}$.
\Par
Ainsi,
\begin{align*}
f_0^\prime(x) & = (u'v + uv')(x)\\
& = (2x+3)\nep^{-x} + (x^2+3x)\big(-\nep^{-x}\big)\\
& = (2x+3-x^2-3x)\nep^{-x}\\
& = (-x^2-x+3)\nep^{-x}.
\end{align*}

On a alors:
\begin{align*}
f_0(x) + f_0^\prime(x) & = (x^2+3x)\nep^{-x} + (-x^2-x+3)\nep^{-x}\\
& = (x^2+3x-x^2-x+3)\nep^{-x}\\
& = (2x+3)\nep^{-x}.
\end{align*}

On en déduit alors que $f_0$ est solution de $(E)$.

\item D'après le cours, l'équation $(E_0):y+y'=0$ admet pour solutions les fonctions:
\[
y_0(x)=C\nep^{-x}\quad,\quad C\in\R.
\]

\item Toujours d'après le cours, les solutions de $(E)$ sont les fonctions $y$ telles que $y = y_0+f_0$, soit:
\[
y(x)=C\nep^{-x} + (x^2+3x)\nep^{-x} = (x^2+3x+C)\nep^{-x}\quad,\quad C\in\R.
\]

\item $g$ est solution de $(E)$ avec $g(0)=1$, donc:
\[
\begin{cases}
g(x)=(x^2+3x+C)\nep^{-x}\\
g(0)=1
\end{cases}
\Longrightarrow (0^2+3\times0+C)\nep^{-0}=1 \Longrightarrow C=1.
\]
Ainsi, $g(x)=(x^2+3x+1)\nep^{-x}$.
\end{questions}
