
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0){
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\begin{questions}
\item La fonction $u$ est dérivable sur $\R$.
\par
Pour tout $x$ réel, $u'(x)=(1+2x)\nep^{2x}$ donc,
\[
u'(x)-2u(x)= (1+2x)\nep^{2x} - 2x \nep^{2x}= \nep^{2x}.
\]
On en déduit que la fonction $u$ est solution de l'équation (E).


\item L'équation (F) est de la forme $y'=ay$.

Ses solutions sont les fonctions $f$ définies sur $\R$ par:
\[
f(x)=k\nep^{2x}
\]
où $k$ désigne une constante réelle.

\item Une fonction $v$ est solution de l'équation (E) si et seulement si, pour tout $x$ réel,
\[
v'(x)-2v(x)=\nep^{2x}.
\]
Or on sait que, pour tout $x$ réel,
\[
u'(x)-2u(x)=\nep^{2x}.
\]
Donc  $v$ est solution de l'équation (E) si et seulement si, pour tout $x$ réel,
\[
(v'(x)-2v(x))-(u'(x)-2u(x))=0\;,
\]
soit:
\[
(v-u)'(x)-2(v-u)(x)=0.
\]
Il en résulte que $v$ est solution de l'équation (E) si et seulement si $v-u$ est solution de l'équation $F$.

\begin{methode}
Pour démontrer que deux propositions sont équivalentes, on peut\linebreak effectuer une démonstration par double implication comme dans\linebreak l'exercice 5 ou une démonstration directe comme dans cet exercice.\par
Dans le cas d'une démonstration directe, on fera très attention au fait de bien conserver l'équivalence tout au long de la démonstration. En cas de doute, mieux vaut revenir à une démonstration en deux temps.
\end{methode}

\item D'après la question précédente, une fonction $v$ est solution de l'équation (E) si et seulement si $v-u$ est solution de l'équation $F$.

On en déduit que les solutions de l'équation (E) sont les fonctions $v$ définies, pour tout $x$ réel, par:
\[
v(x)=u(x)+k\nep^{2x}\;,
\]
soit:
\[
v(x)=x\nep^{2x}+k\nep^{2x},
\]
où $k$ désigne une constante réelle.
\end{questions}
