\begin{questions}
\item Soit $g$ une fonction affine. Il existe deux réels $a$ et $b$ tels que pour tout $x \in \R$ :
\[
g(x)=ax+b.
\]
Donc, pour tout $x \in \R$, $g'(x)=a$.

La fonction $g$ est donc solution de $(\mathcal{E})$ si et seulement si, pour tout \mbox{$x \in \R$},
\[
a=1
\quad
\text{et}
\quad
4a+b=6,\text{ soit }
b=2.
\]
L'unique solution affine de $(\mathcal{E})$ est donc:
\[
g(x)=x+2.
\]


\item
\begin{questions}
\item
Soit $f$ une solution de $(\mathcal{E})$.
\par
Alors pour tout $x \in \R$,
\[
4f'(x)+f(x)=x+6.
\]
Or, on a déjà pour tout $x \in \R$
\[
4g'(x)+g(x)=x+6.
\]
Donc, en soustrayant ces deux égalités membre à membre, pour tout $x \in \R$,
\[
4(f-g)'(x)+(f-g)(x)=0\;,
\]
soit encore:
\[
4h'+h=0.
\]
Donc si $f$ est solution de $(\mathcal{E})$, $h=f-g$ est solution de $(\mathcal{E}_1)$.

\item Réciproquement, supposons que $h$ est solution de $(\mathcal{E}_1)$. Pour tout $x \in \R$ :
\[
4h'(x)+h(x)=0.
\]
Par ailleurs, pour tout $x \in \R$,
\[
4g'(x)+4g(x)=x+6.
\]
\enlargethispage*{\baselineskip}
Donc, en ajoutant ces deux égalités membre à membre, pour tout $x \in \R$:
\[
4(h+g)'(x)+(h+g)(x)=x+6.
\]
Donc si $h$ est solution de $(\mathcal{E}_1)$, $f=h+g$ est solution de $(\mathcal{E})$.
\end{questions}

\item On a montré que $f$ est solution de $(\mathcal{E})$ si et
seulement si $h=f-g$ est solution de $(\mathcal{E}_1)$.
\par
Or, les solutions de $(\mathcal{E}_1)$ sont de la forme :
\[
h(x)=A \nep^{-\frac{1}{4}x}
\quad
\text{où}
\quad
A
\quad
\text{est une constante.}
\]
Les solutions de $(\mathcal{E})$ sont donc de la forme :
\[
f(x)=A \nep^{-\frac{1}{4}x}+x+2
\quad
\text{où}
\quad
A
\quad
\text{est une constante.}
\]

\item
\begin{questions}
\item La condition $f(0)=4$ correspond donc à $A=2$.
\par
L'unique solution de $(\mathcal{E})$ qui vérifie cette condition
initiale est :
\[
f:x \mapsto 2 \nep^{-\frac{x}{4}}+x+2.
\]


\item  Soit $y$ une solution de $(\mathcal{E})$. La fonction $y$ est dérivable sur $\R$ et, pour tout réel $x$,
\[y'(x)=-\frac{A}{4}\,\nep^{-\frac{x}{4}}+1.\]
Donc :
\[y'(0)=1\iff A=0. \]
Il existe donc une et une seule solution $f$ de $(\mathcal{E})$ qui
vérifie la condition \mbox{$f'(0)=1$}. C'est la fonction $f$ : $x
\mapsto x+2$.
\end{questions}
\end{questions}
