\begin{questions}
\item D'après le cours, les solutions de l'équation différentielle $y'-2y=0$ sont les fonctions de la forme:
\[
y(x)=C\nep^{2x},\quad C\in\R.
\]
On souhaite que $y(0)=1$ donc que $C=1$.

\Par

Ainsi, la fonction demandée est la fonction $x \mapsto \nep^{2x}$.

\item
\begin{questions}
\item On a : $g(0)=f(0)\nep^0 = f(0)=\ln2$.

La fonction $g$ est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables et, pour tout réel $x$,
\[
g'(x)=f'(x)\nep^{-2x} - 2f(x)\nep^{-2x} = \big[ f'(x) - 2f(x) \big] \nep^{-2x}.
\]

\item $\begin{aligned}[t]
\text{$f$ solution de (E)} & \iff \forall x\in\R,\  f'(x)-2f(x)=\dfrac{-2}{1+\nep^{-2x}}\\
& \iff \forall x\in\R,\ g'(x) = \left[ \dfrac{-2}{1+\nep^{-2x}} \right] \nep^{-2x}\\
& \iff \forall x\in\R,\ g'(x) = \dfrac{-2\nep^{-2x}}{1+\nep^{-2x}}.
\end{aligned}$

\item D'après ce qui précède, la solution $f$ est la solution de (E) vérifiant $f(0)=\ln2$ si et seulement si $g'(x) = \dfrac{-2\nep^{-2x}}{1+\nep^{-2x}}$.

Or, $g'$ est de la forme $\dfrac{u'}{u}$, avec $u(x)=1+\nep^{-2x}$ et $u'(x)=-2\nep^{-2x}$.

Ainsi, $g(x)=\ln\big(1+\nep^{-2x}\big)+k$, avec $g(0)=\ln2$, donc $k=0$.

Donc $g(x)=\ln\big(1+\nep^{-2x}\big)$.

On en déduit alors que:
\[
f(x)=\nep^{2x}g(x)=\nep^{2x}\ln\big(1+\nep^{-2x}\big).
\]
\end{questions}
\end{questions}
