En remplaçant $x$ par $-1$ dans l'expression de $F$ :
    \[ F(-1) = -6 \quad \text{ soit } \quad \frac{a-b + c}{-1} = -6 \iff a-b + c = 6. \]
Calculons par ailleurs $F'(x)$ en utilisant la formule de dérivation d'un quotient :
    \begin{align*}
        F'(x) & = \frac{(2ax + b)(2x + 1)-2(ax^2 + bx + c)}{(2x + 1)^2}\\
            & = \frac{x^2(4a-2a) + x(2a + 2b-2b) + (b-2c)}{(2x + 1)^2}\\
            & = \frac{2ax^2 + 2ax + b-2c}{(2x + 1)^2}.
    \end{align*}

Comme $F$ est une primitive de $f$, on a pour tout $x \in \left]-\infty\, ; -\dfrac{1}{2}\right[$ :
    \begin{align*}
        F'(x) = f(x) & \iff \frac{2ax^2 + 2ax + b-2c}{(2x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2x-8}{(2x + 1)^2} \\
            & \iff 2ax^2 + 2ax + b-2c = 2x^2 + 2x-8\\
            & \qquad\qquad\qquad \bigl(\text{car }(2x + 1)^2\neq 0\bigr)
    \end{align*}

Les deux polynômes sont donc égaux ; on identifie les coefficients :

\Par

$\begin{cases}
          a = 1 \\
          b - 2c = -8 \qquad\qquad\quad\iff\\
          a - b + c = 6 \text{ car } F(-1) = -6
    \end{cases}
    \begin{cases}
          a = 1 \\
          b-2c = -8 \\
          -b + c = 5
    \end{cases}
    \iff
    \begin{cases}
          a = 1\\
          c = 3\\
          b = -2
    \end{cases}$

Donc :
\[ F(x) = \dfrac{x^2-2x + 3}{2x + 1}. \]

Certain(e)s pourraient se demander pourquoi on a trouvé \emph{la} primitive et non pas \emph{une} primitive à une constante près. C'est bien sûr à cause de la condition $F(-1) = -6$ qui impose une valeur bien particulière à la constante.
