\begin{questions}
\item Réponse \choix[d].  En effet,
\begin{align*}
I&=\int_{-1}^1\left|\nep^x-1\right|\dd x\\
& =\int_{-1}^0 (1-\nep^x) \dd x + \int_0^1 (\nep^x -1) \dd x\\
& = \big[x-\nep^x\big]_{-1}^0+\big[\nep^x-x\big]_0^1\\
& =\nep+\dfrac{1}{\nep}-2.
\end{align*}
\begin{methode}
On ne peut pas intégrer directement une fonction dont l'écriture comporte des valeurs absolues. Il est indispensable de commencer par donner une écriture de la fonction sans valeur absolue en distinguant différents intervalles. L'intégrale se calcule ensuite en appliquant la relation de Chasles.
\end{methode}

\item Réponse \choix[a]. L'étude de la fonction $u\;:\;x\mapsto x^3 + x^2 - 1$ montre que, sur $[1;2]$, cette fonction est croissante et, comme $f(1) = 1$, $u(x)>0$ sur $[1;2]$.

De plus, $u'(x)=3x^2+2x$ ce qui signifie que $I=\ds\int_1^2\dfrac{2u'(x)}{u(x)}\dd x$ et donc que:
\[
I=2\big[\ln u(x)\big]_1^2=2\Big(\ln\big(u(2)\big)-\ln\big(u(1)\big)\Big)=2(\ln11-\ln1)=2\ln11.
\]

\item Réponse \choix[d]. On retrouve la même situation que la première question. On doit commencer par simplifier l'écriture de la fonction de manière à ne plus avoir de valeurs absolues puis appliquer la relation de Chasles.
\[
I=\int_0^1 (-2x+3) \dd x +\int_1^2 \dd x + \int_2^4 (2x-3) \dd x = 9.
\]

\item Réponse \choix[c]. On effectue une intégration par parties pour trouver la valeur de $I$. Pour cela, on pose :
\[
u(x)=x\qquad\text{et}\qquad v'(x)=\nep^{-x}.
\]
Ainsi,
\[
u'(x)=1\qquad\text{et}\qquad v(x)=-\nep^{-x}.
\]
On en déduit alors que :
\begin{align*}
I & = \big[u(x)v(x)\big]_0^1 - \int_0^1 u'(x)v(x)\dd x\\
& = \big[-x\nep^{-x} \big]_0^1 + \int_0^1 \nep^{-x} \dd x\\
& = -1\nep^{-1}+0\nep^{-0} + \big[-\nep^{-x}\big]_0^1\\
& = -\nep^{-1} + \big(-\nep^{-1} + 1)\\
& = 1-2\nep^{-1}.
\end{align*}
\end{questions}
