Pour tout $x \in \R-\left\{-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right\}$, remarquons que $(4x^2-1)^2=(2x-1)^2(2x+1)^2$. Alors,

\begin{align*}
 f(x) & =\dfrac{a}{(2x+1)^2} +\dfrac{b}{(2x-1)^2} \\
\iff  -\dfrac{8x^2+32x+2}{(4x^2-1)^2} & = \dfrac{4(a+b)x^2+4(b-a)x+(a+b)}{(4x^2-1)^2}.
\end{align*}

Donc, $f(x)=\dfrac{a}{(2x+1)^2} +\dfrac{b}{(2x-1)^2}$ si et seulement si $a=3$ et $b=-5$.
\Par
La fonction $f$ est une fonction rationnelle; elle est donc continue sur tout intervalle inclus dans son ensemble de définition. Par conséquent, elle admet des primitives sur l'intervalle $[1, 2]$ et l'intégrale $\int_1^2 f(t) \dd t$ existe.
\Par
\[
\begin{aligned}
\int_1^2 f(t) \dd t
&=\int_1^2 \dfrac{3}{(2t+1)^2} \dd t -\int_1^2 \dfrac{5}{(2t-1)^2} \dd t
\\
 &=-\dfrac{3}{2}\left[ \dfrac{1}{2t+1} \right]_1^2
+\dfrac{5}{2}\left[ \dfrac{1}{2t-1} \right]_1^2 \\
&=-\dfrac{22}{15}.
\end{aligned}
\]

\begin{methode}
Pour déterminer une primitive d'une fonction rationnelle, on a souvent recours à une décomposition de cette fonction rationnelle en somme de fonctions rationnelles correspondant aux primitives usuelles. Au niveau terminale, cette décomposition est en général guidée par l'énoncé. Il suffit alors de réduire au même dénominateur puis de procéder à l'identification des coefficients.
\end{methode}
