\begin{questions}
\item
La fonction : $x\mapsto \dfrac{x^n}{1+2x+4x^2}$ est continue sur l'intervalle $[0~;1]$ en tant que fonction rationnelle.\\
Pour tout entier $n$ et tout réel $x \in [0~;1]$,
\[
\dfrac{x^n}{1+2x+4x^2} \geqslant 0.
\]
Les bornes d'intégration sont dans l'ordre croissant donc, d'après le théorème de positivité de l'intégrale,
\[
I_n=\int_0^1 \dfrac{x^n}{1+2x+4x^2} \dd x \geqslant 0.
\]
En effet sur $[0~;1]$, $x^n\geqslant0$, et pour le trinôme du dénominateur, le discriminant est négatif, donc le trinôme est toujours du signe de 4, donc strictement positif.

\item Pour tout entier $n$, par linéarité de l'intégrale, on a :
\[
\begin{aligned}
I_{n+1}-I_n&=\int_0^1 \dfrac{x^{n+1}}{1+2x+4x^2} \dd x-
\int_0^1 \dfrac{x^n}{1+2x+4x^2} \dd x \\
&=\int_0^1 \dfrac{x^n(x-1)}{1+2x+4x^2} \dd x.
\end{aligned}
\]
La fonction : $x\mapsto \dfrac{x^n(x-1)}{1+2x+4x^2}$ est continue sur l'intervalle $[0~;1]$ en tant que fonction rationnelle.\\
Or, pour tout réel $x\in [0~;1]$, $\dfrac{x^n(x-1)}{1+2x+4x^2}\leqslant 0$.

Donc, par positivité de l'intégrale on a : $I_{n+1}-I_n \leqslant 0$.

La suite $(I_n)_{n \in \N}$ est donc décroissante.

\item  Pour encadrer $1 + 2x + 4x^2$, il faut connaître le sens de variation de la fonction : $f:x\mapsto1+2x+4x^2$.

$f'(x)=2+8x$ donc $f'(x)>0\Leftrightarrow x>-\dfrac{1}{4}$.

Par conséquent, sur l'intervalle $[0~;1]$, $f$ est croissante, et :
\[ f(0)\leqslant f(x)\leqslant f(1). \]        

On a donc : $1\leqslant 1 + 2x + 4x^2\leqslant 7$.

Comme la fonction inverse est décroissante sur $\left]0~; +\infty\right[$, on en déduit que  pour tout $x\in [0~;1]$,  $\dfrac{1}{1+2x+4x^2}\leqslant 1$. Donc, en multipliant par $x^n$ qui est positif, on obtient pour tout entier naturel $n$,
\[
\dfrac{x^n}{1+2x+4x^2}\leqslant x^n.
\]
Les fonctions : $x\mapsto x^n$ et $x\mapsto \dfrac{x^n}{1+2x+4x^2}$ sont continues sur $[0~;1]$, les bornes d'intégrations sont dans l'ordre croissant. Il résulte du théorème sur les intégrales et l'ordre que :
\[
\int_0^1 \dfrac{x^n}{1+2x+4x^2} \dd x\leqslant \int_0^1 x^n \dd x \;,
\]
soit:
\[
I_n \leqslant \dfrac{1}{n+1}.
\]
On a donc obtenu un encadrement de $I_n$ : $
0\leqslant I_n \leqslant \dfrac{1}{n+1}$.

Or, $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n+1} =0$,
 donc, d'après le théorème de limite par encadrement ( théorème des gendarmes), on en déduit :
\[
\lim\limits_{n \to +\infty} I_n=0.
\]
\end{questions}
%
\begin{methode}
Pour montrer qu'une intégrale est positive, il n'est pas nécessaire de la calculer : le théorème de positivité de l'intégrale permet d'obtenir directement le résultat à partir du signe de la fonction. On pensera à s'assurer que les trois conditions d'application du théorème sont bien réunies : fonction continue sur l'intervalle d'intégration, fonction positive et bornes d'intégration dans l'ordre croissant.
\end{methode}
