\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item
La fonction : $x\mapsto \dfrac{\nep^x}{1+\nep^x}$ est continue sur l'intervalle $[0~;1]$ donc elle admet des primitives sur cet intervalle et l'intégrale $I_1$ existe.
On a :
\[
I_1=\int_0^1
\dfrac{\nep^x}{1+\nep^x} \dd x
=\bigl[\ln(1+\nep^x)\bigr]_0^1
=\ln(1+\nep)-\ln(2)
=\ln \left(\dfrac{1+\nep}{2}\right)
\]
et, par linéarité de l'intégrale :
\[
I_0+I_1=\int_0^1 \dfrac{1+\nep^x}{1+\nep^x}\dd x=1.
\]
Donc :
\[
I_0=(I_0+I_1)-I_1=1-\ln \left(\dfrac{1+\nep}{2}\right).
\]

\item Pour tout entier naturel $n$, on a par linéarité de l'intégrale :
\[
\begin{aligned}
I_n+I_{n+1}&=\int_0^1 \dfrac{\nep^{nx}+\nep^{(n+1)x}}{1+\nep^x} \dd x \\
&=\int_0^1 \nep^{nx} \dd x \\
&=\left[\dfrac{1}{n}\nep^{nx} \right]_0^1 \\
&=\dfrac{\nep^n-1}{n}.
\end{aligned}
\]
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item Pour tout entier naturel $n$ et tout réel $x\geqslant0$ on a :
\[ nx\leqslant (n+1)x.\]
Or, la fonction exponentielle étant croissante sur $\R$, on a : \\
$\nep^{nx}\leqslant \nep^{(n+1)x}$. D'où :
\[
\frac{\nep^{nx}}{\nep^x+1}\leqslant\frac{\nep^{(n+1)x}}{\nep^x+1}
\qquad\quad\text{car \ $\nep^x+1>0$}.
\]
Les fonctions : $x\mapsto \dfrac{\nep^{nx}}{\nep^x+1}$ et $x\mapsto \dfrac{\nep^{(n+1)x}}{\nep^x+1}$ sont continues sur l'intervalle $[0~;1]$, les bornes d'intégration sont dans l'ordre croissant ; donc, d'après le théorème sur les intégrales et l'ordre, on a :
\[
I_n\leqslant I_{n+1}.
\]
La suite $(I_n)$ est donc croissante.

\item
Pour tout réel $x \in [0~;1]$ on a
l'inégalité :
\[
1\leqslant \nep^x\leqslant \nep
\]
donc
\[
2\leqslant 1+\nep^x \leqslant 1+\nep.
\]
Tous ces termes sont strictement positifs donc, en passant à l'inverse et en multipliant par $\nep^{nx}>0$ :

\[
\dfrac{\nep^{nx}}{1+\nep} \leqslant \dfrac{\nep^{nx}}{1+\nep^x} \leqslant \dfrac{\nep^{nx}}{2}.
\]

En appliquant de nouveau le théorème sur les intégrales et l'ordre (les conditions d'application étant réunies), il vient :
\[
\dfrac{1}{1+\nep}\int_0^1 \nep^{nx} \dd x \leqslant I_n \leqslant
\dfrac{1}{2}\int_0^1 \nep^{nx} \dd x\;,
\]
soit :
\[
\dfrac{\nep^n-1}{(1+\nep)n}\leqslant I_n \leqslant \dfrac{\nep^n-1}{2n}.
\]
\end{questions}


\item On démontre que:
\[
\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{\nep^n-1}{n(1+\nep)}=+\infty\quad\text{car}\qquad\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{\nep^n}{n}=+\infty.
\]
D'après le théorème de limite par comparaison, on conclut que :
\[
\lim\limits_{+\infty} I_n=+\infty.
\]
En repartant de l'encadrement de $I_n$ obtenu à la question précédente et en multipliant par $\dfrac{1}{\nep^n}$ qui est strictement positif, on obtient :
\[
\dfrac{1-\nep^{-n}}{(1+\nep)n}\leqslant \dfrac{I_n}{\nep^n} \leqslant \dfrac{1-\nep^{-n}}{2n}.
\]
Comme :
\[
\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1-\nep^{-n}}{n(1+\nep)}=0
\]
et
\[
\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1-\nep^{-n}}{2n}=0\;,
\]
par le théorème de limite par encadrement (théorème des gendarmes), on conclut :
\[
\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{I_n}{\nep^n}=0.
\]
\end{questions}

\begin{methode}
Pour comparer deux intégrales $\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\dd t$ et  $\displaystyle\int_{a}^{b}g(t)\dd t$, il n'est pas nécessaire de les calculer.\\
Il suffit de comparer les fonctions $f$ et $g$ sur l'intervalle $[a~;b]$ après s'être assuré que $a\leqslant b$ et que les fonctions $f$ et $g$ étaient continues sur l'intervalle  $[a~;b]$. Le théorème sur les intégrales et l'ordre permettra alors de conclure.\\
On pensera à mettre en évidence dans la rédaction le fait que les conditions d'application du théorème sont réunies.
\end{methode}
