\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item $\displaystyle u_0=\int_0^1 \nep^{-x}\dd x=\big[-\nep^{-x}\big]_0^1=-\nep^{-1}-\big(-\nep^0\big)=1-\dfrac{1}{\nep}$.

$u_1=\displaystyle\int_1^2 \nep^{-x}\dd x=\big[-\nep^{-x}\big]_1^2=-\nep^{-2}-\big(-\nep^{-1}\big)=\dfrac{1}{\nep}-\dfrac{1}{\nep^2}$.

\item $\begin{aligned}[t]
u_n & =\int_n^{n+1} \nep^{-x}\dd x\\
 & =\big[-\nep^{-x}\big]_n^{n+1}\\
 & =-\nep^{-(n+1)}-\big(-\nep^{-n}\big)\\
 & =\dfrac{1}{\nep^n}-\dfrac{1}{\nep^{n+1}}.
 \end{aligned}$
\end{questions}

\item $\begin{aligned}[t]
S_n & =u_0+u_1+\cdots+u_n\\[8pt]
 & =\int_0^1 \nep^{-x}\dd x+\int_1^2 \nep^{-x}\dd x+\cdots+\int_n^{n+1} \nep^{-x}\dd x\\[8pt]
 & =\int_0^{n+1}\nep^{-x}\dd x\qquad\text{d'après la relation de Chasles}\\[8pt]
 & =1-\dfrac{1}{\nep^{n+1}}.
\end{aligned}$

\item $S_n$ est l'aire du domaine délimité par la courbe d'équation $y=\nep^{-x}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x=n+1$.

\item $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{\nep^{n+1}}\right)=\lim\limits_{n\to+\infty}\left[\left(\dfrac{1}{\nep}\right)^{n+1}\right]=0$    car $0<\dfrac{1}{\nep}<1$.

Par conséquent, $\lim\limits_{n\to+\infty} S_n=1$.

\item Comme la limite de $S_n$ est 1, on voit que les écarts avec 1 sont strictement supérieurs à $10^{-1}$ ou $10^{-4}$. On pourrait imaginer que c'est juste un problème d'arrondi des valeurs par la calculatrice, mais c'est en réalité une erreur de la part de Louen. En effet, il arrête la boucle dès que le terme $u_i<10^{-A}$, mais il n'est pas certain qu'en ajoutant plusieurs termes inférieurs à $10^{-A}$, il n'obtient pas une quantité plus grande que $10^{-A}$. Il aurait pu écrire : \og Tant que $S \geqslant 10^{-A}$ \fg.
\end{questions}
