\begin{questions}
\item On cherche à calculer $\ds\int_1^x \ln(t)\dd t$.

Posons alors $u'(t)=1$ et $v(t)=\ln t$. Alors, $u(t)=t$ et $v'(t)=\dfrac{1}{t}$.

Ainsi,
\begin{align*}
\int_1^x 1 \times \ln(t)\dd t &= \big[t\ln(t)\big]_1^x - \int_1^x t\times\dfrac{1}{t}\dd t\\
& = x\ln x - \big[ t \big]_1^x\\
& = x\ln x - x + 1.
\end{align*}

Une primitive étant définie à une constante près, on peut dire que\linebreak $F(x)=x\ln x-x$ est une primitive de $f(x)=\ln x$.

\item
Le réel $f(t)$ existe si et seulement si  $\dfrac{1+t}{1-t}>0$. Un \emph{tableau de signes} donne alors :
\[{\cal D}_f=]-1,1[.\]

\item  Soit donc $x$ un réel vérifiant : $|x|<1$. Alors les fonctions\linebreak $t\mapsto \ln(1+t)$ et \hbox{$t\mapsto\ln(1-t)$} sont bien définies, continues, sur $[0,x]$ et on peut écrire :
\begin{align*}
F(x) & =\int_0^x\ln(1+t)\,\dd t-\int_0^x\ln(1-t)\,\dd t\\
&=\left[{\cal A}(1+t)-{\cal A}(1-t)\right]_0^x \\
&={\cal A}(1+x)-{\cal A}(1-x).
\end{align*}
Or, on sait que l'intégrale ne dépend pas de la primitive choisie, donc on peut prendre la primitive classique de la fonction logarithme, obtenue par intégration par parties :
\[{\cal A}:u\mapsto u\ln u-u.\]
Au final, après calculs, une expression de $F(x)$ est :
\[F(x)=\ln(1-x^2)+x\ln\left({1+x\over1-x}\right).\]
\end{questions}
