\begin{questions}
\item $I_1 = \displaystyle\int_0^2 (2-x) \nep^x \dd x$.

En posant $u(x)=2-x$ et $v'(x)=\nep^x$, à l'aide d'une intégration par parties, on a:
\begin{align*}
I_1 & = \big[(2-x)\nep^x \big]_0^2 - \int_0^2 -\nep^x \dd x\\
    & = -2 + \big[ \nep^x \big]_0^2\\
    & = \nep^2 - 3.
\end{align*}

\item Pour $0 \leqslant x \leqslant 2$, et pour tout entier $n\geqslant1$,
\begin{align*}
0 \leqslant 2-x \leqslant 2 & \iff 0^n \leqslant (2-x)^n \leqslant 2^n\\
& \iff 0 \leqslant \dfrac{1}{n!}(2-x)^n\nep^x \leqslant 2^n\times\dfrac{1}{n!}\nep^x\\[8pt]
& \iff \int_0^2 0 \dd x \leqslant \int_0^2 \dfrac{1}{n!}(2-x)^n\nep^x  \dd x \leqslant \int_0^2 \dfrac{2^n}{n!}\nep^x \dd x\\[8pt]
& \iff 0 \leqslant I_n \leqslant \dfrac{2^n}{n!}\big[ \nep^x \big]_0^2\\[8pt]
& \iff  0 \leqslant I_n \leqslant \dfrac{2^n}{n!}(\nep^2-1).
\end{align*}

\item $I_{n+1} = \displaystyle\int_0^2 \dfrac{1}{(n+1)!}(2-x)^{n+1} \nep^x \dd x =  \dfrac{1}{(n+1)!}\displaystyle\int_0^2(2-x)^{n+1} \nep^x \dd x$.

En posant $u(x)=(2-x)^{n+1}$ et $v'(x)=\nep^x$, par intégration par parties, on a:
\begin{align*}
I_{n+1} & = \dfrac{1}{(n+1)!}\left( \left[ (2-x)^{n+1}\nep^x  \right]_0^2 - \int_0^2 (n+1)(-1)(2-x)^{n}\nep^x \dd x \right)\\[8pt]
& = \dfrac{1}{(n+1)!}\left( -2^{n+1} + (n+1)\int_0^2 (2-x)^{n}\nep^x \dd x \right)\\[8pt]
& = \dfrac{-2^{n+1}}{(n+1)!} + \dfrac{n+1}{(n+1)!}\int_0^2 (2-x)^n\nep^x \dd x\\[8pt]
& = -\dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}+\dfrac{1}{n!}\int_0^2 (2-x)^n\nep^x \dd x\\[8pt]
I_{n+1} & = I_n  -\dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}.
\end{align*}

\item Démontrons par récurrence que pour $n\geqslant1$, $\nep^2 = \displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{2^k}{k!}+I_n$.
\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation}: pour $n=1$, $1+\dfrac{2^1}{1!}+I_1=3+\nep^2-3 = \nep^2$.

L'égalité est donc vraie pour $n=1$.

\item \textit{Hérédité}: supposons que pour un entier $p>1$ fixé, l'égalité est vraie:
\[
\nep^2 = \displaystyle\sum_{k=0}^p \dfrac{2^k}{k!}+I_p.
\]
Alors, $\begin{aligned}[t]
\displaystyle\sum_{k=0}^{p+1} \dfrac{2^k}{k!}+I_{p+1}
& = \displaystyle\sum_{k=0}^p \dfrac{2^k}{k!} + \dfrac{2^{p+1}}{(p+1)!} +  \underbrace{I_p  -\dfrac{2^{p+1}}{(p+1)!}}_{I_{p+1}}\\
& = \left(\displaystyle\sum_{k=0}^p \dfrac{2^k}{k!} + I_p\right) + \dfrac{2^{p+1}}{(p+1)!}  - \dfrac{2^{p+1}}{(p+1)!}\\
& = \nep^2\text{ d'après l'hypothèse de récurrence}.
\end{aligned}$

L'hérédité est alors vérifiée. Ainsi, l'égalité est vraie pour tout entier $n\geqslant1$.
\end{itemize}


\item Pour $n\geqslant1$, $u_n=\dfrac{2^n}{n!}$.
\begin{questions}
\item $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{2^n}{n!}} = \dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}\times\dfrac{n!}{2^n}=\dfrac{n!}{n!(n+1)}\times2=\dfrac{2}{n+1}$.

Pour $n\geqslant3$, $n+1\geqslant4$ et donc $\dfrac{2}{n+1}\leqslant\dfrac{2}{4}\leqslant\dfrac{1}{2}$.

Par conséquent, pour tout $n\geqslant3$, $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\leqslant\dfrac{1}{2}$, soit: $u_{n+1} \leqslant \dfrac{1}{2}u_n$.


\item De la question précédente, on déduit que pour tout $n\geqslant3$,

$u_n \leqslant \dfrac{1}{2}u_{n-1} \leqslant \dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}u_{n-2} \leqslant \cdots \leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^k u_{n-k}  \leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-3}u_3$.

De plus, $u_n=\dfrac{2^n}{n!}>0$ donc pour tout $n\geqslant3$,
\[
0 \leqslant u_n \leqslant u_3\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-3}.
\]
%\begin{Remarque}on peut prendre ce dernier encadrement comme une conjecture et le démontrer par récurrence si on estime que ce raisonnement n'est pas assez rigoureux.
%\end{Remarque}
\end{questions}

\item $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-3}=0$ donc, d'après l'encadrement précédent, et d'après le théorème des gendarmes,
$\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0$.

Ainsi, d'après l'encadrement démontré à la question 2, \mbox{$\lim_{n\to+\infty} I_n = 0$}.

\item De l'égalité démontrée à la question 4, et du résultat précédent, on peut écrire:
\[
\lim_{n\to+\infty} \nep^2 = \lim_{n\to+\infty}\left(\sum_{k=0}^n \dfrac{2^k}{k!}+I_n\right)
\]
soit:
\begin{align*}
\nep^2 & = \lim_{n\to+\infty}\sum_{k=0}^n \dfrac{2^k}{k!} + \underbrace{\lim_{n\to+\infty}(I_n)}_{=0}\\
\nep^2 & =\lim_{n\to+\infty}\left(1+\dfrac{2}{1!}+\dfrac{2^2}{2!}+\cdots+\dfrac{2^n}{n!}\right).
\end{align*}
\end{questions}
