\begin{questions}
\item Soit $f(x)=k$ une fonction constante solution de $(E_0)$. Alors,
\[
f'(x) = f(x) \iff 0 = k.
\]
Ainsi, la seule fonction constante à être solution de $(E_0)$ est la fonction constante nulle.

\item D'après le cours, les solutions de $(E_0)$ sont de la forme:
\[
f(x)= C\nep^{x}\quad,\quad C\in\R.
\]

\item $h(x) = 2 \cos (x) + \sin (x)$. Alors,
\[
h'(x)=-2\sin(x)+\cos(x).
\]
Ainsi,
\begin{align*}
h(x)-\cos(x)-3\sin(x) & = 2\cos(x)+\sin(x)-\cos(x)-3\sin(x)\\
                      & = \cos(x)-2\sin(x)\\
                      & = h'(x).
\end{align*}
Donc $h$ est bien solution de $(E)$.

\item
\begin{methode}
Dans ce contexte, pour montrer une équivalence de la forme:
\begin{center}
\og $f$ est solution de $(E)$ \fg{} est équivalent à \og $f - h$ est solution de $\left(E_0\right)$ \fg,
\end{center}
il est préférable de partir de la condition de droite.

C'est beaucoup plus simple en général.
\end{methode}

$\begin{aligned}[t]
f-h\text{ est solution de }(E_0) & \iff (f-h)' = f-h\\
& \iff f'-h' = f-h\\
& \iff f'-f = h'-h
\end{aligned}$

Or, $h$ est solution de $(E)$ donc:
\[
h'= h-\cos(x)-3\sin(x) \qquad\text{soit}\qquad h'-h = -\cos(x)-3\sin(x).
\]
\Par
Ainsi,
\Par
$\begin{aligned}[t]
f-h\text{ est solution de }(E_0)
& \iff f' = f - \cos(x)-3\sin(x)\\
& \iff f\text{ est solution de $(E)$}.
\end{aligned}$

\item On utilise l'équivalence démontrée à la question précédente pour trouver toutes les solutions de $(E)$
\begin{align*}
f\text{ est solution de $(E)$} & \iff f-h\text{ est solution de }(E_0)\\
& \iff (f-h)(x) = C\nep^{x},\ C\in\R\text{ (d'après la question 2)}\\
& \iff f(x) = h(x) + C\nep^{x},\ C\in\R\\
& \iff f(x) = 2\cos(x)+\sin(x)+C\nep^{x},\ C\in\R.
\end{align*}

\item La fonction $g$ est solution de $(E)$ avec $g(0)=0$ donc:
\[
g(0) = 2\cos(0)+\sin(0)+C\nep^0 = 0 \iff C = -2.
\]
Ainsi,
\[
g(x)=2\cos(x)+\sin(x)-2\nep^{x}.
\]

\item Une primitive de $g$ est:
\[
G(x) = -2\nep^x - \cos(x) + 2\sin(x)
\]
d'où:
\begin{align*}
\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \text{d}x & = G\left(\frac{\pi}{2}\right) - G(0)\\
& = -2\nep^{\frac{\pi}{2}} - \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+2\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \Big[ -2\nep^0-\cos(0)+2\sin(0) \Big]\\
& = 5-2\nep^{\frac{\pi}{2}}.
\end{align*}
\end{questions}
