\begin{questions}
\item La fonction:
\[
x\mapsto \sqrt{x^2+2}
\]
est la composée des fonctions
\[
x\mapsto x^2+2
\quad
\text{et}
\quad
x\mapsto \sqrt{x}.
\]
Or, la fonction $x\mapsto x^2+2$ est dérivable sur $\R$, à valeurs strictement positives et la fonction racine est dérivable sur $\left]0, +\infty\right[$, donc, d'après le théorème de dérivabilité des fonctions composées, la fonction \linebreak$
x\mapsto \sqrt{x^2+2}$ est dérivable sur $\R$.

\Par

Les dérivées respectives des deux fonctions sont
\[
x\mapsto 2x
\quad
\text{et}
\quad
x\mapsto \dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
\]
La dérivée cherchée est donc:
\[
x\mapsto \dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}}.
\]

\item Ainsi la dérivée de:
\[
x \mapsto x+\sqrt{x^2+2}
\]
est:
\[
x\mapsto 1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}}.
\]
On pose alors $u(x)=x+\sqrt{x^2+2}$.

D'après la question précédente, la fonction $u$ est dérivable sur $[0, 1]$. De plus, la fonction $u$ est strictement positive sur l'intervalle $[0, 1]$. La fonction $f$ étant de la forme $\ln u$, il en résulte qu'elle est dérivable sur $[0,1]$.

Donc pour tout $x\in [0,1]$,
\[
f'(x)=\dfrac{1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}}}{x+\sqrt{x^2+2}}
=\dfrac{\dfrac{\sqrt{x^2+2}+x}{\sqrt{x^2+2}} }{\  x+\sqrt{x^2+2}\ }
\]
soit:
\[
f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+2}}.
\]

\item La fonction $x\mapsto \dfrac{1 }{ \sqrt{x^2+2}}$ est continue sur l'intervalle $[0,1]$ donc elle admet des primitives sur cet intervalle et l'intégrale $I$ existe.
\[
I=\int_0^1 f'(x) \dd x
=f(1)-f(0)
=\ln(1+\sqrt{3})-\ln(\sqrt{2}).
\]
\end{questions}
