\begin{itemize}
\item Soit $F_1$ la fonction définie sur $\R^*_+$ par :
\[
F_1(x)=\int_1^x \dfrac{\dd t}{t}.
\]
D'après les théorèmes du cours, $F_1$ est la primitive de: $x\mapsto \dfrac{1}{x}$, qui\linebreak s'annule en $1$.

Or, par la relation de Chasles :
\[
F(x)=\int_x^{2x} \dfrac{1}{t} \dd t
=\int_x^{1} \dfrac{1}{t} \dd t+\int_1^{2x} \dfrac{1}{t} \dd t
=F_1(2x)-F_1(x).
\]
Donc, pour tout $x \in \R^*_+$,d'après le théorème de dérivabilité des fonctions composées,
\[
F'(x)=2F'_{1} (2x)-F'_{1}(x)
=\dfrac{2}{2x}-\dfrac{1}{x}
=0.
\]

\begin{Remarque}
puisque $\R_+^*$ est un intervalle, on peut en déduire que la fonction $F$ est constante.
Alors sa valeur se calcule par exemple en $1$ et on a $F(1)=\ln 2$.
\end{Remarque}


\item De la même façon, définissons :
\begin{align*}
G_1(x)&=\int_1^x \ln(t) \dd t.\\
\intertext{%
$G_1$ est dérivable et a pour dérivée $\ln$ et :}
G(x)&=G_1(x^2)-G_1(\sqrt{x}).\\
\intertext{%
Donc pour tout $x \in \R^*_+$,}
G'(x)&=2xG'_{1}(x^2)-\frac{1}{2\sqrt{x}}G'_1(\sqrt{x})\\
&=2x\ln(x^2)-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\ln(\sqrt{x})\;,\\
\intertext{%
soit :}
G'(x)&=4\left(x-\dfrac{1}{16\sqrt{x}}\right) \ln x.
\end{align*}
\end{itemize}

\begin{methode}
Les fonctions définies par une intégrale sont très délicates à étudier. On se ramènera à chaque fois au théorème : \par
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $a\in I$, la fonction
\[F\,:I\to\R,\quad
x\mapsto\int_{a}^{x}f(t)\dd t
\]
est \emph{la} primitive de $f$ sur $I$ qui s'annule en $a$.\par
puis on utilisera la définition de la primitive d'une fonction.\par
On se souviendra que pour dériver une fonction du type : $x\mapsto G\big(u(x)\big)$ il est indispensable d'utiliser le théorème de dérivabilité des fonctions composées.
\end{methode}
