\begin{questions}
\item
\label{intcorq8}
La fonction $f$ est dérivable sur $\left[0~;\dfrac{1}{2}\right]$ et,
\[
\begin{aligned}
\forall x \in\left[0~;\dfrac{1}{2}\right],\quad &f'(x)=\dfrac{-\nep^{-x}(1-x)+\nep^{-x}}{(1-x)^2} =\dfrac{x\nep^{-x}}{(1-x)^2} \\
\text{donc } \quad \forall x \in \left[0~;\dfrac{1}{2}\right], \quad &f'(x) \geqslant 0.
\end{aligned}
\]

Ainsi, $f$ est croissante sur $\left[0~;\dfrac{1}{2} \right]$, donc pour tout $x \in \left[0~;\dfrac{1}{2} \right]$,
\[
f(0) \leqslant f(x) \leqslant f\left(\dfrac{1}{2}\right)\;,
\]
soit:
\[
1 \leqslant f(x) \leqslant \dfrac{2}{\sqrt{\nep}}.
\]
%
\item
\begin{questions}
\item
Pour tout $x \in \left[0~;\dfrac{1}{2}\right]$, on a :
\[
1+x+\dfrac{x^2}{1-x}=\dfrac{(1+x)(1-x)+x^2}{1-x}
=\dfrac{1-x^{2}+x^{2}}{1-x}
=\dfrac{1}{1-x}.
\]
%
\item
En utilisant l'égalité démontrée à la question précédente, il vient :
\[
\begin{aligned}
I&=\int_{0}^{\frac{1}{2}} f(x) \dd x \\
&=\int_{0}^{\frac{1}{2}} \left( 1+x+\dfrac{x^2}{1-x} \right) \nep^{-x} \dd x \\
&=\int_{0}^{\frac{1}{2}} (1+x) \nep^{-x} \dd x +\int_{0}^{\frac{1}{2}}
\dfrac{x^{2}\nep^{-x}}{1-x} \dd x \\
&=\int_{0}^{\frac{1}{2}} (1+x)\nep^{-x} \dd x +\int_{0}^{\frac{1}{2}}
x^{2}f(x) \dd x.
\end{aligned}
\]

\item On a $g'(x)=-\nep^{-x}+(x+2)\nep^{-x} = (x+1)\nep^{-x}$. La fonction $g$ est donc bien une primitive de $x\mapsto (x+1)\nep^{-x}$.

\item  \label{intcorq9}
D'après \ref{intcorq8}, pour tout $x \in
\left[0~;\dfrac{1}{2}\right]$, $1\leqslant f(x) \leqslant \dfrac{2}{\sqrt{\nep}}.$

Donc, pour tout $x \in \left[0~;\dfrac{1}{2}\right]$, $x^2 \leqslant x^{2}f(x) \leqslant \dfrac{2x^{2}}{\sqrt{\nep}}.$

En intégrant entre 0 et $\dfrac{1}{2}$ on a, par conservation de l'ordre par intégration (les conditions d'application du théorème étant réunies),
\[
\int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{2} \dd x \leqslant \int_{0}^{\frac{1}{2}}
x^{2}f(x) \dd x \leqslant \int_{0}^{\frac{1}{2}} \dfrac{2x^{2}}{\sqrt{\nep}}
\dd x\;,
\]
soit :
\[
\dfrac{1}{24} \leqslant \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{2}f(x) \dd x \leqslant
\dfrac{1}{12\sqrt{\nep}}.
\]

\item  Nous avons la relation :
\begin{align*}
I&= \int_0^{\frac{1}{2}}(x+1)\nep^{-x} \dd x +\int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{2}f(x) \dd x \\
&= \Bigl[g(x)\Bigr]_0^{\frac{1}{2}} + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{2}f(x) \dd x \\
&=2-\dfrac{5}{2\sqrt{\nep}}+\int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{2}f(x) \dd x.
\end{align*}
D'après \ref{intcorq9}, on a l'encadrement suivant :
\[
\dfrac{1}{24}+2-\dfrac{5}{2\sqrt{\nep}} \leqslant I \leqslant
\dfrac{1}{12\sqrt{\nep}}+2-\dfrac{5}{2\sqrt{\nep}}.
\]
Finalement, on obtient à l'aide de la calculatrice, $I\approx0,53$ à $10^{-2}$ près.
\end{questions}
\end{questions}
