\begin{questions}
\item Comme la fonction : $x\mapsto \sqrt{1-x^2}$ est continue est positive sur l'intervalle $[0~;1]$, on sait d'après le cours que :
\[
J_0=\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\dd x
\]
est l'aire de la portion de plan comprise entre la courbe d'équation\linebreak $y=\sqrt{1-x^2}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x=1$.
\par
Or, quelque soit $x\in [0~;1]$,
\[
x^2+\left(\sqrt{1-x^2}\right)^2=x^2+1-x^2=1.
\]
On rappelle que
$x^2+y^2=1$ est l'équation du cercle de centre $O$ et de rayon unité.
\par
Ainsi, $J_0$ est égale à l'aire d'un quart de disque de rayon
unité dans un repère orthonormé.
\par
Donc :
\[
J_0=\dfrac{\pi}{4}.
\]
%
\item
Pour tout entier naturel $n$ on a, par linéarité de l'intégrale :
\[
J_{n+1}-J_n=\int_0^1 (x^{n+1}-x^n)\sqrt{1-x^2} \dd x .
=-\int_0^1
x^n(1-x)\sqrt{1-x^2} \dd x.
\]
Or, pour tout $x\in [0~;1]$, $x^n(1-x)\sqrt{1-x^2}\geqslant 0$ donc par positivité de l'intégrale (nous laissons au lecteur le soin de s'assurer que les conditions d'application de ce théorème sont réunies), on a :
\[
J_{n+1}-J_n\leqslant 0.
\]
La suite $(J_n)_{n \in \N}$ est donc décroissante.

\item
\begin{questions}
\item Pour tout $x\in [0~;1]$, pour tout entier $n$,
\[
0\leqslant x^n
\quad
\text{et}
\quad
0\leqslant \sqrt{1-x^2}\leqslant 1.
\]
Donc,
\[
0\leqslant x^n\sqrt{1-x^2} \leqslant x^n\;,
\]
soit, en appliquant le théorème sur les intégrales et l'ordre sur l'intervalle $[0~;1]$ après s'être assuré que les conditions d'application étaient réunies,
\[
0\leqslant J_n \leqslant
\int_0^1 x^n \dd x.
\]

\item Comme pour tout entier naturel $n$,
\[
\int_0^1 x^n \dd x=\dfrac{1}{n+1}\;,
\]
 on obtient un encadrement de $J_n$ :
\[
 0\leqslant J_n \leqslant \dfrac{1}{n+1}.
 \]
 Or,
\[
\lim_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n+1}=0.
\]
D'où, par le théorème de limite par encadrement (théorème des gendarmes),
\[
\lim\limits_{n \to +\infty} J_n=0.
\]
\end{questions}
\end{questions}
