\begin{questions}
\item
Posons
\[
\begin{aligned}
u'(x)=\nep^{-x}
\quad
\text{alors}
\quad
&u(x)=-\nep^{-x}. \\
v(x)=\cos x
\quad
\text{alors}
\quad
&v'(x)=-\sin x.
\end{aligned}
\]
Les fonctions $u$ et $v$ sont dérivables, à dérivées continues sur $\R$ donc, d'après le théorème d'intégration par parties :
\[
\begin{aligned}
F(t)&=\left[  -\cos x\cdot \nep^{-x}\right]_{0}^{t}-\int_{0}^{t} \sin x
\cdot\nep^{-x} \dd x \\
&=-\cos t \cdot \nep^{-t}+1-G(t) \\
&=1-\cos t \cdot \nep^{-t}-G(t).
\end{aligned}
\]
Procédons de nouveau au calcul de $F(t)$ en utilisant, comme le demande l'énoncé, l'autre possibilité d'intégration par parties.
\[
\begin{aligned}
u'(x)=\cos x
\quad
\text{alors}
\quad
&u(x)=\sin x. \\
v(x)=\nep^{-x}
\quad
\text{alors}
\quad
&v'(x)=-\nep^{-x}.
\end{aligned}
\]
D'où:
\[
\begin{aligned}
F(t)&=\left[  \sin x\cdot \nep^{-x}\right]_{0}^{t}+\int_{0}^{t} \sin x
\cdot\nep^{-x} \dd x \\
&=\sin t\cdot \nep^{-t}+G(t).
\end{aligned}
\]

\item Les deux relations établies précédemment permettent d'écrire le système :
\[
\left \{
\begin{aligned}
F(t)+G(t)&=1-\cos t \cdot \nep^{-t}
&&\qquad
(1) \\
F(t)-G(t)&=\sin t \cdot \nep^{-t}
&&\qquad
 (2) \\
\end{aligned}
\right.
\]
\[
\begin{aligned}
(1)+(2) & \Longrightarrow F(t)=\dfrac{1}{2} \left[  1+(\sin t-\cos t)
\nep^{-t}\right] \\
(1)-(2) & \Longrightarrow G(t)=\dfrac{1}{2} \left[  1-(\sin t+\cos t)
\nep^{-t}\right] \\
\end{aligned}
\]
\end{questions}
