Posons
\[
u(t)=\cos(\ln t)
\quad
\text{et}
\quad
v(t)=t.
\]
Alors :
\[
u'(t)=-\dfrac{1}{t}\sin(\ln t)
\quad
\text{et}
\quad
v'(t)=1.
\]
Les fonctions $u$ et $v$ sont dérivables sur $\left[1, +\infty\right[$ et les fonctions $u'$ et $v'$ sont continues sur $\left[1, +\infty\right[$ donc, d'après le théorème d'intégration par parties, on a, pour tout $x\geqslant 1$:
\[
F(x)=\int_1^x \cos(\ln t)\dd t
=\bigl[
  t\cos(\ln t)\bigr]_1^x+\int_1^x \sin(\ln t)\dd t.
\]
Ainsi, pour tout $x\geqslant 1$,
\[
F(x)=x\cos(\ln x)-1+G(x).
\]
De la même façon, en posant:
\[
f(t)=\sin(\ln t)
\quad
\text{et}
\quad
g(t)=t
\]
on a :
\[
f'(t)=\dfrac{1}{t}\cos(\ln t)
\quad
\text{et}
\quad
g'(t)=1.
\]
Donc pour tout $x\geqslant 1$:
\[
\begin{aligned}
G(x)=\int_1^x \sin(\ln t)\dd t=
\bigl[
  t\sin(\ln t)\bigr]_1^x-\int_1^x \cos(\ln t)\dd t
\end{aligned}
\]
soit pour tout $x\geqslant 1$,
\[
G(x)=x\sin(\ln x)-F(x).
\]
Donc pour tout $x\geqslant 1$,
\[
\left\{
\begin{aligned}
F(x)-G(x)&=x\cos(\ln x)-1\\
F(x)+G(x)&=x\sin(\ln x)\\
\end{aligned}
\right.
\]
Soit, pour tout $x\geqslant1$,
\[
\left\{
\begin{aligned}
F(x)&=\dfrac{x}{2}\left( \sin(\ln x)+\cos(\ln x)\right)-\dfrac{1}{2}\\
G(x)&=\dfrac{x}{2}\left(\sin(\ln x)-\cos(\ln x)\right)+\dfrac{1}{2}\\
\end{aligned}
\right.
\]
