\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0){\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/ILTM2026ch08exoRelRec}}}
\vspace*{-5mm}
\begin{questions}
\item Soient $n$ et $k$ deux entiers avec $0\leqslant k \leqslant
n$ et $0<n$.


Posons :

\[
u(x)=\dfrac{1}{k+1}x^{k+1}\quad\text{et}
\quad v(x)=(1-x)^{n-k}.
\]

Alors :

\[
u'(x)=x^k \quad\text{et} \quad
v'(x)=-(n-k)(1-x)^{n-(k+1)}.
\]

\Par

Les fonctions $u$ et $v$ étant dérivables, à dérivées continues sur $[0, 1]$,\linebreak on peut appliquer le théorème d'intégration par parties (page suivante).

\newpage

\[
\begin{aligned}
\int_0^1 x^k(1-x)^{n-k}\dd x
&=\left[ \dfrac{1}{k+1}x^{k+1}(1-x)^{n-k} \right]_0^1\\
&\hspace{1,5cm}+\dfrac{n-k}{k+1}
\int_0^1 x^{k+1}(1-x)^{n-(k+1)} \dd x \\[12pt]
&=\dfrac{n-k}{k+1}\int_0^1 x^{k+1}(1-x)^{n-(k+1)} \dd x.
\end{aligned}
\]
Or, en revenant à l'écriture des coefficients binomiaux à l'aide des factorielles, on montre que
$\displaystyle \dfrac{n-k}{k+1}\binom{n}{k}=\binom{n}{k+1}$, donc il vient :

\begin{align*}
I_{k,n} & =\binom{n}{k}\,\int_0^1 x^k(1-x)^{n-k}\dd x\\[12pt]
& = \binom{n}{k+1}\int_0^1 x^{k+1}(1-x)^{n-(k+1)} \dd x\\[12pt]
& = I_{k+1,n}.
\end{align*}

\item Pour tout entier $k$ tel que $0\leqslant k \leqslant n$, nous avons :
\[
I_{k,n}=I_{0,n}.
\]
On en déduit:
\[
I_{0,n}=\dfrac{1}{n+1}.
\]
On a donc, pour tout entier $n\geqslant2$ et tout entier $k\leqslant n$:
\[
I_{k,n}= \dfrac{1}{n+1}.
\]
\end{questions}
