\begin{questions}
\item Commençons par simplifier la fraction donnée:
\begin{align*}
\dfrac{\dbinom{n+1}{p}}{\dbinom{n}{p}} & = \dbinom{n+1}{p}\times\dfrac{1}{\dbinom{n}{p}}
\end{align*}

\begin{align*}
\dfrac{\dbinom{n+1}{p}}{\dbinom{n}{p}}
&= \dfrac{(n+1)!}{\cancel{p!} \times (n+1-p)!} \times \dfrac{\cancel{p!} \times (n-p)!}{n!}\\
& = \dfrac{\cancel{n!} \times (n+1) \times \cancel{(n-p)!}}{\cancel{(n-p)!} \times (n-p+1) \times \cancel{n!}}\\
& = \dfrac{n+1}{n-p+1}.
\end{align*}
Ainsi,
\begin{align*}
\dfrac{\dbinom{n+1}{10}}{\dbinom{n}{10}} < 220 & \iff  \dfrac{n+1}{n-10+1} < 220\\
& \iff n+1 < 220 (n-9)\quad\text{ (car }n\geqslant10)\\[8pt]
& \iff 219n > 1+9\times220\\[8pt]
& \iff n  > \dfrac{\numprint{1981}}{219}\\[8pt]
& \iff n \geqslant 10.
\end{align*}

\item $\begin{aligned}[t]
\dbinom{n}{3}=220 & \iff \dfrac{n!}{3!\times(n-3)!}=220\\[8pt]
& \iff \dfrac{(n-3)! \times (n-2)(n-1)n}{3!\times(n-3)!}=220
\end{aligned}$

$\begin{aligned}[t]
\dbinom{n}{3}=220
& \iff \dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}=220\\[8pt]
& \iff n(n-1)(n-2)=\numprint{1320}.
\end{aligned}$

\Par

$n(n-1)(n-2)$ désigne le produit de 3 entiers consécutifs. Ce produit doit être égal à un nombre dont l'ordre de grandeur est $\numprint{1000}=10^3$, ce qui nous pousse alors à effectuer $10 \times 11 \times 12$.

On trouve justement \numprint{1320}.

\Par

Ainsi, $n = 12$. Cette solution est unique car $n\mapsto n(n-1)(n-2)$ est strictement croissante sur $\N$.
\end{questions}
