\begin{questions}
\item Il y a en tout 17 personnes et on cherche le nombre de groupes de 10 personnes que l'on peut former à partir de ces 17 personnes. Il y en a:
\[
\dbinom{17}{10}=\numprint{19448}.
\]

\item On souhaite qu'il y ait autant d'hommes que de femmes, donc qu'il y ait 5 hommes et 5 femmes. Le nombre de jurys possibles est donc:
\[
\dbinom{8}{5}\times\dbinom{9}{5}=\numprint{7056}.
\]

\item Ici, il n'y a pas de moyen direct d'arriver au résultat : il faut faire une \textit{disjonction de cas}, c'est-à-dire énumérer tous les cas où il y a plus d'hommes que de femmes:
\begin{itemize}
\item s'il y a 8 hommes (nombre maximal d'hommes) alors il y aura 2 femmes; le nombre de jurys possibles est alors:
\[
\dbinom{8}{8}\times\dbinom{9}{2}=36;
\]
\item s'il y a 7 hommes alors il y aura 3 femmes; le nombre de jurys possibles est alors:
\[
\dbinom{8}{7}\times\dbinom{9}{3}=672;
\]
\item s'il y a 6 hommes alors il y aura 4 femmes; le nombre de jurys possibles est alors:
\[
\dbinom{8}{6}\times\dbinom{9}{4}=\numprint{3528}.
\]
\end{itemize}
Ce sont les seuls cas possibles. Il y a donc en tout:
\[
\numprint{3528} + 672 + 36 = \numprint{4236}
\]
jurys possibles composés de plus d'hommes que de femmes.

\item Nous avons vu dans la question 2 qu'il y avait \numprint{7056} jurys composés d'autant d'hommes que de femmes.

Dans cette question, il faut soustraire à ce nombre le nombre de jurys où Monsieur X et Madame Y se retrouvent ensemble. Ces jurys sont de la forme:
\begin{center}
M. X + Mme Y + 4 autres hommes que M. X + 4 autres femmes que Mme Y.
\end{center}
Leurs nombres s'élèvent donc à:
\[
1 \times 1 \times \dbinom{7}{4} \times \dbinom{8}{4} = \numprint{2450}.
\]
Ainsi, le nombre de jurys comportant autant d'hommes que de femmes dans lesquels M. X et Mme Y ne sont pas ensemble est égal à:
\[
\numprint{7056} - \numprint{2450} = \numprint{4606}.
\]
\end{questions}
