
\subsectionnn{Partie A}

\begin{methode}
Il s'agit ici d'une partie où l'objectif principal est clairement d'établir le sens de variation d'une fonction. Dans ce genre de partie, les questions se ressemblent souvent d'un sujet à l'autre:
\begin{itemize}
\item calcul d'une ou deux limites,
\item calcul d'une dérivée pour trouver le sens de variation de la fonction,
\item preuve de l'existence d'une solution à une équation (corollaire du théorème des valeurs intermédiaires).
\end{itemize}
\end{methode}

\begin{questions}
\item
\begin{itemize}
\item Calcul de $\lim\limits_{x\to-1}f(x)$.
\Par
$\lim\limits_{x\to-1}(x-1)=-1-1=-2$.

De plus, en posant $X=x+1$, on a $\lim\limits_{x\to-1}(x+1)=0$, d'où:
\[
\lim\limits_{x\to-1}\dfrac{\ln(x+1)}{x+1}=\lim\limits_{X\to0}\dfrac{\ln(X)}{X}=-\infty\text{ (croissance comparée)}.
\]
Finalement,
\[
\lim\limits_{x\to-1}f(x)=-\infty.
\]

\item Calcul de $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$.
\Par
$\lim\limits_{x\to+\infty}(x+1)=+\infty$.

De plus, en posant $X=x+1$, on a $\lim\limits_{x\to+\infty}(x+1)=+\infty$, d'où:
\[
\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x+1)}{x+1}=\lim\limits_{X\to+\infty}\dfrac{\ln(X)}{X}=0\text{ (croissance comparée)}.
\]
Finalement,
\[
\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.
\]
\end{itemize}

\item Posons $a(x)=x-1$ et $b(x)=\dfrac{\ln(x+1)}{x+1}$.
\[
f'(x) =  a'(x)+b'(x)=1+b'(x).
\]
$b(x)=\dfrac{u(x)}{v(v)}$, avec:
\begin{align*}
u(x)=\ln(x+1) & \qquad \text{et}\qquad v(x)=x+1\\
u'(x)=\dfrac{1}{x+1} & \qquad\text{et}\qquad v(x)=1.
\end{align*}
Ainsi,
\begin{align*}
b'(x)& = \dfrac{u'v - v'u}{v^2}(x)\\
b'(x)& = \dfrac{\tfrac{1}{x+1}\times(x+1) - 1\times\ln(x+1)}{(x+1)^2}\\
b'(x)& = \dfrac{1-\ln(x+1)}{(x+1)^2}.
\end{align*}
Finalement,
\begin{align*}
f'(x) & = 1+\dfrac{1-\ln(x+1)}{(x+1)^2}\\
f'(x)& = \dfrac{(x+1)^2+1-\ln(x+1)}{(x+1)^2}\\
f'(x)& = \dfrac{x^2+2x+2-\ln(x+1)}{(x+1)^2}.
\end{align*}

\item
\begin{questions}
\item $N'(x)=\dfrac{2x^2+4x+1}{x+1}$ et sur $]- 1~;~ + \infty[$, $x+1>0$ donc $N(x)$ est du signe de $2x^2+4x+1$, dont le discriminant est:
\[
\Delta = 4^2-4\times2\times1=16-8=8.
\]
Le polynôme $2x^2+4x+1$ admet donc deux racines:
\[
x_1=\dfrac{-4-\sqrt8}{4}=-1-\dfrac{\sqrt2}{2}<-1\text{ donc n'est pas prise en compte}
\]

\[
\text{et }
x_2=\dfrac{-4+\sqrt8}{4}=-1+\dfrac{\sqrt2}{2}>-1\text{ donc est prise en compte}.
\]
On en déduit le tableau suivant:
\[
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{array}{|C|lcccr|}
\hline\tabulartitle
x     &    -1     &   & x_2 &   & +\infty \\
\hline
N'(x) &  \dvline  & - &  0  & + &         \\
\hline
N     &         \dvline  & \searrow &  & \nearrow & \\
\hline
\end{array}
\]

\item Une valeur approchée du minimum de $N(x)$ est (à la calculatrice):
\[
N(x_2) \approx 1,85 >0.
\]
Ainsi, sur $]- 1~;~ + \infty[$, $N(x) >0$ et donc $f'(x) > 0$.

On en déduit alors que $f$ est strictement croissante sur $]- 1~;~ + \infty[$.
\end{questions}

\item $f$ est continue est strictement croissante sur $]-1;+\infty[$.

De plus, nous avons vu précédemment que $\begin{cases}\lim\limits_{x\to-1}f(x)=-\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\end{cases}$.

0 est donc une valeur de l'ensemble image de $]-1;+\infty[$ par $f$.

\Par

Ainsi, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique valeur $\alpha$ telle que $f(\alpha)=0$ sur $]-1;+\infty[$.

L'équation $f(x)=0$ admet donc bien une unique solution (qui est $\alpha$) sur $]-1;+\infty[$.

\item Par définition de $\alpha$,
\begin{align*}
f(\alpha)=0 & \iff (\alpha-1)+\dfrac{\ln(1+\alpha)}{1+\alpha}=0\\
& \iff \dfrac{(\alpha-1)(\alpha+1)+\ln(1+\alpha)}{1+\alpha}=0\\
& \iff (\alpha-1)(\alpha+1)+\ln(1+\alpha)=0\\
& \iff \alpha^2-1 + \ln(1+\alpha) = 0\\
& \iff \ln(1+\alpha) = 1-\alpha^2.
\end{align*}
\end{questions}

\enlargethispage*{5em}

\vspace*{-1.5em}
\subsectionnn{Partie B}

\begin{methode}
Dans cette partie, nous allons a priori étudier une suite. Dans de nombreux sujets de bac, les questions traitent des thèmes suivants:
\begin{itemize}
\item démonstration par récurrence d'un encadrement,
\item théorème de convergence des suites monotones,
\item théorème du point fixe.
\end{itemize}
Il faut donc que nos connaissances soient solides sur ces thèmes.
\end{methode}

\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item Soit $x\in[0;1]$. Puisque $\varphi$ est strictement décroissante sur $[0;1]$, on a:
\begin{align*}
0 \leqslant x \leqslant 1 & \iff \varphi(1) \leqslant \varphi(x) \leqslant \varphi(0)\\
& \iff 1-\dfrac{\ln2}{2} \leqslant \varphi(x) \leqslant 1\\
& \iff 0 \leqslant \varphi(x) \leqslant 1.
\end{align*}
En posant $X=\varphi(x)$, on a $X\in[0;1]$ donc $0 \leqslant \varphi(X) \leqslant 1$, soit:
\[
0 \leqslant \varphi\big( \varphi(x) \big) \leqslant 1.
\]

\item Notons:
\[
(\mathcal{P}_n)\;:\; 0\leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 1.
\]
\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation.}
\Par
On a:
\[
u_1 = \varphi(\varphi(0)) = \varphi(1) = 1-\dfrac{\ln2}{2} \approx 0,696.
\]
Ainsi,
\[
0 \leqslant u_1 \leqslant u_0 \leqslant 1.
\]
$(\mathcal{P}_0)$ est donc vraie.

\Par

\item \textit{Hérédité.}
\Par
Supposons que pour un entier $k$ fixé, $(\mathcal{P}_k)$ est vraie, c'est-à-dire:
\[
0 \leqslant u_{k+1} \leqslant u_k \leqslant 1.\qquad(HR)
\]
Montrons alors que $(\mathcal{P}_{k+1})$ est vraie, c'est-à-dire que:
\[
0 \leqslant u_{k+2} \leqslant u_{k+1} \leqslant 1.
\]
Partons de l'hypothèse de récurrence $(HR)$:
\begin{align*}
(HR) & \Longrightarrow \varphi(1) \leqslant \varphi(u_k) \leqslant \varphi(u_{k+1}) \leqslant \varphi(0)
\intertext{(car la fonction $\varphi$ est strictement décroissante)}
& \Longrightarrow \underbrace{\varphi(\varphi(0))}_{\approx0,70} \leqslant \varphi(\varphi(u_{k+1})) \leqslant \varphi(\varphi(u_k)) \leqslant \underbrace{\varphi(\varphi(1))}_{\approx0,69}
\intertext{(on retourne encore l'encadrement car $\varphi$ est décroissante)}
& \Longrightarrow 0 \leqslant u_{k+2} \leqslant u_{k+1} \leqslant 1.
\end{align*}
Ainsi, $(\mathcal{P}_{k+1})$ est vraie.
\Par

\item \textit{Conclusion.}
\Par
$(\mathcal{P}_0)$ est vraie et, pour un entier $k$ fixé, $(\mathcal{P}_{k})\Longrightarrow(\mathcal{P}_{k+1})$ donc, d'après le principe de récurrence, $(\mathcal{P}_{n})$ est vraie pour tout entier naturel $n$.
\end{itemize}

\item Nous venons de démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante et minorée (par 0).

Donc, d'après le théorème de convergence des suites monotones, $(u_n)$ converge.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item On a vu dans la partie A que $\ln(1+\alpha)=1-\alpha^2$, d'où:
\begin{align*}
\varphi(\alpha) & = 1 - \dfrac{\ln(1+\alpha)}{1+\alpha}\\
& = 1- \dfrac{1-\alpha^2}{1+\alpha}\\
& = 1- \dfrac{(1+\alpha)(1-\alpha)}{1+\alpha}\\
& = 1- (1-\alpha)\\
& = \alpha.
\end{align*}
Ainsi,
\[
\varphi(\varphi(\alpha)) = \varphi(\alpha) = \alpha.
\]

\item $\varphi$ est une fonction continue et $(u_n)$ est convergente. D'après le théorème du point fixe, cette limite est solution de l'équation \linebreak $x = \varphi(\varphi(x))$.

Or, $\alpha$ est la seule solution à cette équation sur $[0;1]$. Ainsi,
\[
\lim\limits_{n\to+\infty}(u_n)=\alpha.
\]
\end{questions}
\end{questions}

\begin{attention}
Cette seconde partie peut paraître plus difficile que ce que vous avez pu voir dans les annales du baccalauréat, et c'est normal: les directives récentes laissent à suggérer que le niveau de l'épreuve tend à être révisé à la hausse. Nous avons donc voulu proposer un sujet qui vous permet de voir votre facilité à vous adapter à un contexte légèrement différent que celui auquel vous avez l'habitude d'être confrontés.
\end{attention}
