\begin{questions}
\enlargethispage*{2\baselineskip}
\item Le fait de faire une équipe de 3 filles et 3 garçons consiste à former un ensemble où l'ordre ne compte pas. Parmi les méthodes de dénombrements en notre possession, seule les \textit{combinaisons} permettent de dénombrer de tels ensembles \textit{non ordonnés}.
\Par
On choisit \textit{3 filles parmi les 18} de la classe \underline{et} \textit{3 garçons parmi les 14} de la classe. Il y a donc:
\[
\binom{18}{3} \times \dbinom{14}{3} = \numprint{297024}\text{ possibilités}.
\]

L'affirmation 1 est donc exacte.

\Par

\item Pour calculer $\displaystyle\int_1^\nep x\ln(x)\text{d}x$, nous allons utiliser une \textit{intégration par\linebreak parties} en posant:
\begin{align*}
u(x) = \ln(x) & \qquad u'(x)=\dfrac{1}{x}\\
v'(x)=x & \qquad v(x)=\dfrac{1}{2}x^2
\end{align*}
Alors,
\begin{align*}
\displaystyle\int_1^\nep x\ln(x)\text{d}x & = \displaystyle\int_1^\nep (uv')(x)\text{d}x\\
& = \big[ (uv)(x) \big]_1^\nep - \displaystyle\int_1^\nep (u'v)(x)\text{d}x\\
& = \left[ \dfrac{1}{2}x^2 \ln(x) \right]_1^\nep - \displaystyle\int_1^\nep \dfrac{1}{2}x^2 \times \dfrac{1}{x}\text{d}x\\
& = \dfrac{1}{2}\nep^2\ln(\nep) - \dfrac{1}{2}\times1^2\times\ln(1) - \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_1^\nep x\text{d}x\\
& = \dfrac{1}{2}\nep^2 - 0 - \dfrac{1}{2}\left[ \dfrac{1}{2}x^2\right]_1^\nep\\
& = \dfrac{\nep^2}{2}-\dfrac{1}{4}(\nep^2-1)\\
& = \dfrac{2\nep^2-\nep^2+1}{4}\\
& = \dfrac{\nep^2+1}{4}.
\end{align*}

L'affirmation 2 est donc exacte.

\Par

\item
\begin{itemize}
\item $\gvec{AB}\begin{pmatrix}5-1\\-1-1\\8-2\end{pmatrix}$, soit $\gvec{AB}\begin{pmatrix}4\\-2\\6\end{pmatrix}$ et $\gvec{AC}\begin{pmatrix}2-1\\1-1\\3-2\end{pmatrix}$, soit $\gvec{AC}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$.
\Par
Ainsi, $\gvec{AB}\cdot\gvec{AC}=4\times1 + (-2)\times0 + 6\times1 = 10$.

\Par

\item On sait de plus, que:
\begin{align*}
\gvec{AB}\cdot\gvec{AC} & = AB \times AC \times \cos\widehat{BAC}\\
10 & = \sqrt{4^2+(-2)^2+6^2} \times \sqrt{1^2+0^2+1^2} \times \cos\widehat{BAC}\\
10 & = \sqrt{56} \times \sqrt{2} \times \cos\widehat{BAC}\\
\iff \cos\widehat{BAC} &= \dfrac{10}{\sqrt{56\times2}}=\dfrac{10}{\sqrt{112}} \neq \dfrac{\sqrt3}{2}.
\end{align*}
Donc $\widehat{ABC}\neq30\degres$.
\Par
L'affirmation 3 est donc fausse.
\end{itemize}

\item
\begin{itemize}
\item Regardons si $(d)$ et $(d')$ sont parallèles.
\Par
Un vecteur directeur de $(d_1)$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$ et un vecteur directeur de $(d')$ est $\vec{v'}\begin{pmatrix}4\\4\\-6\end{pmatrix}$.

$\dfrac{4}{1} \neq \dfrac{4}{-1}$ donc les vecteurs ne sont pas colinéaires. Ainsi, les droites le son pas parallèles.

\Par

\item Regardons si les droites sont sécantes.
\Par
Pour cela, on résout le système:
\begin{align*}
\begin{cases}
15+k & =  1+4s\\
8-k & = 2+4s\\
-6+2k & = 1-6s
\end{cases} & \iff
\begin{cases}
k-4s & = -14\quad(L_1)\\
k+4s & = 6\quad(L_2)\\
2k+6s & = 7\quad(L_3)
\end{cases}\\
& \iff
\begin{cases}
2k & = -8 \quad (L_1)+(L_2)\\
k+4s&=6\\
2k+6s&=7
\end{cases}\\
& \iff
\begin{cases}
k&= -4\\
4s&=6+4=10\\
6s&=7-2\times(-4)=15
\end{cases}\\
& \iff
\begin{cases}
k&= -4\\
s&=\dfrac{5}{2}\\[6pt]
s&=\dfrac{15}{6}=\dfrac{5}{2}
\end{cases}
\end{align*}
Le système admet donc un unique couple solution $\left(k=-4;s=\dfrac{5}{2}\right)$ donc les droites sont sécantes.

\Par

L'affirmation 4 est alors exacte.

\item $x\in[0;1[$ donc $(x-1)<0$. De plus,
\begin{align*}
\forall n\in\N,\quad u_n=\nep^n\left((x-1)+\dfrac{\cos(n)}{\nep^n}\right)
\end{align*}
et
\begin{align*}
\forall n\in\N,\quad & -1 \leqslant \cos(n) \leqslant 1 \\
 \iff & \dfrac{-1}{\nep^n} \leqslant \dfrac{\cos(n)}{\nep^n} \leqslant \dfrac{1}{\nep^n}\\
\iff & \nep^n\left((x-1)-\dfrac{1}{\nep^n}\right) \leqslant u_n \leqslant \nep^n\left((x-1)+\dfrac{1}{\nep^n}\right)
\end{align*}
Or,
\[
\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{\nep^n}\right)=0
\]
d'où:
\[
\lim_{n\to+\infty}\left( (x-1) + \dfrac{1}{\nep^n} \right) = x-1.
\]
De plus,
\[
\lim_{n\to+\infty} \nep^n = +\infty.
\]
Ainsi,  par produit des limites,
\[
\lim_{n\to+\infty} \left[ \nep^n\left((x-1)+\dfrac{1}{\nep^n}\right) \right] = -\infty.
\]
Nous avons montré précédemment que:
\[
u_n \leqslant \nep^n\left((x-1)+\dfrac{1}{\nep^n}\right).
\]
D'après le théorème de comparaison, on en déduit que:
\[
\lim_{n\to+\infty} u_n = -\infty.
\]
\Par

L'affirmation 5 est donc exacte.
\end{itemize}
\end{questions}
