\thumb

%%% Vérif OK : modif correction 

\begin{vf}{Suites convergentes}{10}
Parmi les propositions suivantes, quelles sont celles qui sont exactes ?
\begin{questions}
\item Une suite monotone et bornée converge.

\item Si la suite $(u_n)$ converge vers 0 et si la suite $(v_n)$ est telle que, pour $n \geqslant 100$, $v_n \leqslant u_n$, alors la suite $(v_n)$ converge aussi vers 0.

\item Pour qu'une suite converge, il suffit qu'elle soit décroissante et positive.

\item Si $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (u_{n+1}-u_n) =0$, alors la suite $(u_n)$ converge.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \textit{Vrai}. C'est le théorème de convergence.

\item \textit{Faux}. Pour prouver cela, il suffit de trouver un contre-exemple. Considérons la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n-1$. Alors, pour tout entier $n$, $v_n\leqslant u_n$ (a fortiori pour $n\geqslant100$).

Si la suite $(u_n)$ converge vers 0 alors la suite $(v_n)$ converge vers $-1$, et non vers 0.

\item \textit{Vrai}. Si la suite $(u_n)$ est positive alors, elle est minorée par 0. De plus, d'après le théorème de convergence, si $(u_n)$ est décroissante, alors elle converge. 
 
\item \textit{Faux}. Pour le prouver, il suffit de trouver un contre-exemple.

Si $u_n=\sqrt{n}$ alors :
\begin{align*}
u_{n+1}-u_n & = \sqrt{n+1}-\sqrt{n}\\
& = \dfrac{\big(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\big)\big(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\big)}{\big(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\big)}\\
& = \dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}.
\end{align*}

Ainsi, $\lim\limits_{n\to+\infty}(u_{n+1}-u_n)=0$ et pourtant, $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%% modif correction

\begin{vf}{Convergence et opérations}{10}
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites.\\
Parmi les propositions suivantes, quelles sont celles qui sont exactes ?

\begin{questions}
\item Si la suite $(u_n+v_n)$ converge alors les deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent aussi.
\item Si la suite $(u_nv_n)$ converge alors les deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent aussi.
\item Si la suite $(u_nv_n)$ converge vers 0 alors l'une au moins des deux suites $(u_n)$ ou $(v_n)$ converge aussi vers 0.
\item Si $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers la même limite finie $L$ alors il existe un entier $n_0$ tel que, pour tout entier $n \geq n_0$, $u_n=v_n$.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \textit{Faux}. Il suffit de considérer les suites de terme général $u_n=n$ et\linebreak $v_n=-n$. Leur somme est la suite nulle qui est convergente; cependant, les deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont divergentes. 

\item \textit{Faux}. Si $u_n=n+1$ et $v_n~=~\dfrac{1}{n+1}$ alors $u_nv_n=1$ donc la suite $(u_n v_n)$ converge; cependant, la suite $(u_n)$ ne converge pas.

\item \textit{Faux}. En effet, si :
\[
\begin{cases}
u_n=0 & \text{pour $n$ pair}\\
u_n=1 & \text{pour $n$ impair}
\end{cases}\text{ et }
\begin{cases}
v_n=1 & \text{pour $n$ pair}\\
v_n=0 & \text{pour $n$ impair}
\end{cases}
\]
alors $(u_nv_n)$ converge vers 0 (car $u_nv_n=0$ pour tout entier $n$) alors que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ ne convergent pas vers 0.
 
\item \textit{Faux}. Les suites de terme général $\dfrac{1}{n}$ et $\dfrac{1}{n+1}$ admettent toutes les deux la même limite finie $L=0$. Cependant, il n'existe aucun entier $n$ tel que\linebreak $\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{n+1}$.
\end{questions}
\newpage
\end{corrige}   

%%% modif correction

\begin{vf}{Vérifications des connaissances}{10}
On considère une suite $(u_n)$ dont aucun terme n'est nul.

On définit alors la suite $(v_n)$ par $v_n =-\dfrac{2}{u_n}$.

Pour chaque proposition, dire si elle est vraie ou fausse. Si elle est vraie, donner une démonstration, et si elle est fausse, donner un contre-exemple.
\enlargethispage*{\baselineskip}

\begin{questions}
\item Si $(u_n)$ est convergente alors $(v_n)$ est convergente.
\item Si $(u_n)$ est minorée par 2 alors $(v_n)$ est minorée par $-1$.
\item Si $(u_n)$ est décroissante alors $(v_n)$ est croissante.
\item Si $(u_n)$ est divergente alors $(v_n)$ est convergente de limite nulle.
\item Si $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty$ alors, à partir d'un certain rang, toutes les valeurs de la suite $(u_n)$ sont nécessairement supérieures à \numprint{1000000}.
\item Si, à partir d'un certain rang,  toutes les valeurs de la suite $(u_n)$ sont supérieures à \numprint{1000000}, alors $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.
\item Si une suite $(u_n)$ est croissante alors $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.
\item Si une suite est décroissante et minorée par 0 alors elle converge vers 0.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \textit{Faux}. Si $u_n =\dfrac{1}{n}$ pour tout $n>0$ alors aucun terme de cette suite n'est nul et $(u_n)$ converge vers 0. Cependant, $(v_n)$ tend vers $-\infty$, donc diverge.

\item \textit{Vrai}. En effet,
\begin{align*}
u_n\geqslant2 & \iff 0<\dfrac{1}{u_n}\leqslant\dfrac{1}{2}\quad\text{par passage à l'inverse}\\
& \iff  0<\dfrac{2}{u_n}\leqslant 1 \quad\text{par produit par 2}\\
& \iff -1 \leqslant -\dfrac{2}{u_n}<0 \text{ en prenant l'opposé des 3 termes}\\
& \iff -1 \leqslant v_n <0.
\end{align*}

\item \textit{Faux}. Reprenons la suite $(u_n)$ définie sur $\N^*$ par $u_n =\dfrac{1}{n}$. 

Alors $v_n=-2n$.  $(u_n)$ est décroissante et $(v_n)$ aussi.

\item \textit{Faux}. $(u_n)$ peut être divergente sans tendre vers l'infini; par exemple, si $u_n = (-1)^n$, $(u_n)$ diverge car elle prend alternativement les valeurs 1\linebreak et $-1$, et $(v_n)$ diverge aussi car elle prend alternativement les valeurs 2 et $-2$.

\item \textit{Vrai}. En effet, si $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty$ alors il existe un rang à partir duquel tous les termes de la suite sont supérieur à n'importe quel réel positif (par exemple \numprint{1000000}).

\item \textit{Faux}. Si $u_n=\nombre{1000000}+\dfrac{1}{n}$ pour $n>0$ alors $u_n>\nombre{1000000}$; cependant,$\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\nombre{1000000}$.

\item \textit{Faux}. La suite de terme général $u_n=\dfrac{n+1}{n+2_{}}$ est croissante (il suffit de calculer $u_{n+1}-u_n$ qui est clairement positif) et sa limite est 1.

\item \textit{Faux}. La suite de terme général $u_n=1+\dfrac{1}{n}$ est décroissante et minorée par $0$. Cependant, sa limite vaut 1.
\end{questions}
\end{corrige}

%%% modif correction 

%\begin{vf}{Vérifications des connaissances}{15}
%Les affirmations suivantes sont-elles exactes ?
%\begin{questions}
%\item La suite définie sur $\N$ par $u_n=n^2+3$ est une suite géométrique.
%
%\item La suite définie sur $\N$ par $u_n=2n+3$ est une suite arithmétique.
%
%\item $3+4+5+\cdots+\numprint{2002}=\dfrac{\numprint{2000}\times\numprint{2005}}{2}$.
%
%\item $1+2+2^2+2^3+\cdots+2^{15}=\dfrac{1-2^{15}}{1-2}$.
%\end{questions}
%\end{vf}
%
%\begin{corrige}
%\begin{questions}
%\item \textit{Faux}. En effet, $u_0=3$, $u_1=4$ et $u_2=7$. On constate alors que $u_1=\dfrac{4}{3}u_0$ et $u_2=\dfrac{7}{4}u_1$, ce qui prouve que la suite considérée n'est pas géométrique.
%
%\item \textit{Vrai}. Pour tout entier naturel $n$, 
%$u_n=2n+3=u_0+nr$ avec $u_0=3$ et $r=2$ donc la suite $(u_n)$ est arithmétique de raison 2.
%
%\item \textit{Vrai}. Il s'agit de la somme des $\numprint{2000}$ premiers termes de la suite arithmétique de premier terme 3 et de raison 1. On applique alors la formule du cours:
%\[
%u_1+\cdots+u_n=n\times\dfrac{u_1+u_n}{2}=\numprint{2000}\times\dfrac{3+\numprint{2002}}{2}.
%\]
%
%
%\item \textit{Faux}. On sait que:
%\[
%1+q+q^2+\cdots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}
%\]
%donc:
%\[
%1+2+2^2+\cdots+2^{15}=\dfrac{1-2^{16}}{1-2}=2^{16}-1.
%\]
%\end{questions}
%\end{corrige}

%%%% NEW 2023
\newpage
\begin{vf}{Limites}{10}
Répondre par \textit{vrai} ou \textit{faux} aux affirmations suivantes \textit{en justifiant succinctement}:
\begin{questions}
\item $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{2^n+3}{3^n+2}=\dfrac{3}{2}$.
\item $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{6\sqrt{n}-n}{\sqrt{n}+n}=6$.
\item $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{\sin(n)-2n}{n+1}=0$.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \textit{Faux.} En effet, pour de très grandes valeurs de $n$, $\dfrac{2^n+3}{3^n+2}\approx\dfrac{2^n}{3^n}\approx\left(\dfrac{2}{3}\right)^n$ et $0<\dfrac{2}{3}<1$ donc $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{2}{3}\right)^n=0$. Ainsi, $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{2^n+3}{3^n+2}=0$.


\item \textit{Faux.} En effet, pour de très grandes valeurs de $n$, $n > \sqrt{n}$, et on peut alors écrire:$\dfrac{6\sqrt{n}-n}{\sqrt{n}+n} \approx \dfrac{-n}{n} \approx -1$ donc $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{6\sqrt{n}-n}{\sqrt{n}+n}=-1$.

\item \textit{Faux.} En effet, on peut écrire:
\[
\dfrac{\sin(n)-2n}{n+1} = \dfrac{\sin(n)}{n+1} - \dfrac{2n}{n+1}.
\]
Or,
\begin{itemize}
\item $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{\sin(n)}{n+1}=0$ (théorème des gendarmes);
\item $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{-2n}{n+1}=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{-2n}{n}=-2$ (1 est négligeable par rapport à $n$).
\end{itemize}
Donc $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{\sin(n)-2n}{n+1}=-2$.
\end{questions}
\end{corrige}


\sectionnn{Démonstrations par récurrence}

%%% verif corrigé

\begin{exo}{Terme général d'une suite} {Lycée Albert Schweitzer, Le Raincy}{1}{10}
\begin{questions}
\item On considère la suite définie par  $u_0=2$  et  pour tout
$n\in\N$, \[  u_{n+1} = 2u_n - n.\]
Démontrer que pour tout $n\in\N,\ u_n=2^n+n+1$.
\item Soit  $(v_n)$ définie par $v_0=v_1=1$ et pour tout $n\in\N$ :
\[ v_{n+2} = 5v_{n+1}-6v_n.\]
Démontrer que, pour tout $n\in\N,\ v_n=2^{n+1}-3^n$. 
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
Raisonnons par récurrence sur $n$.
\begin{itemize}
\item Pour $n=0$, on a : $2^n+n+1=2^0+0+1=2=u_0$.
\item Supposons la formule vraie pour un entier naturel $k$ arbitrairement fixé.
\par
On calcule :
\[
\begin{aligned}
u_{k+1} &= 2u_k-k \\
&= 2(2^k+k+1)-k \\
&= (2^{k+1}+2k+2)-k \\
&= 2^{k+1}+k+2 \\
&= 2^{k+1}+(k+1)+1. 
\end{aligned}
\]
C'est bien la formule au rang $(k+1)$.  \par
On a donc prouvé par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,\linebreak[4] $u_n~=~2^n~+~n~+~1$.
\end{itemize}
				
\item Nous allons démontrer par récurrence l'assertion :
\[\mathcal{P}(n) :\quad \Big[\: (*)\: v_n=2^{n+1}-3^n
\quad\textrm{et}\quad(**)\:  v_{n+1}=2^{n+2}-3^{n+1}\ \Big]\]
\begin{itemize}
\item Pour $n=0$, on a $\,2^{n+1}-3^n=2-1=1=v_0$ d'où $(*)$.
\par
Enfin,  $\,2^{n+2}-3^{n+1}=4-3=1=v_1$ qui est $(**)$ : on a vérifié ${\cal P}(0)$.
\item Supposons l'assertion ${\cal P}(k)$ vraie pour un certain entier naturel $k$. \par
On sait déjà : $\,v_{k+1}=2^{k+2}-3^{k+1}$ (d'après l'hypothèse de récurrence), qui est la partie  $(*)$  de l'assertion  ${\cal P}(k+1)$.\\
On calcule :  
\begin{align*}
v_{k+2}=5v_{k+1}-6v_k&=5(2^{k+2}-3^{k+1})-6(2^{k+1}-3^k)\\
&=5\times 2^{k+2}-5\times 3^{k+1}-6\times 2^{k+1}+6\times 3^k\\
&=5\times 2^{k+2}-5\times 3^{k+1}-3\times 2^{k+2}+2\times 3^{k+1}\\
&=2\times 2^{k+2}-3\times 3^{k+1}\\
&=2^{k+3}-3^{k+2}
\end{align*}
qui est $(**)$ au rang  $(k+1)$. On a ainsi vérifié  ${\cal P}(k+1)$. 
\end{itemize}
On en déduit, d'après le principe de récurrence, que, pour tout entier naturel $n$, $v_n=2^{n+1}-3^n$.
%\begin{attention}
%La suite $v_n$ est une suite linéaire récurrente d'ordre deux (chaque terme dépend des deux termes qui le précèdent). Il est donc nécessaire de modifier l'hypothèse de récurrence. Une telle récurrence est parfois appelée récurrence double.
%\end{attention}
\end{questions}
\end{corrige}

%%% modif corrigé

\begin{exo}{Une somme}{Lycée Notre-Dame de Boulogne, Boulogne-Billancourt}{2}{10}
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ non nul:
\[
\sum_{p=1}^n \dfrac{1}{p(p+1)} = \dfrac{n}{n+1}.
\]
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{itemize}
\item \emph{Initialisation :} pour $n=1$, on a $\displaystyle\sum_{p=1}^1\dfrac{1}{p(p+1)} = \dfrac{1}{1\times(1+1)}=\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{n}{n+1}=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}$. Donc $\displaystyle\sum_{p=1}^1\dfrac{1}{p(p+1)}=\dfrac{1}{1+1}$; l'égalité est donc vraie.

\item \emph{Hérédité :} soit $k$ un entier non nul arbitrairement fixé; supposons l'égalité vraie au rang $k$: 
\vspace*{-0.5em}
\[ 
\sum_{p=1}^k\dfrac{1}{p(p+1)} = \dfrac{k}{k+1}.
\]
On veut montrer que l'égalité est vraie au rang $(k+1)$, soit : 
\[
\sum_{p=1}^{k+1}\dfrac{1}{p(p+1)} = \dfrac{k+1}{k+2}.
\]

En utilisant l'hypothèse de récurrence, on a :
\enlargethispage*{2\baselineskip}

\begin{align*}
\sum_{p=1}^{k+1}\dfrac{1}{p(p+1)}
&=\sum_{p=1}^{k}\dfrac{1}{p(p+1)} + \dfrac{1}{(k+1)(k+2)}\\
& =  \dfrac{k}{k+1} + \dfrac{1}{(k+1)(k+2)}\\
& = \dfrac{k(k+2)+1}{(k+1)(k+2)}=\dfrac{(k+1)^2}{(k+1)(k+2)}\\
& = \dfrac{k+1}{k+2}.
\end{align*}
L'hérédité est alors démontrée.
\end{itemize}
L'égalité est donc vraie pour tout entier naturel $n$ non nul.
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Suite convergente}{Lycée de l'Emperi, Salon-de-Provence}{2}{30}
Soit $0<k<1$ et la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et :
\[\text{pour tout }n\in\N,\qquad u_{n+1}=\left(1+k^n\right)u_n.\]
Démontrer par récurrence que pour tout naturel $n\geqslant 1$,
\[ u_n=(1+k)\big(1+k^2\big)\big(1+k^3\big)\cdots\big(1+k^{n-1}\big).\]
\end{exo}

\begin{corrige}
Pour tout $n\geqslant1$, on note ${\mathcal P}_n$ la proposition :
\[ u_n=(1+k)\big(1+k^2\big)\big(1+k^3\big)\cdots\big(1+k^{n-1}\big). \]
\begin{itemize}
\item Le membre de gauche de l'égalité est:
\[
u_1=(1+k^0)u_0=2,
\]
et le membre de droite est réduit à:
\[
(1+k^{1-1})=1+1=2.
\]
\Par
Ainsi, la propriété est vraie pour $n=1$.


\item Supposons que la propriété soit vraie pour un entier $p$ non nul arbitrairement fixé.\par
On sait par hypothèse que $u_{p+1}=\big(1+k^p\big)u_p$. On remplace alors $u_p$ dans cette expression par sa valeur. Il vient :
\[ u_{p+1}=\big(1+k^p\big)\big(1+k\big)\big(1+k^2\big)\big(1+k^3\big)\cdots\big(1+k^{p-1}\big). \]
Donc ${\mathcal P}_p \Rightarrow {\mathcal P}_{p+1}$.
\end{itemize}

Par conséquent, pour tout entier $n\geqslant1$, ${\mathcal P}_n$ est vraie.
\end{corrige}

%%% NEW 2023

\begin{exo}{Avec une somme}{Lycée Notre-Dame de Boulogne}{2}{15}
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n\geqslant2$ par:
\[
u_n=\dfrac{n-1}{4}\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^n.
\]
On pose: $S_n = u_2+u_3+u_4+\cdots+u_n$.

\Par

Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n\geqslant2$,
\[
S_n=1-\left(\dfrac{n}{2}+1\right)\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^n.
\]
\end{exo}

\begin{corrige}
Posons:
\[
\mathcal{P}_n \quad:\quad S_n=1-\left(\dfrac{n}{2}+1\right)\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^n.
\]
Démontrons par récurrence que cette égalité est vraie pour tout entier naturel $n\geqslant2$.
\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation}: pour $n=2$, $S_2=u_2=\dfrac{2-1}{4}\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{1}{4}\times\dfrac{4}{9}=\dfrac{1}{9}$.

De plus, $1-\left(\dfrac{n}{2}+1\right)\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^n=1-\left(\dfrac{2}{2}+1\right)\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^2=1-\dfrac{8}{9}=\dfrac{1}{9}$.

Ainsi, $\mathcal{P}_2$ est vraie.

\item \textit{Hérédité}: supposons que pour un entier $k$ fixé, $\mathcal{P}_k$ soit vraie, c'est-à-dire que:
\[
S_k =  1 - \left(\dfrac{k}{2}+1\right)\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^k.
\]
C'est notre hypothèse de récurrence (HR).

Démontrons alors que $\mathcal{P}_{k+1}$ l'est aussi, c'est-à-dire que:
\[
S_{k+1}=1-\left(\dfrac{k+1}{2}+1\right)\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{k+1}=1-\left(\dfrac{k+3}{2}\right)\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{k+1}.
\]
On a:
\begin{align*}
S_{k+1} & = u_2+u_3+\cdots+u_k+u_{k+1}\\
& = S_k + u_{k+1}\\
& = 1 - \left(\dfrac{k}{2}+1\right)\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^k + u_{k+1}\quad\text{d'après (HR)}\\
& = 1 - \left(\dfrac{k}{2}+1\right)\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^k + \underbrace{\dfrac{k}{4}\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{k+1}}_{u_{k+1}}
\intertext{Nous allons mettre maintenant $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{k+1}$ en facteur dans les deux derniers termes:}
& = 1 - \left[\left(\dfrac{k}{2}+1\right)\dfrac{3}{2}-\frac{k}{4} \right]\left(\dfrac{2}{3}\right)^{k+1}\\
& = 1 - \left( \dfrac{k+3}{2} \right)\left(\dfrac{2}{3}\right)^{k+1}.
\end{align*}
L'hérédité est alors démontrée.
\end{itemize}
Par conséquent, $\mathcal{P}_n$ est vraie pour tout entier naturel $n\geqslant2$.
\end{corrige}

%%% NEW 2023

\begin{exo}{Somme des carrés des impairs}{Lycée Carnot, Paris}{2}{15}
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n\geqslant1$, 
\[
1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2n-1)^2 = \dfrac{1}{3}n(4n^2-1).
\]
\end{exo}

\begin{corrige}
Posons:

\[
\mathcal{P}_n\quad:\quad 1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2n-1)^2 = \dfrac{1}{3}n(4n^2-1).
\]

Démontrons  par récurrence que cette propriété est vraie pour $n\geqslant1$.

\Par

\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation}: pour $n=1$, le membre de gauche de l'égalité est réduit à\linebreak $1^2=1$. Celui de droite vaut:
\[
 \dfrac{1}{3}\times1\times(4\times1^2-1)=\dfrac{1}{3}\times3=1.
 \]
Les deux membres sont donc égaux. L'initialisation est alors faite.

\Par

\item \textit{Hérédité}: supposons que pour un entier $k$ fixé, $\mathcal{P}_k$ soit vraie. Ainsi:
\[
1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2k-1)^2 = \dfrac{1}{3}k(4k^2-1).
\]
C'est notre hypothèse de récurrence (HR).

On souhaite démontrer alors que $\mathcal{P}_{k+1}$ l'est aussi, donc que:
\[
1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2k+1)^2 = \dfrac{1}{3}(k+1)\big( 4(k+1)^2-1 \big)=\dfrac{1}{3}(4k^3+12k^2+11k+3).
\]
On a:
\begin{align*}
1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2k+1)^2 & = 1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2k-1)^2+ (2k+1)^2\\[8pt]
& = \dfrac{1}{3}k(4k^2-1) + (2k+1)^2\qquad\text{d'après (HR)}\\[8pt]
& = \dfrac{1}{3}k(2k-1)(2k+1) + (2k+1)^2\\[8pt]
& = \left[ \dfrac{1}{3}k(2k-1) + (2k+1)\right](2k+1)\\[8pt]
& = \dfrac{1}{3}(2k^2+5k+3)(2k+1)\\[8pt]
& = \dfrac{1}{3}(4k^3+12k^2+11k+3).
\end{align*}
L'hérédité est alors vérifiée.
\end{itemize}

\Par

Ainsi, $\mathcal{P}_n$ est vraie pour tout entier naturel $n\geqslant1$.
\end{corrige}


\sectionnn{Limites de suites}

%%% modif énoncé et corrigé 2023

\begin{exo}{Différence de racines carrées}{Lycée Carnot, Dijon}{1}{10}
Soit $(u_n)_{n \in {\N}}$ la suite réelle définie par:
$u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$.

\Par

Calculer $\lim\limits_{n\to+\infty}(u_n)$.
\end{exo}

\begin{corrige}
Pour tout entier naturel $n$, on a:
\[
\begin{aligned}
u_n&= \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \\
&=\dfrac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)
\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}} \\
&=\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}.
\end{aligned}
\]
Or, $\lim\limits_{n\to+\infty}\big(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\big)=+\infty$, donc  $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=0$.
\Par
Par conséquent, $\lim\limits_{n\to+\infty}(u_n)=0$.

\begin{methode}[expression conjuguée]
Quand nous avons multiplié $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ par $\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$, nous avons multiplié par l'\textit{expression conjuguée} de $u_n$.
\Par
Lorsque l'on doit calculer la limite d'une différence avec au moins une racine carrée, cette technique peut lever l'indétermination initiale.
\end{methode}
\end{corrige}


%%% NEW 2023

\begin{exo}{Calculs divers de limites}{Lycée Carnot, Paris}{1}{10}
Déterminer la limite des suites suivantes:
\begin{questions}
\begin{multicols}{2}
\item $u_n=(2-n)(3n+1)$.
\item $v_n=\left(2-\dfrac{1}{3n}\right)(-5n+3)$.
\item $w_n=\dfrac{-3n^2+2n-1}{2n^2+3n+5}$.
\item $t_n=\dfrac{n^3+n^2\cos(n)}{n^2-4}$.
\end{multicols}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $u_n=(2-n)(3n+1)$.

$\lim\limits_{n\to+\infty}(2-n)=-\infty$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}(3n+1)=+\infty$.

Ainsi, par produit, $\lim\limits_{n\to+\infty}(u_n)=-\infty$.

\Par

\item $v_n=\left(2-\dfrac{1}{3n}\right)(-5n+3)$.

$\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{3n}=0$ donc $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(2-\dfrac{1}{3n}\right)=2$, et $\lim\limits_{n\to+\infty}(-5n+3)=-\infty$.

Ainsi, par produit, $\lim\limits_{n\to+\infty}(v_n)=-\infty$.

\Par

\item $w_n=\dfrac{-3n^2+2n-1}{2n^2+3n+5}=\dfrac{\cancel{n^2}\left(-3+\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}\right)}{\cancel{n^2}\left(2+\frac{3}{n}+\frac{5}{n^2}\right)}$ pour $n\neq0$.

Or, $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n^p}=0$ pour $p\in\N^*$ donc, par quotient, $\lim\limits_{n\to+\infty}(w_n)=\dfrac{-3}{2}$.

\item $\begin{aligned}[t]
t_n & = \dfrac{n^3+n^2\cos(n)}{n^2-4}\\
    & = \dfrac{n^3\left(1+\frac{\cos(n)}{n}\right)}{n^2\left(1-\frac{4}{n^2}\right)}\\
    & = \dfrac{n\left(1+\frac{\cos(n)}{n}\right)}{1-\frac{4}{n^2}},\quad \text{pour }n\neq0.
    \end{aligned}$
\begin{itemize}
\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, 
\[
-1 \leqslant \cos(n) \leqslant 1\text{ donc }-\dfrac{1}{n} \leqslant \dfrac{\cos(n)}{n} \leqslant \dfrac{1}{n}.
\]

Or, $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}=0$ donc d'après le théorème des gendarmes, 
\[ \lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{\cos(n)}{n}=0. \]

\item On en déduit alors que:
\[
\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{n\left(1+\frac{\cos(n)}{n}\right)}{1-\frac{4}{n^2}} = \lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{n\left(1+0\right)}{1-0}=+\infty.
\]
\end{itemize}
Ainsi, $\lim\limits_{n\to+\infty}(t_n)=+\infty$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%  modif corrigé et question 2 en 2023

\newpage

\begin{exo}{\'Etude d'une suite}{Lycée  Henri IV, Paris}{1}{10}
On définit la suite $(u_n)_{n \in {\N}}$ par :
$
\left\{
\begin{aligned}
u_0&=1 \\
u_{n+1}&=u^2_n+u_n+1, 
\quad
n \in \N
\end{aligned}
\right.
$
\begin{questions}
\item Démontrer que la suite $(u_n)_{n \in {\N}}$ est croissante.
\item En exprimant $u_{k+1}-u_k$ pour $0 \leqslant k\leqslant n$, montrer que pour tout $n$, $u_n\geqslant n+1$.
\item Déterminer la limite de $(u_n)_{n \in {\N}}$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Pour tout entier naturel $n$, on a \ $u_{n+1}-u_n=u^2_n+1>0$. 

Donc $(u_n)$ est strictement croissante.

\item  Pour tout entier $n\geqslant 0$: 
\[
\left\{
\begin{array}{rcccc}
u_{n}-u_{n-1} & = & u^2_{n-1}+1 & \geqslant & 1 \\[8pt]
u_{n-1}-u_{n-2} & = & u^2_{n-2}+1 & \geqslant & 1 \\
 &\vdots &   &\vdots  &  \\
u_2-u_1 & = & u_1^2+1 & \geqslant & 1\\[8pt]
u_1-u_0 & = & u_0^2+1 & \geqslant & 1
\end{array}
\right.
\]
\Par
En sommant membre à membre et après simplification, il vient :
\[
u_{n}-u_{0}\geqslant n,\ \text{soit : }u_n\geqslant n+1.
\]

\item  $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(n+1\right)=+\infty$ donc, d'après le théorème de comparaison,
\[\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty.\]
\end{questions}
\end{corrige}

%%% vérif corrigé

%\begin{exo} {Suites récurrentes monotones}{Lycée Fénelon, Paris}{1}{15}
%On définit la suite $(u_n)_{n \in {\N}}$ par :
%$ \left\{ 
%\begin{aligned}
%u_0&>0 \\
%u_{n+1}&=u_n^2
%\end{aligned}
%\right.$
%
%\begin{questions}
%\item
%\begin{questions}
%\item Montrer que $(u_n)_{n \in\N}$ est croissante si $u_0\geqslant1$ et décroissante si $u_0\leqslant 1$.
%\item Que dire si $u_0=1$ ?
%\end{questions}
%\item
%\begin{questions}
%\item Exprimer $(u_n)_{n \in {\N}}$ en fonction de $u_0$ et de $n$.
%\item Déterminer la limite de $(u_n)_{n \in {\N}}$ 
%selon la valeur de $u_0$.
%\end{questions}
%\end{questions}
%\end{exo}
%
%\begin{corrige}
%\begin{questions}
%\item
%\begin{questions}
%\item Une récurrence immédiate montre que $u_n\geqslant 0$ pour tout $n$.
%\begin{itemize}
%\item Supposons que $u_0\geqslant1$.\par 
%Soit ${\mathcal P}_n$ la proposition définie par : $u_n\geqslant1$.
%
%La proposition est vraie de manière évidente pour $n=0$.
%
%Supposons que ${\mathcal P}_k$ soit vraie pour un entier $k$ arbitrairement fixé.
%
%Alors, comme $u_{k+1}=u^2_k$, on a $u_{k+1}\geq 1$, donc ${\mathcal P}_{k+1}$ est vraie.
%
%On a ainsi prouvé par récurrence que, pour tout naturel $n$, $u_n\geqslant 1$.
%
%En multipliant de part et d'autre par $u_n$ (qui est positif), on conclut que pour tout $n$, 
%\[ u_{n+1}\geqslant u_n\;, \]
%soit que $(u_n)_{n \in \N}$ est croissante.
%\begin{Remarque}
%ici, la récurrence à faire n'est pas directement donnée, il faut donc « l'inventer ».
%\end{Remarque}\Par
%
%\item Supposons que  $u_0\leqslant1$.
%
%Soit ${\mathcal Q}_n$ la proposition définie par : $u_n\leqslant1$.
%
%La proposition est vraie de manière évidente pour $n=0$.
%
%Supposons que ${\mathcal Q}_k$ est vraie pour un entier $k$ arbitrairement fixé.
%
%Alors $ u_{k+1}=u^2_k$ donc $u_{k+1}\leq 1$, donc ${\mathcal Q}_{k+1}$ est vraie. 
%
%On a prouvé par récurrence que $ 0\leqslant u_n\leqslant 1 $ pour tout $n$.
%En multipliant de part et d'autre par $u_n$, on conclut que pour tout $n$,
%\[ u_{n+1}\leqslant u_n\;, \] 
%soit que $(u_n)_{n \in \N}$ est décroissante.
%\end{itemize}
%
%\item  Si $u_0=1$ alors $u_0\leqslant1$ et $u_0\geqslant1$ donc $(u_n)_{n \in \N}$ est à la fois croissante et décroissante, $(u_n)_{n \in \N}$ est donc constante.
%\end{questions}
%
%\item
%
%\begin{questions}
%\item  L'étude des premiers termes conduit à considérer la propriété ${\mathcal P}_n$ définie par : $u_n=u_0^{2^n}$.
%
%Comme $2^0=1$, ${\mathcal P}_0$ est vraie.
%
%Soit $k$ un entier arbitrairement fixé. Supposons ${\mathcal P}_k$ vraie. 
%
%Alors, $u_{k+1}=u_{k}^2=(u_0^{2^k})^2=u_0^{2^{k+1}}$.
%
%Donc si ${\mathcal P}_k$ est vraie, alors ${\mathcal P}_{k+1}$ est vraie. Par conséquent, pour tout entier $n$, ${\mathcal P}_n$ est vraie.
%
%\item  Ainsi,  
%\[ \left\{
%\begin{aligned}
%&\text{pour}  \quad u_0>1,  &\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=+\infty \\
%&\text{pour}  \quad 0 \le u_0<1,  &\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=0\\
%&\text{pour}  \quad u_0=1,  &\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=1
%\end{aligned}
%\right.
%\]
%\end{questions}
%\end{questions}
%\end{corrige}
%

%%% corrigé vérifié - modifié en 2026 (suppression de questions)

\begin{exo}{Avec des sinus}{Lycée Notre-Dame du Grandchamp, Versailles}{1}{10}
La suite $(u_n)$ est définie sur $\N$ par $u_n=\dfrac{2n^2-3\sin(n)}{n^2+1}$.
\begin{questions}
\item Prouver que, pour tout entier naturel $n$, 
\[
\dfrac{2n^2-3}{n^2+1}\leqslant u_n\leqslant\dfrac{2n^2+3}{n^2+1}.
\]
\item En déduire la limite de la suite $u$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On sait que : $-1\leqslant \sin(n) \leqslant1$, quelle que soit la valeur de $n$. 
 
Donc, pour tout $n\in\N$ :
\[ 
-3\leqslant-3\sin(n)\leqslant3\quad\text{(par produit par $-3$ en inversant les bornes)}\;,
\] 
d'où :
\[
2n^2-3\leqslant 2n^2-3\sin(n)\leqslant2n^2+3\text{ (en ajoutant $2n^2$ aux trois nombres)}.
\]

On a donc, en divisant l'encadrement précédent par le réel strictement positif $n^2+1$, pour tout $n\in\N$ : 
\[ \dfrac{2n^2-3}{n^2+1}\leqslant u_n\leqslant\dfrac{2n^2+3}{n^2+1}.\]

Pour tout $n\in\N^*$,

\[
\dfrac{2n^2-3}{n^2+1}=\dfrac{2n^2\left(1-\frac{3}{2n^2}\right)}{n^2\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}=2\dfrac{1-\frac{3}{2n^2}}{1+\frac{1}{n^2}}.
\]

\item $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n^2}=0$ donc, par produit et somme, $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(1-\dfrac{3}{2n^2}\right)=1$.

De même, $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)=1$.

D'où, par quotient et produit, $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{2n^2-3}{n^2+1}=2$.

Par un procédé analogue, on a : $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{2n^2+3}{n^2+1}=2$.

\Par

Donc, en utilisant le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=2$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%  corrigé vérifié & modifié en 2026

\begin{exo}{En utilisant les définitions}{Lycée Hoche, Versailles}{1}{35}
\begin{questions}
\item Voici les définitions explicites de deux suites :
\[
\forall n\in\N,\qquad u_n=\dfrac{2n+1}{n+2}\qquad\text{et}\qquad v_n=n^2+3n-5.
\]
Prouver que $(u_n)$ tend vers 2 et que $(v_n)$ tend vers $+\infty$. 

\item On définit les quatre suites $(a_n)$, $(b_n)$, $(c_n)$ et $(d_n)$ par :

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
$a_n=\sqrt{\dfrac{6n+1}{2n+3}}\;;$ & 
$b_n=\dfrac{n\sqrt{n}+2}{2n}\;;$\\[10pt]
$c_n=n^3+(-1)^nn^2\;;$ & $d_n=\dfrac{n+(-1)^n}{2n+(-1)^n}.$
\end{tabularx}

Déterminer les limites de ces suites.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
\begin{itemize}
\item $\lim\limits_{n\to+\infty}(2n+1)=\lim\limits_{n\to+\infty}(n+2)=+\infty$ donc $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n$ mène à une forme indéterminée du type \og $\dfrac{\infty}{\infty}$ \fg.

\begin{methode}
Pour lever une indétermination du type \og $\dfrac{\infty}{\infty}$ \fg, on factorise le numérateur et le dénominateur par leur terme de plus haut degré respectif.
\end{methode}

On modifie donc l'écriture de $u_n$ pour tout $n\in\N^*$:
\begin{align*}
u_n & = \dfrac{\cancel{n}\left(2+\tfrac{1}{n}\right)}{\cancel{n}\left(1+\tfrac{2}{n} \right)}\\
& =  \dfrac{2+\tfrac{1}{n}}{1+\tfrac{2}{n}}.
\end{align*}
Or, $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(2+\dfrac{1}{n}\right)=2$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(1+\dfrac{2}{n}\right)=1$ donc:
\[
\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=2.
\]

\item $\forall n\in\N^*,\ v_n=n^2\left(1+\dfrac{3}{n}-\dfrac{5}{n^2}\right)$.

Or, $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{3}{n}=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{5}{n^2}=0$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}n^2=+\infty$ donc:
\[
\lim\limits_{n\to+\infty} v_n=+\infty.
\]
\end{itemize}

\item 
\begin{itemize}
\item Pour tout $n\in\N^*$, on a :
\[
\dfrac{6n+1}{2n+3}=\dfrac{6n\left(1+\frac{1}{6n}\right)}{2n\left(1+\frac{3}{2n}\right)}=3\left(\dfrac{1+\frac{1}{6n}}{1+\frac{3}{2n}}\right).
\]

Or, $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{6n}=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{3}{2n}=0$ donc:
\[
\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{6n+1}{2n+3}=3.
\]
Par conséquent, 
\[
\lim\limits_{n\to+\infty} a_n=\sqrt{3}.
\]

\item On a, pour tout $n\in\N$ :
\[
b_n=\dfrac{n\sqrt{n}+2}{2n}=\dfrac{n\sqrt{n}}{2n}+\dfrac{2}{2n}=\dfrac{\sqrt{n}}{2}+\dfrac{1}{n}.
\]
Or, $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}=0$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{\sqrt{n}}{2}=+\infty$ donc, par somme,
\[
\lim\limits_{n\to+\infty} b_n=+\infty.
\]

\item On peut écrire que pour tout entier naturel $n$, 
\[
-1 \leqslant (-1)^n \leqslant 1
\]
donc
\[
n^3-n^2\leqslant c_n \leqslant n^3+n^2.
\]
En particulier,
\[
c_n\geqslant n^2(n-1).
\]
Or, $\lim\limits_{n\to+\infty} n^2(n-1)=+\infty$ donc d'après le théorème de comparaison,
\[
\lim\limits_{n\to+\infty} c_n=+\infty.
\]

\item Pour tout entier $n\geqslant1$, 
\[
n-1\leqslant n+(-1)^n \leqslant n+1\quad\text{et}\quad 2n-1\leqslant 2n+(-1)^n\leqslant 2n+1\;,
\] donc :
\[
\dfrac{1}{2n+1}\leqslant \dfrac{1}{2n+(-1)^n}\leqslant\dfrac{1}{2n-1}\text{ (par passage à l'inverse)}\;,
\]
d'où :
\[
\dfrac{n-1}{2n+1}\leqslant d_n\leqslant \dfrac{n+1}{2n-1}\text{ (par produit de réels positifs)}.
\]
De plus, pour tout entier $n\geqslant1$, on a :
\[
\dfrac{n-1}{2n+1}=\dfrac{n\left(1-\frac{1}{n}\right)}{2n\left(1+\frac{1}{2n}\right)}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1-\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{2n}}.
\]
Or, $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}=0$ donc:
\[
\lim\limits_{n\to+\infty}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)=1\;,\;\lim\limits_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{2n}\right)=1\text{ et }\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{n-1}{2n+1}=\dfrac{1}{2}.
\]
De même, 
\[ 
\dfrac{n+1}{2n-1}=\dfrac{n\left(1+\frac{1}{n}\right)}{2n\left(1-\frac{1}{2n}\right)}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1+\frac{1}{n}}{1-\frac{1}{2n}}\;,
\]
ce qui donne, d'une façon analogue, $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{n+1}{2n-1}=\dfrac{1}{2}$.

Ainsi, d'après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to+\infty} d_n=\dfrac{1}{2}$.
\end{itemize}
\end{questions}
\end{corrige}



%%% NEW 2023

\begin{exo}{Raisonnement par l'absurde}{Lycée Saint-Joseph de Tivoli, Bordeaux}{2}{10}
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\sqrt{12+u_n}$. On admet que $(u_n)$ est minorée par 0.

Démontrer que $(u_n)$ est strictement croissante sur $\N$.
\end{exo}

\begin{corrige}
Nous allons, comme le titre de l'exercice le suggère, faire un \textit{raisonnement par l'absurde} pour démontrer que $(u_n)$ est strictement croissante.
%\begin{methode}
%Un \textit{raisonnement par l'absurde} consiste à supposer que ce que l'on\linebreak souhaite démontrer est faux pour arriver à une contradiction.
%\end{methode}

Supposons donc que $(u_n)$ est décroissante.

Dans ce cas, comme elle est minorée par 0, elle converge (d'après le théorème de convergence des suites monotones). Notons alors $\ell$ sa limite. 

Ainsi, comme $u_{n+1}=\sqrt{12+u_n}$, $\ell$ vérifie nécessairement l'équation:
\[
\ell = \sqrt{12+\ell} \iff \ell^2 = 12+\ell \iff \ell^2-\ell-12=0,
\]
dont les solutions sont $-3$ et 4. Ainsi, $(u_n)$ converge vers $-3$ ou vers $4$.

Or, par hypothèse, comme $(u_n)$ est minorée par 0 et décroissante,\linebreak $0 \leqslant u_n \leqslant u_0=3$ donc $\ell\neq-3$ et $\ell\neq 4$. Il y a alors une contradiction.

Ainsi, l'hypothèse selon laquelle $(u_n)$ est décroissante est fausse.

\Par

On en déduit alors que $(u_n)$ est strictement croissante.
\end{corrige}

%%%  corrigé vérifié

\begin{exo}{Avec un programme}{Lycée Monet, Paris}{2}{20}
On considère la suite $u$ définie sur $\N^*$ par :
\[
u_n=\sum_{i=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{i}}=1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{n}}.
\]
On se propose d'étudier le comportement à l'infini de cette suite.

\subsectionnn{Partie A -- Approche à l'aide d'un programme}

\begin{questions}
\item On souhaite écrire un programme en Python permettant de calculer $u_n$ pour tout entier $n\geqslant 1$.

Compléter la fonction suivante de sorte qu'elle renvoie .

\begin{listing}{}{suites-avec-un-programme-enonce.py}\end{listing}

\item Exécuter ce programme et donner les valeurs approchées de $u_{10}$, $u_{20}$\linebreak et $u_{100}$.
\item Conjecturer le comportement à l'infini de la suite $u$.
\end{questions}

\subsectionnn{Partie B}

\begin{questions}
\item  Soit $n$ un entier, $n \geqslant1$. Justifier que pour tout entier $i$ tel que $1\leqslant i\leqslant n$, on a : $\dfrac{1}{\sqrt{i}}\geqslant \dfrac{1}{\sqrt{n}}$.
\item En déduire que pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, $u_n\geqslant\sqrt{n}$.
\item Déterminer la limite de la suite $u$.
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\subsectionnn{Partie A -- Approche à l'aide d'un algorithme}
\begin{questions}
\item \qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.9){
\psframebox{\qrcode{https://idl-live.prepamath.fr/ILTM/suites-avec-un-programme.py}}}
\vspace*{-9mm}

\begin{listing}{Programme complété}{suites-avec-un-programme.py}\end{listing}


\item On obtient $u_{10}\approx5,021$, $u_{20}\approx7,595$, et $u_{100}\approx18,590$ à $10^{-3}$ près.

\item À la vue de ces valeurs, on peut penser que la suite tend vers $+\infty$.
\end{questions}

\subsectionnn{Partie B}

\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
1\leqslant i\leqslant n & \Rightarrow \sqrt{1}\leqslant\sqrt{i}\leqslant\sqrt{n} \text{ car la fonction racine carrée est croissante sur }\R_+\\
& \Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{n}}\leqslant\dfrac{1}{\sqrt{i}} \text{ car la fonction inverse est décroissante sur }\R_+^*.
\end{aligned}$

\item $u_n=\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{\sqrt{i}}=1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{n}}$.

Ainsi, d'après la question précédente,
\[ 
u_n\geqslant\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{\sqrt{n}}
\]
soit :
\[
u_n\geqslant n\times\dfrac{1}{\sqrt{n}}.
\]
On a donc bien $u_n\geqslant\sqrt{n}$.

\item $\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt{n}=+\infty$ donc par comparaison, $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty$.
\end{questions}
\end{corrige}

\vspace*{-2.5em}
\sectionnn{\'Etudes générales}
\enlargethispage*{4em}

%%% verif corrigé

\begin{exo}{Suite récurrente et racine carrée}{Lycée Jean-Pierre Vernant, Sèvres}{1}{15}
On considère la suite $(u_n)_{n\in\N}$ définie par $u_{n+1}=\sqrt{2+\big(u_n\big)^2}$ et $u_0=1$.

\begin{questions}
\item Montrer que la suite $(v_n)_{n\in\N}$ définie par $v_n=\big(u_n\big)^2$ est arithmétique de raison 2.

\item Calculer $v_0$, puis $v_n$ en fonction de $n$. 

En déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Pour tout entier naturel $n$,
\[
v_{n+1}=\big(u_{n+1}\big)^2=2+\big(u_n\big)^2=2+v_n.
\]

La suite $(v_n)$ est donc une suite arithmétique de raison $r=2$.

\item $v_0=\big(u_0\big)^2=1$. La suite $(v_n)$ étant arithmétique, d'après le cours, pour tout entier naturel $n$,:
\[
v_n=v_0+nr=1+2n.
\]

$v_n=\big(u_n\big)^2$ donc $u_n=\sqrt{v_n}$ (en effet, $u_n\geqslant0$ puisque les termes sont définis par une racine carrée dans la relation de récurrence, et $u_0>0$).

Par conséquent, $u_n=\sqrt{1+2n}$ pour tout entier naturel $n$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%% NEW 2023

\begin{exo}{Récurrence, variation et limite}{Lycée Carnot, Paris}{1}{20}
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=-1$ et, pour tout entier naturel $n$, 
\[
u_{n+1}=2-\dfrac{1}{u_n+2}.
\]
\begin{questions}
\item Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$. 

Que peut-on conjecturer sur la monotonie de la suite $(u_n)$?

\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul $n$,
\[
0 \leqslant u_n \leqslant \sqrt3.
\]
\item Déterminer le sens de variation de $(u_n)$.

\item En déduire la convergence de $(u_n)$.

\item Déterminer alors la limite de la suite.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \enlargethispage*{\baselineskip}
\begin{itemize}
\item $u_1=2-\dfrac{1}{u_0+2} = 2-\dfrac{1}{-1+2}=1$.
\item $u_2=2-\dfrac{1}{u_1+2} = 2-\dfrac{1}{1+2}=\dfrac{5}{3}\approx1,67$.
\item $u_3=2-\dfrac{1}{u_2+2} = 2-\dfrac{1}{\frac{5}{3}+2}=\dfrac{19}{11}\approx1,73$.
\end{itemize}
On peut alors conjecturer que $(u_n)$ est croissante.

\item Montrons par récurrence que pour tout $n\neq0$, $0 \leqslant u_n \leqslant \sqrt3$.
\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation}: $u_1=1$ donc $0 \leqslant u_1 \leqslant \sqrt3$.
\item \textit{Hérédité}: supposons que pour un entier $k$ fixé, $0\leqslant u_k\leqslant\sqrt{3}$.
\begin{align*}
0\leqslant u_k\leqslant\sqrt{3} & \Longrightarrow 2\leqslant u_k+2\leqslant\sqrt{3}+2\\
& \Longrightarrow \dfrac{1}{\sqrt3+2}\leqslant \dfrac{1}{u_k+2}\leqslant\dfrac{1}{2}\\
& \Longrightarrow -\dfrac{1}{2}\leqslant -\dfrac{1}{u_k+2}\leqslant-\dfrac{1}{\sqrt3+2}\\
& \Longrightarrow 2-\dfrac{1}{2}\leqslant 2-\dfrac{1}{u_k+2}\leqslant2-\dfrac{1}{\sqrt3+2}\\
& \Longrightarrow 0 < \dfrac{3}{2} \leqslant u_{k+1} \leqslant \sqrt3.
\end{align*}
L'hérédité est alors vérifiée.
\end{itemize}
Ainsi, pour tout entier naturel non nul $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant \sqrt3$.

\item Pour tout entier naturel $n$,
\begin{align*}
u_{n+1}-u_n & = 2-\dfrac{1}{u_n+2}-u_n\\
& = \dfrac{2u_n+4-1-u_n^2-2u_n}{u_n+2}\\
& = \dfrac{3-u_n^2}{u_n+2}>0
\end{align*}
Or, d'après la question précédente, $0 \leqslant u_n \leqslant \sqrt3$ donc $\begin{cases}
3-u_n^2 \geqslant 0\\
u_n+2 > 0
\end{cases}$.

Par conséquent, $(u_n)$ est croissante.

\item $(u_n)$ est croissante et majorée. Donc, d'après le théorème de convergence des suites monotones, elle converge.

\item Notons $\ell=\lim\limits_{n\to+\infty}(u_n)$. Pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=2-\dfrac{1}{u_n+2}$ donc $\ell$ vérifie l'équation:
\begin{align*}
\ell = 2 - \dfrac{1}{\ell+2} & \iff \ell-2 = -\dfrac{1}{\ell+2} \\
& \iff (2-\ell)(\ell+2)=1\\
& \iff -\ell^2 = -3\\
& \iff \ell=-\sqrt3\text{ ou }\ell=\sqrt3.
\end{align*}
$0 \leqslant u_n \leqslant \sqrt3$ donc $0 \leqslant \ell \leqslant \sqrt3$.

\Par

Par conséquent, $\lim\limits_{n\to+\infty}(u_n)=\sqrt3$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%% exo supprimé en 2026

%\begin{exo}{Somme des inverses des carrés}{Lycée Hoche, Versailles}{1}{20}
%Pour tout $n\in\N^*$, on pose : $u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^2}$.
%\begin{questions}
%\item Établir le sens de variation de la suite $(u_n)$.
%\item Démontrer que pour tout $p\geqslant 2$, $\dfrac{1}{p^2}\leqslant\dfrac{1}{p-1}-\dfrac{1}{p}$.
%\item
%\begin{questions}
%\item Prouver que pour tout $n\geqslant 1$, $u_n\leqslant2-\dfrac{1}{n}$, en utilisant la question~2.
%\item Prouver que la suite $(u_n)$ converge.
%\item En utilisant la calculatrice, donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $u_9$, puis de $u_{10}$.
%\end{questions}
%\end{questions}
%\end{exo}
%
%\begin{corrige}
%\begin{questions}
%\item Pour tout $n\in\N^*$, 
%\[ u_{n+1}-u_n=\sum_{k=1}^{n+1}\dfrac{1}{k^2}-\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^2}=\dfrac{1}{(n+1)^2}>0.\]
%La suite est donc croissante.
%
%\item Pour tout $p\geqslant2$, 
%\[
%\dfrac{1}{p-1}-\dfrac{1}{p}=\dfrac{p-(p-1)}{p(p-1)}=\dfrac{1}{p^2-p}.
%\]
%
%Or, $p^2-p<p^2$ donc $\dfrac{1}{p^2-p}>\dfrac{1}{p^2}$.
%
%On a donc bien $\dfrac{1}{p^2}\leqslant\dfrac{1}{p-1}-\dfrac{1}{p}$.
%
%\item
%\begin{questions}
%\item $u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^2}=1+\sum_{k=2}^{n}\dfrac{1}{k^2}$ donc, d'après la question 2,
%\[ 
%u_n\leqslant1+\sum_{k=2}^{n}\left(\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}\right).
%\]
%Or,
%\begin{align*}
%& \sum_{k=2}^{n}\left(\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}\right) \\
%= \ & \left(1\textcolor{DR}{-\dfrac{1}{2}}\right)+\left(\textcolor{DR}{\dfrac{1}{2}}\textcolor{DG}{-\dfrac{1}{3}}\right)+\left(\textcolor{DG}{\dfrac{1}{3}}-\dfrac{1}{4}\right)+\cdots\\
%& \hspace*{15mm}+\left(\dfrac{1}{n-2}\textcolor{DO}{-\dfrac{1}{n-1}}\right)+\left(\textcolor{DO}{\dfrac{1}{n-1}}-\dfrac{1}{n}\right)\\
%=\ & 1 - \dfrac{1}{n}.
%\end{align*}
%
%Ainsi, $u_n\leqslant1+\left(1-\dfrac{1}{n}\right)$, soit:
%\[
%u_n\leqslant2-\dfrac{1}{n}.
%\]
%
%\item La suite est croissante (question 1) et majorée par 2 (question 3a), donc elle converge.
%
%\item $u_9\approx1,540$ et $u_{10}\approx1,550$.
%\end{questions}
%\end{questions}
%\newpage
%\end{corrige}

%%% corrigé vérifié

\begin{exo}{Suite homographique}{Lycée Buffon, Paris}{1}{20}
Soit $(u_n)_{n \in {\N}}$ la suite définie par 
$
\left\{
\begin{aligned}
&u_0=2 \\
&u_{n+1}=\dfrac{3u_n-2}{2u_n-1}
\end{aligned}
\right.
$
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item Calculer $u_1$, $u_2$  et  $u_3$.
\item Démontrer que pour tout $n$, $ u_{n+1}=1+\dfrac{u_n-1}{2u_n-1} $.
\item En déduire par récurrence qu'on a toujours $ u_n>1$ et donc que la suite $(u_n)_{n \in {\N}}$ est bien définie pour tout $n$.
\end{questions}
\item Soit $(v_n)_{n \in {\N}}$ la suite définie pour tout $n$ par : 
$ v_n=\dfrac{1}{ u_n-1} $.
\begin{questions}
\item Montrer que $(v_n)_{n \in {\N}}$ est une suite arithmétique.
\item Écrire $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item $u_1=\dfrac{4}{3}$, $u_2=\dfrac{6}{5}$ et $u_3=\dfrac{8}{7}$.

\item Pour tout entier naturel $n$, on a :
\begin{align*}
1+\dfrac{u_n-1}{2u_n-1} & = \dfrac{(2u_n-1)+(u_n-1)}{2u_n-1}\\
& = \dfrac{3u_n-2}{2u_n-1}\\
& = u_{n+1}.
\end{align*}

\item  Soit ${\mathcal P}_n$ la propriété définie par : \og $u_n >1$ \fg.
\begin{itemize}
\item $u_0=2$ donc $u_0 >1$. ${\mathcal P}_0$  est donc vraie.
\item Supposons que ${\mathcal P}_k$ soit vraie au rang $k\geqslant 0$. 

Alors, $2u_k-1>0$ et $u_k-1>0$, d'où $\dfrac{u_k-1}{2u_k-1}>0$, et donc : $u_{k+1}=1+\dfrac{u_k-1}{2u_k-1}>1$.

${\mathcal P}_{k+1}$ est donc vraie.
\end{itemize}
Donc, pour tout entier naturel $n$, ${\mathcal P}_n$  est vraie. 

Alors, pour tout entier naturel $n$,  $u_n>1>\dfrac{1}{2}$.\par
Comme, pour tout entier naturel $n$, $u_n>\dfrac{1}{2}$, il en résulte que $2u_n-1$ est non nul et la suite $(u_n)_{n \in \N}$ est donc bien définie pour tout $n$.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item 
Remarquons d'abord que, d'après la question précédente, pour tout $n$,\mbox{ $u_n\neq 1$} ; la suite $(v_n)$ est donc bien définie.\par
Pour tout entier naturel $n$ on a :
\[
v_{n+1} = \dfrac{1}{u_{n+1}-1} = \dfrac{1}{\frac{3u_n-2}{2u_n-1}-\frac{2u_n-1}{2u_n-1}}= \dfrac{1}{\frac{3u_n-2-(2u_n-1)}{2u_n-1}}= \dfrac{2u_n-1}{u_n-1}\;.\]
D'où:
\[
v_{n+1}-v_n = \dfrac{2u_n-1}{u_n-1}-\dfrac{1}{u_n-1}= \dfrac{2(u_n-1)}{u_n-1}= 2\;.\]
La suite $(v_n)$ est donc une suite arithmétique de raison $2$.

\item On calcule  $v_0=\dfrac{1}{ 2-1}=1$. Alors pour tout entier naturel $n$ : 
\[
v_n=1+2n\qquad\text{et}\qquad
u_n=\dfrac{1}{v_n}+1=\dfrac{1+v_n}{v_n}=\dfrac{2n+2}{2n+1}.\]
\end{questions}
%\newpage
\begin{attention}
Avant de travailler sur une suite, il faut toujours s'assurer (même si l'énoncé ne le précise pas) qu'elle est bien définie. Dans cet exercice, il est nécessaire, pour que la suite $(u_n)$ soit bien définie, que tous les termes de la suite soient différents de $\dfrac{1}{2}$. En général, une telle propriété se prouve en minorant ou en majorant les termes de la suite et se démontre par récurrence.
\end{attention}
\end{questions}
\end{corrige}



%%% NEW 2023

\begin{exo}{Suite récurrente particulière}{Lycée Notre-Dame de Boulogne, Boulogne-Billancourt}{2}{25}
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, 
\[
u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u_n+n-2.
\]
\begin{questions}
\item Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
\item 
\begin{questions}
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier $n\geqslant4$, $u_n\geqslant0$.
\item En déduire que pour tout entier naturel $n\geqslant5$, $u_n\geqslant n-3$.
\item En déduire la limite de $(u_n)$.
\end{questions}

\item On définit la suite $(v_n)$ pour tout entier naturel $n$ par l'égalité: 
\[
v_n=-2u_n+3n-\dfrac{21}{2}.
\]
\begin{questions}
\item Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.
\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, 
\[
u_n=\dfrac{25}{4}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\dfrac{3}{2}n-\dfrac{21}{4}.
\]
\end{questions}

\item Soit la somme $S_n$ définie par: $S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^n u_k$.

Déterminer l'expression de $S_n$ en fonction de $n$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
\begin{itemize}
\item $u_1 = u_{0+1} = \dfrac{1}{3}u_0 + 0 - 2 = \dfrac{1}{3}-2 = -\dfrac{5}{3}$.
\item $u_2 = u_{1+1} = \dfrac{1}{3}u_1 + 1 - 2 = \dfrac{1}{3}\times\left(-\dfrac{5}{3}\right)-1 = -\dfrac{14}{9}$.
\item $u_3 = u_{2+1} = \dfrac{1}{3}u_2 + 2 - 2 = -\dfrac{14}{27}$.
\end{itemize}

\item 
\begin{questions}
\item Montrons par récurrence que pour $n\geqslant4$, $u_n\geqslant0$.
\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation}: $u_4=\dfrac{1}{3}u_3+3-2=-\dfrac{14}{81}+1=\dfrac{67}{81}\geqslant0$.
\item \textit{Hérédité}: supposons que pour un entier $k\geqslant$ fixé, $u_k\geqslant0$.

On souhaite alors démontrer que $u_{k+1}\geqslant0$, soit $\dfrac{1}{3}u_{k}+k-2\geqslant0$.

\Par

$k\geqslant4$ donc $k-2\geqslant2$. Or, par hypothèse de récurrence, $u_k\geqslant0$, donc $\dfrac{1}{3}u_k\geqslant0$ et $\dfrac{1}{3}u_k+k-2 \geqslant 2 \geqslant0$. Par conséquent, $u_{k+1}\geqslant0$.

\Par

L'hérédité est alors vérifiée.
\end{itemize}
Ainsi, pour tout entier naturel $n\geqslant4$, $u_n\geqslant0$.

\item On déduit de la question précédente que pour tout entier naturel $m\geqslant4$, $u_m\geqslant0$ donc $u_{m+1}\geqslant0+m-2$.

En posant $n=m+1$, on déduit que pour tout entier naturel $n\geqslant5$, $u_n\geqslant (n-1)-2$, soit $u_n \geqslant n-3$.

\item $\lim\limits_{n\to+\infty} (n-3)=+\infty$ et $n\geqslant4\Rightarrow u_n\geqslant n-3$.

Ainsi, d'après le théorème de comparaison, $\lim\limits_{n\to+\infty}(u_n)=+\infty$.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item Pour tout entier naturel $n$,
\begin{align*}
v_{n+1} &=  -2u_{n+1}+3(n+1)-\dfrac{21}{2}\\
& = -2\left(\dfrac{1}{3}u_n+n-2\right)+3(n+1)-\dfrac{21}{2}\\
& = -\dfrac{2}{3}u_n-2n+4+3n+3-\dfrac{21}{2}\\
& = -\dfrac{2}{3}u_n + n - \dfrac{7}{2}\\
& = \dfrac{1}{3}\left(-2u_n + 3n - \dfrac{21}{2}\right) = \dfrac{1}{3}v_n.
\end{align*}
La suite $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q=\dfrac{1}{3}$ et de premier terme:
\[
v_0=-2u_0+3\times0-\dfrac{21}{2}=-\dfrac{25}{2}.
\]
\item De la question précédente, on peut déduire que $v_n=v_0 \times q^n$ pour tout entier naturel $n$, donc $v_n=-\dfrac{25}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n$.

Or, $v_n=-2u_n+3n-\dfrac{21}{2}$ donc $u_n=\dfrac{1}{2}\left(v_n-3n+\dfrac{21}{2}\right)$. En remplaçant $v_n$ par l'expression trouvée précédemment, on obtient:
\[
u_n=\dfrac{25}{4}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\dfrac{3}{2}n-\dfrac{21}{4}.
\]
\end{questions}

\item $\begin{aligned}[t]
S_n & = \displaystyle\sum_{k=0}^n u_k\\
& = \displaystyle\sum_{k=0}^n \left[ \dfrac{25}{4}\left(\dfrac{1}{3}\right)^k+\dfrac{3}{2}k-\dfrac{21}{4} \right] \\
& = \dfrac{25}{4}\displaystyle\sum_{k=0}^n \left(\dfrac{1}{3}\right)^k + \dfrac{3}{2}\sum_{k=0}^n k - \dfrac{21}{4}\times\underbrace{\sum_{k=0}^n 1}_{(n+1)\text{ termes}}\\
& = \dfrac{25}{4}\times\dfrac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{3}} + \dfrac{3}{2}\times\dfrac{n(n+1)}{2} - \dfrac{21}{4}(n+1)\\\\
& = \dfrac{75}{8}\left(1-\dfrac{1}{3^{n+1}}\right) + \dfrac{3}{4}(n^2+n) - \dfrac{21}{4}n-\dfrac{21}{4}\\
S_n & = \dfrac{3}{4}n^2 - \dfrac{9}{2}n + \dfrac{33}{8} - \dfrac{75}{8\times3^{n+1}}.
\end{aligned}$
\end{questions}
\end{corrige}

%%% corrigé vérifié

\begin{exo}{Suites imbriquées}{Lycée Louis Pasteur, Neuilly-sur-Seine}{2}{30}
\NathanLiveVideo[Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo.]{suites imbriquées}{https://media.prepamath.fr/ILTMch01exo22}

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0.4){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/ILTMch01exo22}}}
\vspace*{-6mm}

Un biologiste étudie les mutations génétiques entre deux types de cellules, A et B, évoluant dans un même milieu. Le nombre total de cellules reste constant (ni disparition ni création) ~; mais d'un jour à l'autre, 25\,\% des\linebreak cellules de type A mutent vers des cellules de type B, et réciproquement.

On note $a_n$ (resp. $b_n$) le nombre de cellules de type A (resp. de type B) au bout de $n$ jours d'observation. Pour tout entier $n$, on a $a_n + b_n = 300$. Initialement, $a_0 = 100$ et $b_0 = 200$.

\begin{questions}
\item Justifier que pour tout entier naturel, on a :
\[
\begin{cases}
a_{n + 1} = \dfrac{3}{4}a_n + \dfrac{1}{4}b_n \\[6pt]
b_{n + 1} = \dfrac{1}{4}a_n + \dfrac{3}{4}b_n
\end{cases}
\]

        \item En déduire que pour tout entier naturel $n$, \; $a_{n + 1} = 0,5a_n + 75$.

        \item On pose $c_n = 150 - a_n$ pour tout entier naturel $n$.
            \begin{questions}
                \item Montrer que la suite $(c_n)$ est géométrique.

                \item Exprimer $c_n$ en fonction de $n$.
                
				En déduire que $a_n = 150 - 50\times 0,5^n$.
            \end{questions}

        \item Étudier les variations de chacune des suites $(a_n)$ et $(b_n)$.

        \item Déterminer la limite de chacune des suites. Interpréter les résultats vis-à-vis de la situation étudiée par le biologiste.
    \end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-.5){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/ILTM2026ch01exoSuitesImbriquees}}}
\vspace*{-5mm}
\begin{questions}
\item Le nombre de cellules de type A le $(n + 1)$-ième jour est : 75\,\% des cellules A du jour précédent (car 25\,\% de cellules A ont muté vers B) auquel s'ajoutent les 25\,\% de cellules B qui ont muté vers A. On obtient:
    \begin{equation}\label{eq1}
      a_{n + 1} = \dfrac{3}{4}a_n + \dfrac{1}{4}b_n.
    \end{equation}
Le raisonnement est similaire pour les cellules B :
    \begin{equation}\label{eq2}
      b_{n + 1} = \dfrac{3}{4} b_n + \dfrac{1}{4} a_n = \dfrac{1}{4} a_n + \dfrac{3}{4} b_n.
    \end{equation}

    \item Sachant que $a_n + b_n = 300$, on a $b_n = 300-a_n$. En substituant dans l'équation \ref{eq1}, on obtient :
    \begin{align*}
    	a_{n + 1} & = \dfrac{3}{4}a_n + \dfrac{1}{4}(300 - a_n) \\[8pt]
    	& = \dfrac{3}{4}a_n -\dfrac{1}{4}a_n + \dfrac{1}{4}\times 300 \\[8pt]
    	& = \dfrac{1}{2}a_n + \dfrac{300}{4} \\[8pt]
    	& = 0,5\times a_n + 75.
    \end{align*}

\item
    \begin{questions}
    \item On cherche une relation de récurrence pour $(c_n )$, sachant que\\
    $c_n = 150 - a_n$ et donc $a_n = 150- c_n$ :
        \begin{align*}
        	c_{n + 1} & = 150 - a_{n + 1} = 150 - (0,5\times a_n + 75 ) \\
        	& = 75 - 0,5\times a_n = 75 - 0,5(150 - c_n ) \\
        	& = 75 - 75 + 0,5\times c_n \\
        	& = 0,5\times c_n.
        \end{align*}
    On reconnaît la relation de récurrence d'une suite géométrique de raison $0,5$.

    \item On a $c_0 = 150 -a_0 = 50$, donc $c_n = c_0 \times 0,5^n = 50 \times 0,5^n$.

    Comme $a_n = 150 - c_n$, on en déduit que $a_n = 150 - 50\times 0,5^n$ ($n\in\N$).
    \end{questions}

\item $0 < 0,5 < 1$ donc $0,5^n > 0,5^{n + 1} $. Or,
    \begin{align*}
       0,5^n > 0,5^{n + 1} & \iff -50\times 0,5^n < -50 \times 0,5^{n + 1} \\
      & \iff 150-50\times 0,5^n < 150 -50 \times 0,5^{n + 1} \\
       & \iff a_n < a_{n + 1}.
    \end{align*}
La suite $(a_n)$ est donc croissante.

Un raisonnement analogue montre que la suite $(b_n)$ est décroissante.

\item On sait que $\lim\limits_{n\to + \infty} 0,5^n = 0 $ (car $0<0,5<1$).
On en déduit que :
\[
\lim\limits_{n\to+\infty} (150 - 50\times 0,5^n) = 150\;,
\]
et de même :
\[
\lim\limits_{n\to+\infty} \left(150 + 50\times 0,5^n\right) = 150.
\]
À long terme, il y aura 50\,\% de cellules A et 50\,\% de cellules B.
\end{questions}
\end{corrige}

\sectionnn{Objectif bac}

\begin{exo}{Extrait de bac}{Amérique du Nord, sujet 2 de secours, 2025\newexo}{2}{45}
L'objectif de cet exercice est d'étudier la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
\[\left\{\begin{array}{l}
u_{0}=0\\
u_{1}=\dfrac{1}{2}\\
u_{n+2}=u_{n+1}-\dfrac{1}{4}u_{n}
\end{array}\right.\]

\subsectionnn{Partie A: conjecture}


\begin{questions}
\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous.  %Aucune justification n'est demandée.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|C*{6}{|>{\centering\arraybackslash}X}|}\hline
$n$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline
$u_{n}$ \rule{0pt}{18pt}& 0 & $\dfrac{1}{2}$ & $\dfrac{1}{2}$ &  &  &  \\ [6pt]\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Conjecturer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\end{questions}

\subsectionnn{Partie B : étude d'une suite auxiliaire}

Soit $\left(w_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par: $w_{n}=u_{n+1}-\dfrac{1}{2} u_{n}$.
\begin{questions}
\item Calculer $w_{0}$.
\item Démontrer que la suite $\left(w_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $w_{n}$ en fonction de $n$.
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}+\dfrac{1}{2} u_{n}$.

\item Démontrer par récurrence que, pour tout $n \in \N$,\quad$ u_{n}=n\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}$.
\end{questions}

\subsectionnn{Partie C : étude de la suite \boldmath$\left(u_{n}\right)$\unboldmath}

\begin{questions}
\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante à partir du rang $n = 1$.
\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente sans chercher à calculer la valeur de la limite.
\item On admet que la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ est solution de l'équation : $\ell=\ell-\dfrac{1}{4} \ell$.

Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\subsectionnn{Partie A: conjecture}

\begin{questions}
\item Le tableau complété est le suivant: 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|C*{6}{|>{\centering\arraybackslash}X}|}\hline
		$n$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline
		$u_{n}$ \rule{0pt}{18pt}& 0 & $\dfrac{1}{2}$ & $\dfrac{1}{2}$ & $\dfrac{3}{8}$ & $\dfrac{1}{4}$ & $\dfrac{5}{32}$ \\ [7pt]\hline
\end{tabularx}
\end{center}


\item En dressant un tableau de valeurs de la suite $(u_n)$, on constate qu'elle semble décroissante et que ses termes semblent se rapprocher de 0.
\end{questions}

\subsectionnn{Partie B : étude d'une suite auxiliaire}

\begin{questions}
\item $w_{0} = u_1 - \dfrac{1}{2}u_0 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\times 0 = \dfrac{1}{2}$.

\item Pour tout entier naturel $n$, on a:
\begin{align*}
	w_{n+1} &= u_{(n+1) + 1} - \dfrac{1}{2} u_{(n+1)} \quad \text{(définition de $w$ au rang }n+1)\\
	&= u_{n+2} - \dfrac{1}{2}u_{n+1}\\
	&=\left(u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_n\right)	- \dfrac{1}{2}u_{n+1}\quad\text{(relation de récurrence de }(u_n)). \\
	&=\dfrac{1}{2}u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_n\\
	&=\dfrac{1}{2}\left(u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_n\right) \\
	&=\dfrac{1}{2}w_n\quad \text{(définition de $w$ au rang }n).
\end{align*}
Ainsi, $\forall n \in \N,\quad w_{n+1} = \dfrac{1}{2}w_n$.

Cela prouve que $(w_n)$ est une suite géométrique de raison $q = \dfrac{1}{2}$ et de premier terme $w_0 = \dfrac{1}{2}$.

\item La suite $(w_n)$ est géométrique, donc d'après le cours:
\begin{align*}
\forall n \in \N,\quad w_n & = w_0 \times q^n\\
                           & = \dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\\
                           & = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}.
\end{align*}

\item Soit $n$ un entier naturel. D'après l'énoncé, 
\begin{align*}
w_n = u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_n & \iff \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} = u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_n\\
	&\iff u_{n+1}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}+\dfrac{1}{2} u_{n}.
\end{align*}

\item Pour tout $n$ entier naturel, posons: 
\[
P_n \quad : \quad u_n = n\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}.
\]
\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation:}  $u_0 = 0$ et $0\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^0 = 0\times 1 = 0$.

$P_0$ est donc vraie.

\item \textit{Hérédité:} pour un entier naturel $k$ donné, on suppose que la propriété $P_k$ est vraie, c'est-à-dire : $u_k = k\left(\dfrac{1}{2}\right)^k$. Alors,
\begin{align*}
u_{k+1} &= \left(\dfrac{1}{2}\right)^{k+1} + \dfrac{1}{2}u_k \quad \text{(relation de récurrence de la question B. 4)}\\
	& = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{k+1} + \dfrac{1}{2}\times k\left(\dfrac{1}{2}\right)^{k}\quad\text{(par hypothèse de récurrence)}\\
	& = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{k+1} + k\left(\dfrac{1}{2}\right)^{k+1}\\
	& = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{k+1}\times\big(1 +k\big)\\
u_{k+1}&=(k+1)\left(\dfrac{1}{2}\right)^{k+1}.
\end{align*}
Ainsi, l'hérédité est vérifiée.

\item \textit{Conclusion:} $P_0$ est vraie, et, pour un entier naturel $k$ fixé, $P_k \text{vraie} \Rightarrow P_{k+1}$ vraie. Ainsi, d'après le principe de récurrence,
\[
\forall n \in \N,\quad u_n = n\left(\dfrac{1}{2}\right) ^{n}.
\]
\end{itemize}
\end{questions}

\subsectionnn{Partie C: étude de la suite \boldmath$(u_{n})$\unboldmath}

\begin{questions}
\item Pour tout entier $n\geqslant1$,
\begin{align*}
u_{n+1} - u_n &= (n+1)\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} - n\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\quad \text{(question B. 5.)}\\
	&= (n+1)\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} - n\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} \times 2\\
	&= \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} \times\big((n+1) -2n \big) \\
	&= \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} \times\big(1-n\big).
\end{align*}
Or,
\begin{itemize}
\item $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}$ est positif strictement;
\item $(1 - n) \leqslant 0$ car $n\geqslant1$.
\end{itemize}
Ainsi, $u_{n+1} - u_n \leqslant 0$ pour tout entier naturel $n\geqslant1$.  On en déduit alors que la suite $(u_{n})$ est décroissante à partir du rang $n=1$.

\item L'expression de $u_n$ permet de dire que la suite $(u_n)$ est minorée par 0, car pour tout entier naturel $n$, $n\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \geqslant 0$.

De plus, la suite est décroissante à partir du rang $n= 1$ d'après la question précédente.

La suite est donc décroissante (à partir du rang $n=1$) et minorée par 0. Ainsi, d'après le théorème de convergence des suites monotones, $(u_n)$ converge.

\item On admet ici que la limite $\ell$ de la suite $\left(u_{n}\right)$ est solution de l'équation : $\ell=\ell-\dfrac{1}{4} \ell$.

Résolvons cette équation :
\begin{align*}
	\ell=\ell-\dfrac{1}{4} \ell
	&\iff \ell = \dfrac{3}{4}\ell\\
	&\iff \ell - \dfrac{3}{4}\ell = 0\\
	&\iff \dfrac{1}{4}\ell = 0\\
	&\iff \ell = 0\quad \text{car } \dfrac{1}{4}\neq 0.
\end{align*}
Ainsi, la suite $(u_n)$ converge vers 0.
\end{questions}

\end{corrige}

%%% corrigé vérifié

%\begin{exo}{Suite de Héron}{Lycée Teilhard de Chardin, Saint-Maur-des-fossés}{3}{45}
%On considère la suite $(u_n)_{n\in\N}$ définie par $u_0=3$ et, pour tout entier $n$, 
%\[u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(u_n+\dfrac{7}{u_n}\right).\]
%
%\begin{questions}
%\item On désigne par $f$ la fonction définie sur  l'intervalle $]0~;+\infty[$ par :
%\[f(x)=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{7}{x}\right).\]
%\begin{questions}
%\item Démontrer que la fonction $f$ admet un minimum.
%\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant\sqrt7$.
%\end{questions}
%
%\item
%\begin{questions}
%\item Soit $n$ un entier naturel quelconque. Étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$.
%\item Pourquoi peut-on en déduire que la suite $(u_n)$ est convergente ?
%\item Déterminer alors sa limite $\ell$.
%\end{questions}
%
%\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, 
%\[u_{n+1}-\sqrt{7}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{\big(u_n-\sqrt{7}\big)^2}{u_n}.\]
%
%\item On définit la suite $(d_n)$ par $d_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, 
%\[ d_{n+1}=\dfrac{1}{2}d_n^2.\]
%\begin{questions}
%\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, 
%\[u_n-\sqrt{7}\leqslant d_n.\]
%
%\item Voici un programme écrit en Python :
%
%\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.6){
%\psframebox{\qrcode{https://idl-live.prepamath.fr/ILTM/suites-Heron-2023.py}}}
%\vspace*{-5mm}
%
%\begin{listing}{}{suites-Heron-2023.py}\end{listing}
%
%
%\Par
%
%\og \texttt{Heron(9)} \fg{} retourne la valeur 5.
%
%Quelle inégalité peut-on en déduire pour $d_5$ ?
%
%Justifier que $u_5$ est une valeur approchée de $\sqrt{7}$ à $10^{-9}$ près.
%\end{questions}
%\end{questions}
%\end{exo}
%
%\begin{corrige}
%\begin{questions}
%\item 
%\begin{questions}
%\item $\forall x\in\R^*_+,\ f'(x)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{7}{2x^2}$ et :
%\begin{align*}
%f'(x)>0 & \iff \dfrac{1}{2}>\dfrac{7}{2x^2}\\
%& \iff x^2>7\\
%& \iff x>\sqrt{7}\text{ sur }]0~;+\infty[.
%\end{align*}
%
%Donc $f$ est décroissante sur $\left]0~;\sqrt{7}\right]$ et croissante sur $\left[\sqrt{7}~;+\infty\right[$. Ainsi, la fonction $f$ admet un minimum en $\sqrt{7}$, et ce minimum vaut $f\big(\sqrt7\big)=\sqrt7$.
%
%\item $u_0=3\geqslant\sqrt7$.
%
%Supposons que pour un entier $k$ fixé, $u_k\geqslant\sqrt7$.
%
%Alors,
%\[
%u_{k+1}=f(u_k)\geqslant\sqrt7\]
%d'après la question précédente. L'hérédité est alors démontrée. 
%
%On peut ainsi conclure que pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant\sqrt7$.
%\end{questions}
%
%\item
%\begin{questions}
%\item $\begin{aligned}[t]
%u_{n+1}-u_n & = \dfrac{1}{2}\left(u_n+\dfrac{7}{u_n}\right)-u_n\\
%& = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{7}{u_n}-u_n\right)\\
%& = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{7-u_n^2}{u_n}\right).
%\end{aligned}$
%
%Pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant\sqrt{7}$ donc $u_n^2\geqslant 7$.
%
%Par conséquent, $u_{n+1}-u_n\leqslant0$.
%
%\item La suite est décroissante et minorée par $\sqrt{7}$. 
%
%Elle est donc convergente.
%
%\item $f$ est continue, $u_{n+1}=f(u_n)$ et $(u_n)$ converge vers $\ell$. 
%
%Par conséquent, $\ell=f(\ell)$.
%
%On doit alors résoudre cette équation.
%\begin{align*}
%\ell=\dfrac{1}{2}\left(\ell+\dfrac{7}{\ell}\right) 
%&  \iff 2\ell=\ell+\dfrac{7}{\ell}\\
%&  \iff \ell^2=7\\
%& \iff \ell = \sqrt7\text{ (car }u_n>0).
%\end{align*}
%\end{questions}
%
%\item Pour tout $n$, 
%\begin{align*}
%u_{n+1} -\sqrt{7}&=\dfrac{1}{2}\left(u_n+\dfrac{7}{u_n}\right)-\sqrt{7} \\
%& = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{u_n^2+7-2u_n\sqrt{7}}{u_n}\right)\\
%& = \dfrac{1}{2}\times\dfrac{\left(u_n-\sqrt{7}\right)^2}{u_n}.
%\end{align*}
%
%\item 
%\begin{questions}
%\item $u_0-\sqrt{7}=3-\sqrt{7}\approx0,354$, et $d_0=1$  donc $u_0-\sqrt{7}\leqslant d_0$.
%
%\par 
%
%
%Supposons que pour une valeur de $k$ fixée, $u_k-\sqrt{7}\leqslant d_k$. 
%
%Montrons qu'alors $u_{k+1}-\sqrt{7}\leqslant d_{k+1}$.
%
%\begin{align*}
%u_k-\sqrt{7} \leqslant d_k & \Rightarrow \left(u_k-\sqrt{7}\right)^2 \leqslant d_k^2\text{ après avoir élevé au carré}\\
%& \Rightarrow \dfrac{1}{2}\left(u_k-\sqrt{7}\right)^2 \leqslant\dfrac{1}{2} d_k^2\text{ après avoir divisé par 2}\\
%& \Rightarrow \dfrac{1}{2}\left(u_k-\sqrt{7}\right)^2 \leqslant d_{k+1}\\
%& \Rightarrow \dfrac{1}{2}\times\dfrac{\left(u_k-\sqrt{7}\right)^2}{u_k}\leqslant\dfrac{d_{k+1}}{u_k}\text{ après avoir divisé par }u_k\\
%& \Rightarrow \dfrac{1}{2}\times\dfrac{\left(u_k-\sqrt{7}\right)^2}{u_k}\leqslant d_{k+1}.
%\end{align*}
%
%\Par
%
%La dernière inégalité provient du fait que $u_k\geqslant\sqrt{7}>1$. 
%
%On a donc bien $u_{k+1}-\sqrt{7}\leqslant d_{k+1}$. L'hérédité est alors prouvée.
%
%\Par
%
%Donc, pour tout entier naturel $n$, $u_n-\sqrt{7}\leqslant d_n$.
%
%\item $d_5\leqslant 10^{-9}$. On a :
%\[
%u_5-\sqrt{7}\leqslant d_5 \leqslant 10^{-9}. 
%\]
%
%Donc $u_5$ est une valeur approchée de $\sqrt{7}$ à $10^{-9}$ près.
%\end{questions}
%\end{questions}
%\end{corrige}
%
%

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\AfficheCorrige
