\chapter{Dérivation et convexité}

\section{Dérivation des fonctions composées}

\begin{exointro}{Lycée François Mauriac, Bordeaux}
Déterminer les dérivées des fonctions suivantes, toutes définies sur $\R$:
\begin{questions}
\begin{multicols}{2}
\item $f(x)=\sqrt{x^2+3x+3}$
\item $g(x)=(2x+1)\nep^{-x}$
\end{multicols}
\end{questions}
\vspace*{-1.5em}
\end{exointro}

\begin{defin}
Soient $u$ et $v$ deux fonctions telles que :
\begin{itemize}
\item $u$ est définie sur un ensemble $U$ et prend ses valeurs dans un ensemble $V$,
\item $v$ est définie pour tout $x$ de $V$.
\end{itemize}
On considère alors la fonction $f$ définie sur $U$ par :
\[
f(x) = v\big[ u(x) \big].
\]
$f$ est appelée une \textit{fonction composée}, et on note:
\[
f = v \circ u.
\]
\end{defin}

\enlargethispage*{\baselineskip}
\begin{Exemple}
soient $u$ et $v$ les fonctions définies par:
\begin{itemize}
\begin{multicols}{2}
\item $v\;:\;\begin{aligned}[t]
[0 ; +\infty[ & \to \R_+\\
x & \mapsto \sqrt{x}
\end{aligned}$

\item $u\;:\;\begin{aligned}[t]
[-1 ; +\infty[ & \to [0;+\infty[\\
x & \mapsto x+1
\end{aligned}$
\end{multicols}
\end{itemize}
Alors,
\[
f(x) = (v \circ u)(x) = v\big[u(x)\big] = \sqrt{x+1}.
\]
\end{Exemple}

\begin{thm}[théorème de dérivation des fonctions composées] 
Soit $f(x)=(v\circ u)(x)$, définie et dérivable sur un intervalle $I$. 

Alors, pour $x\in I$:
\[
f'(x)=u'(x) \times v'\big[u(x)\big].
\]
\end{thm}

On en déduit alors les propriétés suivantes:

\begin{props}
Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
\Par 
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\tabulartitle\hline
Fonction  & Dérivée & Condition\\
\hline
$\nep^u$ & $u'\nep^u$ & \diagbox[width=25mm,height=5mm,dir=SW]{\diagbox[width=25mm,height=5mm]{}{}}{} \\
\hline
$\sqrt{u}$ & $\dfrac{u'\strut}{2\sqrt{u}\strut}$ & $u(x)>0$ sur $I$\\
\hline
$u^n$ & $nu'u^{n-1}$\rule[-1mm]{0pt}{5mm} & $n\in\N^*$ \\
\hline
$\sin(u)$ & $u' \times \cos (u)$ & \diagbox[width=25mm,height=5mm,dir=SW]{\diagbox[width=25mm,height=5mm]{}{}}{} \\
\hline
$\cos(u)$ & $-u' \times \sin(u)$ & \diagbox[width=25mm,height=5mm,dir=SW]{\diagbox[width=25mm,height=5mm]{}{}}{} \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{props}

\begin{Exemple}soit $f(x)=\nep^{x^2}$. 

On peut écrire $f(x)=\nep^{u(x)}$ avec $u(x)=x^2$ et $u'(x)=2x$.

Ainsi, $f'(x)=u'(x)\nep^{u(x)}=2x\nep^{x^2}$.
\end{Exemple}

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item $f(x)=\sqrt{x^2+3x+3}$.

$f$ est de la forme $\sqrt{u}$ donc $f' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$, avec:
\[
u(x)=x^2+3x+3\qquad;\qquad u'(x)=2x+3.
\]
Ainsi,
\[
f'(x)=\dfrac{2x+3}{2\sqrt{x^2+3x+3}}.
\]


\item $g(x)=(2x+1)\nep^{-x}$.

$g$ est de la forme $u \times v$ avec $u(x)=2x+1$ et $v(x)=\nep^{-x}$.

$v$ est une fonction composée de la forme $\nep^{w}$ donc sa dérivée est:
\[
v'(x)=w'(x) \times \nep^{w(x)} = -1 \times \nep^{-x}.
\]
De plus, $u'(x)=2$.

Ainsi,
\begin{align*}
g'(x) & = u'(x) \times v(x) + u(x) \times v'(x)\\
& = 2 \times \nep^{-x} + (2x+1)\times \big(-1\nep^{-x} \big)\\
& = \big[2 + (2x+1)\times(-1) \big] \nep^{-x}\\
& = (2-2x-1)\nep^{-x}\\
& = (1-2x)\nep^{-x}.
\end{align*}
\end{questions}
\vspace*{-1.5em}
\end{solintro}


\section{Convexité d'une fonction}

\begin{exointro}{Lycée Victor Duruy, Paris}
\begin{questions}
\item Étudier la convexité de la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
\[
f(x) = x^3 - 4x + 1.
\]
\item Donner les coordonnées des éventuels points d'inflexion.
\end{questions}
\vspace*{-0.5em}
\end{exointro}


\subsection{Dérivée seconde}

\begin{defin}
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$, de dérivée $f'$. Si $f'$ est également dérivable sur $I$, la dérivée de $f'$ sur $I$, notée $f''$, est appelée \textit{dérivée seconde} de $f$.
\end{defin}

\begin{Exemple}
soit $f(x)=x^3$. Alors $f'(x)=3x^2$ et $f''(x)=\big(3x^2\big)' = 6x$.
\end{Exemple}

\subsection{Fonction concave, fonction convexe}

\begin{defins}
\begin{itemize}
\item On dit que $f$ est \textit{concave} sur un intervalle $I$ si $f''(x)<0$ sur $I$.

\item On dit que $f$ est \textit{convexe} sur un intervalle $I$ si $f''(x)>0$ sur $I$.
\end{itemize}
\end{defins}

\textit{Interprétation graphique :} 
\begin{itemize}
\item la courbe représentative d'une fonction \textit{convexe}  sur un intervalle $I$ sera toujours \textit{au-dessus} de ses tangentes;

\item la courbe représentative d'une fonction \textit{concave}  sur un intervalle $I$ sera toujours \textit{en dessous} de ses tangentes.
\end{itemize}

\enlargethispage*{5em}

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.9]{078_continuite-fig5a}
\Par
Fonction \textit{convexe} sur $[-3~;~2]$
\end{center}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.9]{078_continuite-fig5b}
\Par
Fonction \textit{concave} sur $[-3~;~2]$
\end{center}
\end{minipage}

\newpage

\subsection{Point d'inflexion}

\begin{defin}
Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$, et soit $a\in I$.

On dit que le point de coordonnées $\big(a~;~f(a)\big)$ est un \textit{point d'inflexion} de la courbe représentative de $f$ si $f''(x)$ s'annule en $a$ en  changeant de signe.
\end{defin}

Graphiquement, cela se traduit par un changement de convexité en $a$.

\Par

\begin{center}
\includegraphics{078_continuite-fig6}
\end{center}

\enlargethispage*{\baselineskip}

\begin{Exemple}
soit $f(x)=x^3$. Alors, $f''(x)=6x$ et:
\begin{itemize}
\item $f''(x)<0$ sur $]-\infty~;~0[$;
\item $f''(x)>0$ sur $]0~;~+\infty[$;
\item $f''(x)=0$.
\end{itemize}
Donc le point de coordonnées $(0~;~f(0))$, c'est-à-dire l'origine du repère, est un point d'inflexion de la courbe représentative de la fonction $f$.
\end{Exemple}

\begin{center}
\includegraphics{079_continuite-fig7}
\end{center}

\newpage

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item Pour tout réel $x$, 
\[
f'(x) = 3x^2 - 4
\]
et 
\[
f''(x) = 6x.
\]

On a alors:
\[
f''(x) < 0 \iff x < 0,
\]
donc:
\begin{itemize}
\item $f$ est concave sur $\R^*_-$,
\item $f$ est convexe sur $\R^*_+$.
\end{itemize}

\item Le point $A(0\,;1)$ est le seul point d'inflexion, car 0 est la seule valeur de $x$ pour laquelle $f''(x)$ s'annule en changeant de signe.
\end{questions}
\end{solintro}

