\thumb

%%%%

\begin{qcm}{Lectures graphiques}{5}
Soit $f$ une fonction définie et deux fois dérivable sur $\left[-3\,; 5\right]$, dont la représentation graphique $ \mathcal{C}_f$ est donnée ci-dessous.
\Par
\begin{center}
\includegraphics{083_continuite-fig8}
\end{center}
\Par
La droite bleue est la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $A$. De plus $ \mathcal{C}_f $ admet une tangente horizontale en $B$ et en $C$. Par lecture graphique, pour chacune des questions suivantes, choisir la bonne réponse.
\begin{questions}
\item La fonction $f$ est convexe sur l'intervalle :\resetchoix\par 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $ \left[ -3\,; 1\right] $&
\choix $ \left[-1\,; 5 \right] $&
\choix $ \left[ 2\,; 4\right] $
\end{tabularx}

\item La courbe $ \mathcal{C}_f $ admet :\resetchoix\par 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix un point d'inflexion	&
\choix trois points d'inflexion\\
\choix aucun point d'inflexion&
\end{tabularx}

\item La fonction dérivée $ f' $ est : \resetchoix\par 
\choix positive ou nulle sur $ \left[-3\,; -1\right] $ et $ \left[ 3\,; 5\right] $

\choix croissante sur $ \left[-3\,; 1\right] $ et décroissante sur $ \left[1\, ; 5\right] $

\choix admet un minimum en $3$

\item La fonction dérivée seconde $f''$ : \resetchoix\par 
\choix est négative lorsque $\mathcal{C}_f$ est en dessous de l'axe des abscisses

\choix est négative ou nulle pour $ x\in \left[-1\,; 3\right] $

\choix est négative sur $[-3~;~0]$
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[c]. En effet, sur $[2~;~4]$, $\mathcal{C}_f$ est toujours au-dessus de ses tangentes.

\item Réponse \choix[a]. En effet, un point d'inflexion est un point où la courbe traverse la tangente en ce point. Sur ce graphique, cela se réalise au point $A$ uniquement.

\item Réponse \choix[a]. En effet, $f'(x)>0$ sur tout intervalle où $f$ est croissante, donc uniquement sur $[-3~;~-1]$ et sur $[3~;~5]$. 

\item Réponse \choix[c]. En effet, sur $[-3~;~0]$, la fonction est concave car $\mathcal{C}_f$ est toujours en dessous de ses tangentes, donc $f''(x)$ y est négative.
\end{questions}
\end{corrige}


%

\begin{qcm}{Convexité et variations}{5}
Pour chacune des questions suivantes, désigner la bonne réponse.

$f$ est une fonction définie et dérivable deux fois sur un intervalle $I$.
\begin{questions}
\item Si la fonction $f$ est convexe sur $I$, alors :

\choix $f$ est croissante sur $I$

\choix $f'$ est croissante sur $I$

\choix $ f'' $ est croissante sur $I$

\choix $f$ est décroissante puis croissante sur $I$

\item Si la fonction $f$ est concave sur $I$, alors :\resetchoix\par 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix $f$ admet un maximum sur $I$&
\choix $f$ est décroissante sur $I$\\
\choix $ f' $ est croissante sur $I$&
\choix $ f''$ est négative sur $I$
\end{tabularx}
   
\item Si la courbe représentative de $f$ admet un point d'inflexion $A$ au point d'abscisse $a$ de $I$, alors :\resetchoix\par 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix $f$ admet un extremum en $a$&
\choix $ f' $ admet un maximum en $a$\\
\choix $ f' $ change de signe en $a$&
\choix $ f' $ admet un extremum en $a$
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse\choix[b]. En effet, sur $I$, si $f$ est convexe alors $f''(x)>0$ sur $I$, ce qui signifie que $f'$ est croissante.

\item Réponse\choix[d]. En effet, d'après la définition d'une fonction concave, si $f$ est concave sur $I$ alors $f''(x)<0$ sur $I$.

\item Réponse\choix[d]. En effet, si $A$ est un point d'inflexion d'abscisse $a$ alors $f''(x)$ change de signe en s'annulant en $x=a$; cette dernière condition signifie que $f'$ atteint un extremum en ce point.
\end{questions}
\end{corrige}


%

\begin{vf}{Dérivabilité}{10}
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.
\begin{questions}
\item La fonction racine carrée est définie donc dérivable sur $\left[0~;+\infty\right[$.
\item Si $f'(a)=0$ alors la fonction $f$ admet un extremum en $a$.
\item La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\left|x-2\right|$ est dérivable en 2.
\item Si la fonction $f$ est dérivable en $a$ et la fonction $g$ n'est pas dérivable en $a$ alors la fonction $fg$ n'est pas dérivable en $a$.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \textit{Faux}. La fonction racine carrée est bien définie sur $\left[0~;+\infty\right[$ mais elle n'est pas dérivable en 0.

\item \textit{Faux}. La fonction $f$ n'admet un extremum en $a$ que si sa dérivée s'annule en changeant de signe en $a$. Ainsi la fonction définie sur $\R$ par\linebreak
$f(x)=x^3$ a sa dérivée qui s'annule en 0 puisque, pour tout $x$ réel, $f'(x)=3x^2$. Cependant, elle n'admet pas d'extremum en 0.

\item \textit{Faux}. Pour $x \neq 2$, $\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=\dfrac{\left|x-2\right|}{x-2}$.

Pour $x>2$, 
\[ \dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=1\]
et pour $x<2$, 
\[ \dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=-1.\]
La limite de $f$ en 2 à gauche est donc égale à 1 alors que celle en 2 à droite est $-1$.

La fonction $x\mapsto \left|x-2\right|$ n'est pas donc dérivable en 2.

\item \textit{Faux}. Pour s'en convaincre, on peut prendre $g(x)=\sqrt{x}$ et $f(x)=x$. La fonction $g$ n'est pas dérivable en 0 alors que la fonction $f$ l'est. La fonction $fg$ définie pour tout réel $x$ positif par $(fg)(x)=x\sqrt{x}$ est dérivable en 0 et $(fg)'(0)=0$.
\end{questions}
\end{corrige}


%

\begin{vf}{Fonction définie par morceaux}{10}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l@{~=~}ll}
f(x) & -x^2 &\text{si }x<0 \\
f(0) & 1 & \\
f(x) & x^2+1 & \text{si }x>0
\end{array}
\right.
\]


Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
\begin{questions}
\item La fonction $f$ n'admet pas de limite en 0.
\item La fonction $f$ est dérivable en 0 et $f'(0)=0$.
\item La fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$.
\item Pour tout réel $a$, l'équation $f(x)=a$ admet une unique solution dans~$\R$.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \textit{Vrai}. On a : 
\begin{itemize}
\item $\lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^-} (-x^2) =0$.
\item $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^+} (x^2+1)=1$.
\end{itemize}
Les deux limites n'étant pas égales, $f$ n'admet pas de limite en 0.

\item \textit{Faux}. D'après la question précédente, $f$ n'est pas continue en 0 donc elle n'est pas dérivable en 0 (voir chapitre suivant).

\item \textit{Vrai}. En effet,
\begin{itemize}
\item si $x<0$, $f'(x)=-2x$ donc $f'$ est strictement positive sur $]-\infty~;0[$;
\item si $x>0$, $f'(x)=2x$ donc $f'$ est strictement positive sur $]0~;+\infty[$.
\end{itemize}
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $]0~;+\infty[$ et sur\linebreak $]-\infty~;0[$. 

De plus, pour tout $x$ non nul, $-x^2<1<x^2+1$, donc si $x < 0$, on a $f(x) <f(0)$  et si $x > 0$, on a aussi $f(0)< f(x)$. Par conséquent, $f$ est strictement croissante sur $\R$.

\item \textit{Faux}. L'équation $f(x) = a$ n'admet aucune solution pour $a$ appartenant à l'intervalle $[0~;1[$.
\end{questions}
\end{corrige}

\newpage


\sectionnn{Dérivation}


%%%

\begin{exo}{Lecture graphique}{Lycée Virlogeux, Riom}{1}{10}
$f$ est une fonction dérivable sur $\R$. On a tracé ci-dessous la courbe représentative, dans un repère orthonormé, de sa dérivée $f'$.
\Par
\begin{center}
\includegraphics{086_continuite-fig9}
\end{center}
\begin{questions}
\item Par lecture graphique, déterminer le sens de variations de la fonction $f$.
\item Prouver que $f$ admet un minimum local et donner une valeur de $x$ pour laquelle il est atteint.
\item Parmi les courbes suivantes, quelle est (ou quelles sont) celle(s) qui pourrai(en)t représenter la fonction $f$ ? Justifier.

\resetchoix

\begin{multicols}{2}
\choix \raisebox{-\totalheight}{\includegraphics{086_continuite-fig10a}}

\choix \raisebox{-\totalheight}{\includegraphics{086_continuite-fig10b}}

\choix \raisebox{-\totalheight}{\includegraphics{086_continuite-fig10c}}

\choix \raisebox{-\totalheight}{\includegraphics{086_continuite-fig10d}}
\end{multicols}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item La dérivée est négative sur $\R_-$, donc $f$ est décroissante sur $\R_-$;\\ la dérivée est positive sur $\R_+$, donc $f$ est croissante sur $\R_+$.
\item D'après la question précédente, la fonction admet un minimum en 0.
\item La dérivée est négative sur $\R_-$, donc $f$ est décroissante sur $\R_-$;\\ la dérivée est positive sur $\R_+$, donc $f$ est croissante sur $\R_+$.

Ceci élimine les courbes \choix[a] et \choix[d].

On voit que $f'(x)$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers l'infini, donc que la pente de la tangente à la courbe va diminuer quand $x$ augmente, elle doit déjà être faible pour $x=4$ (environ $0,5$). 

C'est donc la courbe \choix[c] qui convient.
\end{questions}
\end{corrige}

%%% NEW 2023

\begin{exo}{Application des formules du cours}{Lycée François Mauriac, Bordeaux}{2}{15}
Dériver les fonctions suivantes:
\begin{questions}
\item $f(x)=\nep^{x^2+3x+1}$, sur $\R$.
\item $g(x)=(2x+3)\nep^{x^2+3x+1}$, sur $\R$.
\item $h(x) = \sqrt{\dfrac{2x-1}{x+3}}$, sur $\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $f(x)=\nep^{x^2+3x+1}$. $f$ est une fonction de la forme $\nep^u$, avec:
\[
u(x)=x^2+3x+1.
\]
Ainsi,
\begin{align*}
f'(x) & = u'(x)\nep^{u(x)}\\
f'(x) & = (2x+3)\nep^{x^2+3x+1}.
\end{align*}

\item $g(x)=(2x+3)\nep^{x^2+3x+1} = (2x+3)f(x)$, où $f$ est la fonction de la question précédente. 

$g$ est un produit de la forme $u \times f$, avec $u(x)=2x+3$, donc:
\begin{align*}
g'(x) & = u'(x)f(x) + u(x)f'(x)\\
& = 2\nep^{x^2+3x+1} + (2x+3)\times(2x+3)\nep^{x^2+3x+1}\\
& = \big[ 2 + (2x+3)^2 \big]\nep^{x^2+3x+1}\\
& = (4x^2 + 12x + 11)\nep^{x^2+3x+1}.
\end{align*}

\item $h(x) = \sqrt{\dfrac{2x-1}{x+3}}$. $h$ est une fonction de la forme $\sqrt{u}$ avec:
\[
u(x)=\dfrac{2x-1}{x+3}
\]
et
\begin{align*}
u'(x) & = \dfrac{2(x+3) - 1(2x-1)}{(x+3)^2}\\
u'(x) & = \dfrac{7}{(x+3)^2}.
\end{align*}
donc: $\begin{aligned}[t]
h'(x) & =  \dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} = \dfrac{7}{(x+3)^2}\times\dfrac{1}{2\sqrt{\frac{2x-1}{x+3}}}\\
& = \dfrac{7\sqrt{x+3}}{2(x+3)\big(\sqrt{x+3}\big)^2\sqrt{2x-1}}\\
& = \dfrac{7}{2(x+3)\sqrt{(x+3)(2x-1)}}.
\end{aligned}$
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Calcul de dérivées}{Lycée Jules Ferry, Caen}{2}{30}
Montrer que les fonctions suivantes sont définies et dérivables sur $\R$ puis calculer leur dérivée.
\begin{itemize}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\item  $\displaystyle f(x)={3x^3-6x+5\over x^2+1}$
\item  $\displaystyle g(x)=(5x^4 -2x^2 +x)^3$
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\item  $\displaystyle h(x)=\left( \dfrac{2x^2 -5x +1}{x^2+1} \right)^4$
\item  $\displaystyle \ell(x)=\sqrt{\sqrt{1+x^2}}$
\end{minipage}
\end{itemize}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item La fonction $f$ est une fonction rationnelle, donc est dérivable sur son ensemble de définition. Or, pour tout réel $x$, on a $x^2+1>0$, de sorte que $\mathscr{D}_f=\R$. Alors $f$ est définie et dérivable sur $\R$ tout entier. 

Pour calculer la dérivée de $f$, on applique la formule $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}$
avec :
\[
u(x)=3x^3-6x+5 \quad \text{et} \quad v(x)=x^2+1.
\]
D'où :
\[
u'(x)=9x^2-6 \quad \text{et} \quad v'(x)=2x.
\]
Ainsi, pour tout réel $x$ :
\begin{align*}
f'(x) & =\dfrac{(9x^2-6)(x^2+1)-2x(3x^3-6x+5)}{(x^2+1)^2}\\
& = \dfrac{3x^4+15x^2-10x-6}{(x^2+1)^2}.
\end{align*}

\item La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ comme composée d'une fonction polynôme et d'une fonction puissance. On a : 
\[
g'(x) = 3(20x^3-4x+1)(5x^4- 2x^2 +x)^2.
\]


\item La fonction $h$ est définie sur $\R$ car le dénominateur ne s'annule jamais. La fonction $h$ est dérivable sur $\R$ comme composée d'une fonction rationnelle et d'une fonction puissance.
\begin{align*}
h'(x) & = 4 \left( \dfrac{2x^2-5x+1}{x^2+1} \right)^3 
	\left(\dfrac{(4x-5)(x^2+1)-(2x^2-5x+1)(2x)}{(x^2+1)^2}\right) \\
&= 4 \left( \dfrac{2x^2-5x+1}{x^2+1} \right)^3 \left(\dfrac{5x^2+2x-5}{(x^2+1)^2}\right) \\
&= \dfrac{4(2x^2-5x+1)^3(5x^2+2x-5)}{(x^2+1)^5}.
\end{align*}

\begin{Remarque}
sous cette forme, on pourra trouver le signe de $h'(x)$, ce qui est le but quand on calcule une dérivée.
\end{Remarque}


\item  La fonction $x \mapsto x^2+1$ est dérivable sur $\R$ et est à valeurs dans $\left[1~;+\infty\right[$, donc dans $\R^*_+$. Or, $x \mapsto \sqrt{x}$ est dérivable sur $\R^*_+$. Donc $x \mapsto \sqrt{x^2+1}$ est dérivable sur $\R$.

Par ailleurs, cette dernière fonction est à valeurs dans $\R^*_+$.

Donc $x \mapsto \sqrt{\sqrt{x^2+1}}$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée de fonctions dérivables.

Posons $G(x)=\sqrt{x^2+1}$. 

Alors :
\[
G'(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}.
\]
Or, $\ell=\sqrt{G}$, donc 
$\ell'(x)=\dfrac{G'(x)}{2\sqrt{G(x)}}$.
\par
Soit :
\[
\ell'(x)=\frac{x}{2 \sqrt{x^2+1}\sqrt{\sqrt{x^2+1}}}.
\]
\end{questions}
\end{corrige}


\sectionnn{Convexité}

%%%

\begin{exo}{Convexité et inégalité}{Cité scolaire internationale, Grenoble}{1}{15}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x\nep^x$.

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'origine O.

\begin{questions}
\item Calculer $f '(x)$ et $f''(x)$.
\item Étudier la convexité de $f$ sur $\R$.
\item 
\begin{questions}
\item Déterminer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.
\item En déduire que $f(0,0001) > 0,0001$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Pour tout réel $x$: $\begin{aligned}[t]
f '(x) &= \nep^x + x\nep^x = (x + 1) \nep^x\\
f "(x) &= \nep^x + (x + 1)\nep^x = (x + 2)\nep^x.
\end{aligned}$

\item $f "(x) > 0 \iff x > -2$.

Par conséquent, $f$ est concave sur $]-\infty\,;-2]$  et convexe sur $[-2\,;+\infty[$.

\item
\begin{questions}
\item L'équation de la tangente au point d'abscisse 0 est :\\\mbox{$y = f '(0)x + f(0)$}, donc $y = x$.

\item $f$ est convexe sur $[-2\,;+\infty[$. 0,0001 fait partie de cet intervalle, donc $\mathcal{C}$ est au-dessus de sa tangente au point d'abscisse 0, dont l'équation est $y = x$.	

On a donc $f(0,0001) > 0,0001$ car à gauche se trouve l'ordonnée du point de $\mathcal{C}$ d'abscisse 0,0001 et à droite l'ordonnée du point de la tangente en O d'abscisse 0,0001 également.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%%% NEW 2026

\begin{exo}{Établir une inégalité}{Lycée Polyvalent Adam de Craponne, Salon de provence}{1}{15}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\nep^{x^2-1}$. On note $\cal C$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
\begin{questions}
\item \'Etudier la convexité de la fonction $f$ sur $\R$.
\item Donner l'équation réduite de la tangente à $\cal C$ au point d'abscisse 1.
\item Montrer alors que pour tout réel $x$, $\nep^{x^2-1} \geqslant 2x-1.$
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $f(x)=\nep^{x^2-1}$ est de la forme $\nep^{u}$ avec:
\[
u(x)=x^2-1\qquad;\qquad u'(x)=2x.
\]
Ainsi,
\[
f'(x)=u'(x) \times \nep^{u(x)} = 2x\nep^{x^2-1}.
\]
$f'$ est de la forme $u \times v$ avec:

\begin{multicols}{2}
$u(x)=2x$\\
$u'(x)=2$

\columnbreak

$v(x)=\nep^{x^2-1}$\\
$v'(x)=2x\nep^{x^2-1}$
\end{multicols}

Ainsi,
\begin{align*}
f''(x) & = (u'v + uv')(x)\\
& = 2\nep^{x^2-1} + 2x \times 2x\nep^{x^2-1}\\
& = (2+4x^2)\nep^{x^2-1}.
\end{align*}

Or, $2+4x^2 > 0$ et $\nep^{x^2-1}>0$ sur $\R$.

Par conséquent, $f$ est convexe sur $\R$.

\item L'équation de la tangente $(T_1)$ à $\cal C$ au point d'abscisse 1 est donnée par la formule du cours vue en Première:
\[
(T_1)\;:\;y = f'(1)(x-1)+f(1)\,,\quad\text{avec }f(0)=\nep^{1^2-1}=1\text{ et }f'(1)=2.
\]
On obtient alors:
\[
(T_1)\;:\;y=2(x-1)+1
\]
soit:
\[
(T_1)\;:\;y=2x-1.
\]

\item $f$ est convexe sur \R, ce qui signifie que $\cal C$ est toujours au-dessus de ses tangentes, y compris $(T_1)$. Cela se traduit par l'inégalité:
\[
f(x) \geqslant 2x+1
\]
et donc:
\[
\nep^{x^2} \geqslant 2x+1.
\]
\end{questions}
\end{corrige}



%
\begin{exo}{Avec des représentations graphiques}{Lycée Virlogeux, Riom}{2}{20}
On a représenté ci-dessous la courbe $\mathcal{C}'$ représentant la fonction dérivée d'une fonction $f$  deux fois dérivable sur $\left[-\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{9}{2}\right]$, à gauche, et quatre courbes $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$,  $\mathcal{C}_3$ et $\mathcal{C}_4$, à droite. 

\Par
\includegraphics{088_continuite-fig11}

\begin{questions}
\item %\enlargethispage*{2em}
\begin{questions}
\item Résoudre l'équation $f '(x) = 0$, avec la précision permise par le graphique.
\item Indiquer le signe de $f '(x)$.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item Dresser le tableau de variations de $f '$.
\item On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$. $\mathcal{C}$ admet-elle un (ou des) point(s) d'inflexion ?
Justifier soigneusement.
\end{questions}

\item Parmi les courbes $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$, $\mathcal{C}_3$ et $\mathcal{C}_4$, préciser (en justifiant) celle qui peut représenter la fonction $f$ et celle qui peut représenter la fonction $f''$.
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item L'équation $f'(x) = 0$ a trois solutions $a$, $b$ et $c$.

$a\approx 0,2$ ; $b\approx 2,2$ et $c\approx 3,6$.

\item $f '(x) > 0$ si $x$ appartient à $]a\,;b[\,\cup\left]c\,;\dfrac{9}{2}\right]$, et $f '(x) < 0$ si\linebreak $x$ appartient à $\left[-\dfrac{1}{2}\,;a\right[\cup\;]b\,;c[$.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item Dans le tableau de variations de $f '$ suivant, on a rajouté le signe de $f''(x)$, $f''$ étant la fonction dérivée de la fonction $f '$.
\[
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{array}{|R|*7{c}|}
\hline\tabulartitle
x & -\frac{1}{2} &  & 1 &  & 3 &  & \frac{9}{2}\\
\hline
f'(x) &  & \nearrow &  & \searrow &  & \nearrow & \\
\hline
\text{Signe de }f''(x) &  & + & 0 & - & 0 & + & \\
\hline
\end{array}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\]

\item D'après le tableau de signes de $f''$, $f''$ s'annule en changeant de signe pour $x = 1$ et $x = 3$. Il y a donc deux points d'inflexion d'abscisses 1 et 3.
\end{questions}

\item D'après la question 1.b., $f '$ est négative, puis positive, puis négative, puis positive.

Donc $f$ doit être décroissante jusqu'à $a$, croissante entre $a$ et $b$, décroissante entre $b$ et $c$ puis finalement croissante.

C'est la courbe $\mathcal{C}_3$ qui convient.

Quant à $f''$, elle doit être positive jusqu'à 1, négative entre 1 et 3, puis à nouveau positive.

C'est la courbe $\mathcal{C}_1$ qui convient.
\end{questions}
\end{corrige}

\sectionnn{Études de fonctions}

%%% NEW 2023

\begin{exo}{Position relative d'une tangente}{Lycée Notre-Dame de Boulogne, Boulogne-Billancourt}{2}{20}
\enlargethispage*{5em}
Soit $f$ la fonction définie sur $[0;2[$ par $f(x)=(x-1)\sqrt{\dfrac{x}{2-x}}$.

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

\newpage

\begin{questions}
\item On considère la fonction polynôme $g$ définie sur $\R$ par: 
\[
g(x)=-x^2+3x-1.
\]

Résoudre dans $\R$ l'équation $g(x)=0$. On notera $\alpha$ la solution qui\linebreak appartient à l'intervalle $[0;2[$.

Donner alors le signe de $g(x)$ sur $[0;2[$.

\item  Calculer la limite de $f$ en 2. Qu'en déduit-on pour $\mathcal{C}$?

\item Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0;2[$,
\[
f'(x)=\dfrac{g(x)}{(2-x)^2\sqrt{\frac{x}{2-x}}}.
\]
\'Etudier le sens de variation de $f$.

\item Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1.

\item Montrer que $\mathcal{C}$ est toujours au-dessus de sa tangente $(T)$ sur $[0;1[$ et sur $]1;2[$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $g(x)=-x^2+3x-1$ est un polynôme de degré 2, dont le discriminant est:
\[
\Delta = 3^2-4\times(-1)\times(-1)=5>0
\]
donc il admet deux racines:
\[
x_1 = \dfrac{3+\sqrt5}{2}\not\in[0;2[\qquad\text{et}\qquad
x_2 = \alpha = \dfrac{3-\sqrt5}{2}\in[0;2[.
\]
On en déduit alors le tableau de signes suivant:
\[
\begin{array}{|r|*5{c}|}
\hline
\tabulartitle
x & 0 &  & \alpha &  & 2\\
\hline
g(x) &  & - & 0 & + & \\
\hline
\end{array}
\]

\item $\lim\limits_{\substack{x\to2\\x<2}}(2-x)=0^+$ donc $\lim\limits_{\substack{x\to2\\x<2}}\sqrt{\dfrac{x}{2-x}}=+\infty$.

De plus, $\lim\limits_{\substack{x\to2\\x<2}}(x-1)=1>0$ donc, par produit, $\lim\limits_{\substack{x\to2\\x<2}}f(x)=+\infty$.

On peut alors en déduire que la droite d'équation $x=2$ est une asymptote verticale de $\mathcal{C}$.

\item $f(x)=a(x) \times b(x)$, avec $a(x)=(x-1)$ et $b(x)=\sqrt{\dfrac{x}{2-x}}$.
\begin{itemize}
\item $a'(x) = 1$.

\item $b(x) = \sqrt{u(x)}$, avec $u(x)=\dfrac{x}{2-x}$ et:
\[
u'(x) = \dfrac{1(2-x)-x\times(-1)}{(2-x)^2}=\dfrac{2}{(2-x)^2}.
\]
Donc:
\begin{align*}
b'(x) & = \dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}\\
      & = \dfrac{2}{(2-x)^2} \times \dfrac{1}{2\sqrt{\frac{x}{2-x}}}\\
      & = \dfrac{1}{(2-x)^2\sqrt{\frac{x}{2-x}}}.
\end{align*}

\item On en déduit alors que:
\begin{align*}
f'(x) & = a'(x)b(x) + a(x)b'(x)\\
      & = 1\times\sqrt{\dfrac{x}{2-x}} + (x-1)\times\dfrac{1}{(2-x)^2\sqrt{\frac{x}{2-x}}}\\
      & = \dfrac{(2-x)^2\times\frac{x}{2-x}+x-1}{(2-x)^2\sqrt{\frac{x}{2-x}}}\\
& =  \dfrac{(2-x)x + x-1}{(2-x)^2\sqrt{\frac{x}{2-x}}}\\
& = \dfrac{-x^2+3x-1}{(2-x)^2\sqrt{\frac{x}{2-x}}}\\
& = \dfrac{g(x)}{(2-x)^2\sqrt{\frac{x}{2-x}}}.
\end{align*}
\end{itemize}

Ainsi, $f'(x)$ est du même signe que $g(x)$, d'où le tableau suivant:
\[
\morestretch
\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
\tabulartitle
x & 0 &  & \alpha &  & 2\\
\hline
f'(x) &  & - & 0 & + & \dvline\\
\hline
f &  & \searrow &  & \nearrow & \dvline \\
\hline
\end{array}
\]

\item L'équation réduite de $(T)$ est:
\begin{align*}
y & = f'(1)(x-1)+f(1)\\
\iff y & = 1(x-1)+0\\
\iff y & = x-1.
\end{align*}

\item 
\begin{methode}
On peut aborder cette question de deux manières:
\begin{itemize}
\item Si on démontre que $f$ est concave sur $[0;2[$, alors cela signifie que toutes les tangentes à $\mathcal{C}$ sont au-dessus de $\mathcal{C}$ sur cet intervalle, y compris $(T)$.
\item Si on démontre que, sur $[0;1[\cup]1;2[$, $f(x)-(x-1) > 0$ alors cela signifie que $\mathcal{C}$ est au-dessus de $(T)$ sur cette union d'intervalles.
\end{itemize}
\end{methode}

Nous allons ici opter pour la seconde méthode car étudier la convexité de $f$ s'avère bien plus compliqué que d'étudier le signe de $f(x)-(x-1)$. 

En effet, pour tout réel $x\in]0;1[\cup]1;2[$,
\begin{align*}
f(x)-(x-1) & = (x-1)\sqrt{\dfrac{x}{2-x}} - (x-1)\\
& = (x-1)\left[ \sqrt{\dfrac{x}{2-x}} - 1 \right]\\
& = (x-1)\dfrac{ \left[ \sqrt{\frac{x}{2-x}} - 1 \right] \left[ \sqrt{\frac{x}{2-x}} + 1 \right]}{  \sqrt{\frac{x}{2-x}} + 1  }\\
& = (x-1)\dfrac{ \frac{x}{2-x} - 1 }{  \sqrt{\frac{x}{2-x}} + 1  }\\
& = \dfrac{ \frac{2(x-1)^2}{2-x} }{  \sqrt{\frac{x}{2-x}} + 1  }.
\end{align*}
Pour tout réel $x\in]0;1[\cup]1;2[$, $\dfrac{2(x-1)^2}{2-x}>0$ et le dénominateur de la fraction aussi; le quotient obtenu est alors bien strictement positif sur $]0;1[\cup]1;2[$. Donc sur cette union d'intervalles, $\mathcal{C}$ est au-dessus de $(T)$. 
\end{questions}
\end{corrige}

%

\begin{exo}{Fonction exponentielle}{Lycée Jean Renoir, Bondy}{2}{60}
\NathanLiveVideo[\PictoVideo\ Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo.]{dérivabilité et fonction exponentielle}{https://media.prepamath.fr/ILTMch03exo15}

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0.4){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/ILTM2026ch03FctExp}}}
\vspace*{-5mm}

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{\nep^x}{1+\nep^x}$.
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $-\infty$.
\item Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
\item En déduire les asymptotes de $\mathcal{C}$ (courbe représentative de $f$).
\end{questions}

\item Étudier les variations de $f$.
\item
\begin{questions}
\item Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point\linebreak K $\left(0~;\dfrac{1}{2}\right)$.
\item Justifier que, pour étudier la position de la tangente $\mathcal{T}$ par rapport à la courbe $\mathcal{C}$, il suffit d'étudier sur $\R$ le signe de $g(x)$ où\linebreak $g(x)=2\nep^x-x\nep^x-2-x$.
\item Calculer $g'(x)$ et $g''(x)$.
\item Déterminer, en les justifiant, les signes de $g''(x)$, $g'(x)$ et $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
\item En déduire la position de la tangente $\mathcal{T}$ par rapport à la courbe $\mathcal{C}$.
\end{questions}
\item Tracer $\mathcal{C}$ et $\mathcal{T}$ dans le repère $\left(O;\vec{\imath};\vec{\jmath}\right)$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/ILTM2026ch03FctExp}}}
\vspace*{-5mm}
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item D'après les limites du cours, on a $\lim\limits_{x\to -\infty}\nep^x =0$.
Il en résulte que :
\[ \lim_{x\to -\infty}f(x) =0. \]

\item On a :
\[
\lim_{x\to +\infty}f(x) =\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{\nep^{-x}+1} =1.
\]
\begin{methode}
Pour lever une indétermination du type \og infini sur infini \fg, on factorise le terme dominant au numérateur et au dénominateur puis on simplifie.\par
On a donc factorisé les deux termes du quotient par $\nep^x$ puis on a simplifié par $\nep^x$.
\end{methode}

\item Comme $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x) = 1$, on en déduit que la droite d'équation $y=1$ est asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$ au voisinage de $+\infty$.

De même, comme $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x) =0$, on en déduit que la droite d'équation $y=0$ est asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$ au voisinage de $-\infty$.
\end{questions}

\item
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ comme quotient de deux fonctions dérivables sur $\R$ dont le dénominateur ne s'annule pas sur $\R$.\\
Pour tout réel $x$,
\[
f'(x)=\dfrac{\nep^x\left(1+\nep^x\right)-\nep^x\left(\nep^x\right)}{\left(1+\nep^x\right)^2}
\]
soit, après avoir effectué les produits et simplifié,
\[
f'(x)=\dfrac{\nep^x}{\left(1+\nep^x\right)^2}.
\]
On en déduit que, pour tout réel $x$, $f'(x)>0$, et, par conséquent, la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$.

\item

\begin{questions}
\item La tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point K a pour équation :
\[y=f'(0)x+f(0)\;,\]
soit $y=\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}$.

\item La position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la tangente $\mathcal{T}$ est donnée par le signe de la différence $f(x)-\left(\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}\right)$ soit le signe de :

\[
f(x)-\left(\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\nep^x}{1+\nep^x}-\left(\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}\right).
\]

En réduisant au même dénominateur, on obtient :

\[
f(x)-\left(\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{2\nep^x-x-x\nep^x-2}{4\left(1+\nep^x\right)}.
\]

Le dénominateur de $f(x)-\left(\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}\right)$ étant strictement positif sur $\R$, $f(x)-\left(\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}\right)$ est du signe de son numérateur soit $g(x)$.

\item La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ d'après les opérations sur les fonctions dérivables et, pour tout réel $x$, on a :
\[
g'(x)=2\nep^x-\nep^x-x\nep^x-1=\nep^x - x\nep^x - 1.
\]
La fonction $g'$ est aussi dérivable sur $\R$ d'après les opérations sur les fonctions dérivables et, pour tout réel $x$, on a :
\[
g''(x)=-x\nep^x.
\]

\item
La quantité $g''(x)$ est du signe contraire de $x$ donc elle est positive sur $\left]-\infty~;0\right]$ et négative sur $\left[0~;+\infty\right[$\\
On en déduit que la fonction $g'$ est croissante sur $\left]-\infty~;0\right]$ et décroissante sur $\left[0~;+\infty\right[$\\
Or, $g'(0)=0$. Donc la fonction $g$ admet un maximum en 0 et ce maximum vaut 0. On peut donc en déduire que $g'$ est négative sur $\R$ et ne s'annule qu'en 0.\\
Il en résulte que la fonction $g$ est strictement décroissante sur $\R$. Or, $g(0)=0$. On peut donc en déduire que $g$ est positive sur $\left]-\infty~;0\right]$ et négative sur $\left[0~;+\infty\right[$.

\item
D'après les résultats des trois questions précédentes, on peut conclure :\\
La courbe $\mathcal{C}$ est au-dessus de sa tangente $\mathcal{T}$ sur $\left]-\infty~;0\right]$ et en dessous sur $\left[0~;+\infty\right[$.

\end{questions}

\item
La courbe $\mathcal{C}$ et la tangente $\mathcal{T}$ sont représentées sur le graphique ci-dessous.
\begin{center}
\includegraphics{102_continuite-fig15}
\end{center}
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 2026

\sectionnn{Objectif bac}

\begin{exo}{Concentration de médicament}{Extrait du baccalauréat Amérique du Sud, novembre 2025\newexo}{2}{60}



On se propose d'étudier la concentration dans le sang d'un médicament ingéré par une personne pour la première fois. Soit $t$ le temps (en heures) écoulé depuis l'ingestion de ce médicament. On admet que la concentration de ce médicament dans le sang, en gramme par litre de sang, est modélisée par une fonction $f$ de la variable $t$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.

\subsectionnn{Partie A: lectures graphiques}

\begin{center}
\includegraphics{000_convexite_courbeBAC}
\end{center}

On a représenté ci-dessus la courbe représentative de la fonction $f$. Avec la précision permise par le graphique, donner sans justification :

\begin{questions}
\item Le temps écoulé depuis l'instant de l'ingestion de ce médicament et l'instant où la concentration de médicament dans le sang est maximale selon ce modèle.
\item L'ensemble des solutions de l'inéquation $f(t) \geqslant 1$.
\item La convexité de la fonction $f$ sur l' intervalle [0~;~8].
\end{questions}

\subsectionnn{Partie B: étude de la fonction}

Dans cette partie, on admet que $f$ est définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $f(t) = 5t \nep^{-t}$.

\begin{questions}
\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Étudier les variations de $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ puis dresser son tableau de variation complet.

%\item Démontrer qu'il existe deux réels $t_1$ et $t_2$ tels que $f\left(t_1\right) = f\left(t_2\right) = 1$.
%
%On donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ des réels $t_1$ et $t_2$.
%
%\item Pour une concentration du médicament supérieure ou égale à 1 gramme par litre de sang, il y a un risque de somnolence.
%
%Quelle est la durée en heures et minutes du risque de somnolence lors de la prise de ce médicament ?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\subsectionnn{Partie A}

\begin{questions}
\item Il s'est passée une heure entre l'instant de l'ingestion du médicament et l'instant où la concentration de médicament dans le sang est maximale selon ce modèle. En effet, le maximum de la fonction est atteint pour $t=1$.

\item $f(t) \geqslant 1 \iff t \in [0,25 ; 2,5]$.

\item La convexité de la fonction $f$ sur l' intervalle [0~;~8]:
\begin{itemize}
\item $f$ semble \textit{concave} sur $[0;2]$;
\item $f$ semble \textit{convexe} sur $[2;8]$.
\end{itemize}
\end{questions}

\subsectionnn{Partie B}

\begin{questions}
\item On peut écrire $f(t)$ sous la forme: $f(t)=5 \times \dfrac{t}{\nep^t}$. Or, par croissance comparée, $\lim\limits_{t\to+\infty} \dfrac{t}{\nep^t}=0$. Par conséquent, $\lim\limits_{t\to+\infty} f(t)=0$.

Dans le contexte de l'exercice, cela signifie que la concentration de médicament dans le sang tend à disparaître au fil du temps.

\item Pour étudier les variations de $f$, nous pouvons déterminer le signe de sa dérivée. $f = u \times v$ avec:
\[
\begin{array}{lll}
u(t) = 5t & \qquad & u'(t)=5\\
v(t)=\nep^{-t} & \qquad & v'(t) = -\nep^{-t}
\end{array}
\]
D'où:
\begin{align*}
f'(t) & = (u'v + uv')(t)\\
      & = 5\nep^{-t} - 5t\nep^{-t}\\
      & = 5(1-t)\nep^{-t}.
\end{align*}
$f'(t)$ est du signe de $(1-t)$ car $5>0$ et $\nep^{-t}>0$.
\begin{align*}
f'(t) \geqslant 0 & \iff 1-t\geqslant0\\
& \iff t \leqslant 1.
\end{align*}
On en déduit le tableau suivant:
\[
\begin{array}{|C|lcccr|}
\hline\tabulartitle
t    & 0 &   & 1 &  &+\infty\\
\hline
f'(t)&   & + & 0 & - & \\
\hline
     &   &          & 5\nep^{-1\strut}  & & \\
f(t)    &   & \nearrow & & \searrow &  \\
     & 0 &          & &          & 0 \\
\hline
\end{array}
\quad
\begin{array}{l}
f(1) = 5 \times 1 \times \nep^{-1}
\end{array}
\]

%\item 
%\begin{itemize}
%\item Sur $[0;1]$, $f$ est continue et strictement croissante. De plus, $f(0)=0$ et $f(1)=5\nep^{-1}\approx1,8$ donc  $1 \in ] f(0); f(1) [$.
%
%Ainsi, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique valeur $t_1\in]0;1[$ pour laquelle $f(t_1)=1$.
%
%\item Par un raisonnement analogue sur $[1;+\infty[$, $1\in\big]0;5\nep^{-1}\big[=f\big( ]1;+\infty[ \big)$ donc il existe une unique valeur $t_2\in]1;+\infty[$ telle que $f(t_2)=1$.
%\end{itemize}
%À la calculatrice, on trouve: $t_1\approx0,25$ et $t_2\approx2,54$.

%\item D'après les variations de $f$, $f(t) \geqslant 1$ lorsque $0,25 \leqslant t \leqslant 2,54$.
%\[
%2,54-0,25=2,29.
%\]
%La durée de risque de somnolence est donc égale à 2,23 heures, soit:
%\[
%2\text{ h }+0,29\times60\text{ min} = 2\text{ h }17\text{ min}.
%\]

\end{questions}
\end{corrige}
%
\thumb
\AfficheCorrige
