\chapter{Continuité}

\section{Notion de continuité}

\begin{exointro}{Lycée de l'Emperi, Salon-de-Provence}
La fonction $f$ est définie par :
\[
f(x)=
\begin{cases}
\dfrac{\sqrt{x^2+x+2}-2}{x-1} &\text{si $x\neq1$}\\  
\dfrac{3}{4} & \text{pour $x=1$}
\end{cases}
\]
$f$ est-elle continue en 1 ? 
\end{exointro}

\subsection{Continuité en un point a}

\begin{defins}
Soit une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ et $a\in I$. 

On dit que $f$ est \emph{continue} en $a$ si :
\[
\lim_{\substack{x\to a\\x<a}} f(x) = \lim_{\substack{x\to a\\x>a}} f(x).\]
On dit que  $f$ est \emph{continue} sur $I$ si $f$ est continue en tout point de $I$.
\end{defins}

Cela se traduit graphiquement par le fait que la courbe représentative d'une\linebreak fonction continue sur $I$ peut se tracer sans lever le crayon sur cet intervalle.

\Par

\textit{Exemple et contre-exemple :} la courbe représentative de la fonction $f$ définie par :
\[
f(x)=\begin{cases}-1 & \text{si } x<0\\
1 & \text{si } x>0
\end{cases}
\]
n'est pas continue sur $\R$, mais elle l'est sur les intervalles $]-\infty;0[$ et $]0;+\infty[$.

\vspace*{3em}
\begin{center}
\textit{Voir illustrations page suivante.}
\end{center}

\newpage

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics{104_continuite-fig2a}

Il y a un \og trou \fg{} au niveau de $x=0$ donc la fonction n'est pas continue en 0, donc pas continue sur $\R$.
\end{center}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics{104_continuite-fig2b}

Il n'y a pas de trou sur chaque intervalle $I_1$ et $I_2$ donc la fonction est continue sur $I_1$ et sur $I_2$.
\end{center}
\end{minipage}

\begin{defin}
On appelle \textit{point de discontinuité} tout point en lequel une fonction n'est pas continue.
\end{defin}

\begin{Exemple}
le point d'abscisse $x=0$ est un point de discontinuité de la fonction définie par:
\[
f(x)=\begin{cases}-1 & \text{si } x<0\\
1 & \text{si } x>0
\end{cases}.
\]
\end{Exemple}

\subsection{Fonctions continues de référence}
%
\begin{props}
\begin{itemize}
\item Les fonctions \emph{polynômes} ainsi que les fonctions \emph{sinus} et \emph{cosinus} sont continues sur $\R$.

\item Les fonctions \emph{rationnelles} sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition.

\item La fonction \emph{racine carrée} est continue sur $\left[0~;+\infty\right[$.

\item Les fonctions $x\mapsto\cos x$ et $x\mapsto\sin x$ sont continues sur $\R$.

\item Les fonctions obtenues par somme, produit ou quotient de fonctions continues sont continues sur chacun des intervalles où elles sont définies.
\end{itemize}
\end{props}


\begin{Exemples}
\begin{itemize}
%\item La fonction $x\mapsto x^3+2x-5$ est continue sur $\R$ comme fonction polynôme.
%\item La fonction $x\mapsto\sin(x)+\cos(x)$ est continue sur $\R$ comme somme de deux fonctions continues sur $\R$.
\item La fonction $x\mapsto(x^2+1)\cos(x)$ est continue sur $\R$ comme produit de deux fonctions continues sur $\R$.
\item La fonction $x\mapsto\dfrac{x^2+1}{x-1}$ est continue sur $]-\infty~;~1[$ et sur $]1~;~+\infty[$ comme fonction rationnelle définie sur ces deux intervalles.
\end{itemize}
\end{Exemples}

\subsection{Continuité d'une fonction composée}

\begin{prop}
Soit $f = v \circ u$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$.

Si $u$ est continue sur $I$ et si $v$ est continue sur $u(I)$ alors $f$ est continue sur $I$.
\end{prop}

\begin{Exemple}
soient $u\;:\;x\mapsto x-1$ et $v\;:\;x\mapsto\sqrt{x}$.\\
Notons $f(x) = (v\circ u)(x)=\sqrt{x-1}$. 

$u$ est continue sur $\R$ mais $f$ n'est pas définie sur $\R$ car $x-1<0$ pour $x<1$. Ainsi, $f$ est définie sur $I=[1~;~+\infty[$, et elle est continue sur $I$ car $u$ est continue sur $I$ et $v$ est continue sur $u(I) = [0~;~+\infty[$.
\end{Exemple}

\subsection{Fonction définie et fonction continue}

Une fonction peut être définie sur un intervalle $I$ sans nécessairement être continue sur $I$.
\enlargethispage*{4em}
\begin{Exemple}
on considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
\[
f(x)=E(x)=\lfloor x \rfloor.
\]
\begin{center}
\includegraphics{105_continuite-fig4}
\end{center}
\end{Exemple}
Cette fonction est appelée \textit{fonction partie entière} : pour tout entier relatif $n$, 
\[
\forall\, x \in [n~;~n+1[,\quad f(x)=n.
\]


\Par

Cette fonction est définie en tout point de $\R$, mais elle n'est pas continue sur $\R$.





\subsection{Dérivabilité et continuité}

\begin{thm}
Si $f$ est une fonction définie et dérivable en $a$ alors elle est continue en $a$.
\end{thm}

\begin{attention}
La réciproque de ce théorème est fausse : une fonction  peut être continue sans être dérivable. Par exemple, la fonction $f\;:\;x\mapsto |x|$ est continue en $0$, mais pas dérivable en $0$  car :
\[
\lim\limits_{h\to0^-}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=-1\quad\text{et}\quad\lim\limits_{h\to0^+}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=+1.
\]
\end{attention}

\begin{solintro}
Pour savoir si la fonction $f$ est continue en 1, on détermine sa limite quand $x$ tend vers 1 et on compare le résultat à $f(1)$. 

Avec l'expression donnée initialement, le calcul de la limite mène à une indétermination du type \og $\dfrac{0}{0}$ \fg.

\begin{methode}
Pour un réel $a$ fini, quand on calcule $\lim\limits_{x\to a} f(x)$,  où il y a une racine carrée dans $f(x)$, et que cela donne une forme indéterminée du type \og $\dfrac{0}{0}$ \fg, une méthode consiste à multiplier et diviser par une \textit{expression conjuguée}.
\end{methode}

Il y a une racine carrée au numérateur, donc on va multiplier et diviser par l'expression conjuguée de ce dernier (expression identique sauf que l'on change de signe au milieu).

\begin{align*}
\forall x \neq 1,\ f(x) & = \dfrac{\sqrt{x^2+x+2}-2}{x-1}
\textcolor{DR}{
\times
\dfrac{ \sqrt{x^2+x+2} + 2} { \sqrt{x^2+x+2}+2}
}\\
& = \dfrac{x^2+x-2}{(x-1)\big(\sqrt{x^2+x+2}+2\big)}.
\end{align*}

En factorisant $x^2+x-2$ en $(x-1)(x+2)$ puis en simplifiant par $x-1$, on obtient finalement:
\[
\forall x \neq 1,\ f(x)=\dfrac{x+2}{\sqrt{x^2+x+2}+2}.
\]
Donc,
\[
\lim\limits_{x\rightarrow1}f(x)=\dfrac{1+2}{\sqrt{1^2+1+2}+2}=\dfrac{3}{4}.
\]

\Par

Comme $\lim\limits_{x\rightarrow1}f(x)=f(1)$, il en résulte que la fonction $f$ est continue en 1.
\end{solintro}


\newpage

\section{Théorème des valeurs intermédiaires}

\begin{exointro}{Lycée François Mauriac, Bordeaux}
Montrer que l'équation:
\[
2x^3-x^2+x+3=0
\]
admet une unique solution sur $\R$, dont on donnera une valeur approchée au dixième.
\end{exointro}

\begin{thm}[théorème des valeurs intermédiaires]
Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$, et soient $a$ et $b$ deux réels de $I$. 
Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x)=k$ admet au moins une solution comprise entre $a$ et $b$.
\end{thm}
%
\begin{aretenir}
Ce théorème assure, sous certaines hypothèses, l'existence d'\textit{au moins un}\linebreak antécédent à $k$, mais il n'assure pas son unicité et ne permet pas de le calculer.
\end{aretenir}


\begin{thm}[théorème de la bijection (corollaire du théorème des valeurs intermédiaire)]
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, et soient $a$ et $b$ deux réels de $I$ tels que $a<b$. 

Si $f$ est continue et  strictement monotone sur $[a~;b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x)=k$ admet une solution unique dans l'intervalle $[a~;b]$.
\end{thm}

\begin{Remarque}
cette propriété peut aussi s'appliquer lorsque $a$ ou $b$ sont infinis à condition que $k$ ne prenne pas la valeur d'une limite.
\end{Remarque}

\begin{Exemple}
soit $f(x)=\cos x-x$. Alors, $f'(x)=-\sin x-1<0$ sur $\R$ donc $f$ est strictement décroissante sur $\R$. $f$ est aussi continue sur $\R$ comme la somme de deux fonctions continues sur $\R$.

De plus, 
\begin{itemize}
\item $f(0)=\cos0-0=1>0$
\item $f(\pi)=\cos\pi-\pi=-1-\pi<0$
\end{itemize}
donc $0\in]f(\pi)~;~f(0)[$. 
\Par
Ainsi, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $[0~;~\pi]$.
\end{Exemple}


\begin{solintro}
Posons $f(x)=2x^3-x^2+x+3$. 

\Par

On a alors :

\[
f'(x)=6x^2-2x+1.
\] 

Le discriminant de $f'(x)$ est:

\[
\Delta = (-2)^2 - 4\times6\times1 = -20 < 0
\]

donc $f'(x)$ n'admet aucune racine et $f'(x)>0$ sur $\R$.

Par conséquent, $f$ est strictement croissante sur $\R$.

\Par

Ainsi,
\begin{itemize}
\item $f$ est continue et strictement croissante sur $\R$;
\item  $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$, et 0 est une valeur intermédiaire entre $-\infty$ et $+\infty$.
\end{itemize}

\Par

D'après le théorème de la bijection (corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), il existe une unique valeur réelle $\alpha$ telle que $f(\alpha)=0$.

\Par

L'équation $f(x)=0$ admet donc une unique solution $\alpha$ sur $\R$.

\Par

À l'aide du tableur de la calculatrice, par exemple, on trouve:
\[
f(-0,9) = -0,168\qquad \text{et} \qquad f(-0,8) = 0,536.
\]
Par conséquent,
\[
-0,9 < \alpha < -0,8.
\]

\end{solintro}

