\chapter{Fonctions sinus\\et cosinus}

\section{\'Equations et inéquations trigonométriques}

%%% NEW 2026

\begin{exointro}{Lycée Jules Ferry, Paris}
Résoudre les équations et inéquations suivantes sur $]-\pi;\pi]$:
\begin{questions}
\item $\cos\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}$

\Par

\item $\sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right) > -\dfrac{1}{2}$
\end{questions}
\end{exointro}

%\subsection{Valeurs remarquables (rappels)}
%
%\Par
%
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|C|*6{Zc|}}
%\hline\tabulartitle
%$\alpha$ en rad & 0 & $\dfrac{\pi}{6}$ & $\dfrac{\pi}{4}$ &
%$\dfrac{\pi}{3}$ & $\dfrac{\pi}{2}$ & $\pi$ \\
%\hline
%$\cos \alpha$ & 1 & $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ & $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ &
%$\dfrac{1}{2}$ & 0 & $-1$ \\
%\hline
%$\sin \alpha$ & 0 & $\dfrac{1}{2}$ & $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ &
%$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ & 1 & 0 \\
%\hline
%\end{tabular}
%\end{center}
%
%\newpage

\subsection{\'Equations}

\begin{props}
Soit $a\in[-1;1]$ un réel.

\Par

\begin{minipage}{0.63\linewidth}
\begin{questions}
\item Sur $]-\pi;\pi]$, l'équation $\cos(x)=a$ admet:
\begin{itemize}
\item deux solutions si $a\in]-1;1[$;
\item une solution si $a=-1$: $S=\{\pi\}$;
\item une solution si $a=1$: $S=\{0\}$.

\end{itemize}

\item Sur $]-\pi;\pi]$, l'équation $\sin(x)=a$ admet:
\begin{itemize}
\item deux solutions si $a\in]-1;1[$;
\item une solution si $a=-1$: $S=\left\{-\frac{\pi}{2}\right\}$);
\item une solution si $a=1$: $S=\left\{\frac{\pi}{2}\right\}$).
\end{itemize}
\end{questions}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.36\linewidth}
\includegraphics{179_trigo-equations}
\end{minipage}
\end{props}

\begin{Exemples}
\begin{itemize}
\item Sur $]-\pi;\pi]$, l'équation $\cos(x)=\dfrac{\sqrt3}{2}$ admet pour ensemble des solutions:
\[
S = \left\{ -\dfrac{\pi}{3}~;~\dfrac{\pi}{3} \right\}.
\]

\item Sur $]-\pi;\pi]$, l'équation $\sin(x) = \dfrac{\sqrt2}{2}$ admet pour ensemble des solutions:
\[
S = \left\{ \dfrac{\pi}{4}~;~\dfrac{3\pi}{4} \right\}
\]
\end{itemize}
\end{Exemples}

\subsection{Inéquations}

\begin{prop}[cosinus]
Soit $a\in[-1;1]$ un réel. Sur $]-\pi;\pi]$, 
\begin{itemize}
\item L'inéquation $\cos(x) \leqslant a$ admet pour ensemble des solutions: 
\[
S=]-\pi;-\theta] \cup [\theta;\pi].
\]

\item L'inéquation $\cos(x) \geqslant a$ admet pour ensemble des solutions: 
\[
S=[-\theta;\theta].
\]
\end{itemize}
\begin{center}
\includegraphics{179_trigo-ineqCos1} \qquad \qquad \includegraphics{179_trigo-ineqCos2}
\end{center}
\end{prop}

\begin{Exemples}
\begin{itemize}
\item Sur $]-\pi;\pi]$, l'inéquation $\cos(x) \leqslant \dfrac{\sqrt3}{2}$ admet pour ensemble des solutions:
\[
S = \left]-\pi;-\frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{\pi}{3};\pi\right].
\]
\item \item Sur $]-\pi;\pi]$, l'inéquation $\cos(x) \geqslant \dfrac{\sqrt3}{2}$ admet pour ensemble des solutions:
\[
S = \left[-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{3}\right].
\]
\end{itemize}
\end{Exemples}

\newpage

\begin{prop}[sinus]
Soit $a\in[-1;1]$ un réel. Sur $]-\pi;\pi]$, 
\begin{itemize}
\item L'inéquation $\sin(x) \leqslant a$ admet pour ensemble des solutions: 
\[
S=]-\pi;\theta] \cup [\pi-\theta;\pi].
\]

\item L'inéquation $\sin(x) \geqslant a$ admet pour ensemble des solutions: 
\[
S=[\theta;\pi-\theta].
\]
\end{itemize}
\begin{center}
\includegraphics{179_trigo-ineqSin1} \qquad\qquad \includegraphics{179_trigo-ineqSin2}
\end{center}
\end{prop}

\begin{Exemples}
\begin{itemize}
\item Sur $]-\pi;\pi]$, l'inéquation $\sin(x) \leqslant \dfrac{\sqrt2}{2}$ admet pour ensemble des solutions:
\[
S = \left]-\pi;\dfrac{\pi}{4}\right] \cup \left[\dfrac{3\pi}{4};\pi\right].
\]

\item Sur $]-\pi;\pi]$, l'inéquation $\sin(x) \geqslant \dfrac{\sqrt2}{2}$ admet pour ensemble des solutions:
\[
S = \left[\dfrac{\pi}{4};\dfrac{3\pi}{4}\right].
\]
\end{itemize}
\end{Exemples}

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item Résolvons l'équation $\cos\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}$.

Dans un premier temps, on écrit: $-\dfrac{1}{2}=\cos\left( \dfrac{2\pi}{3}  \right)$.

Ainsi, l'équation est équivalente à: $\cos\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right) = \cos\left( \dfrac{2\pi}{3}  \right).$

On en déduit alors:
\[
\left(
\begin{array}{l}
x-\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{2\pi}{3}\\
\text{ou}\\
x-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}
\end{array}
\right.
\quad\text{soit}\quad
\left(
\begin{array}{l}
x=-\dfrac{2\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{\pi}{3}\\
\text{ou}\\
x=\dfrac{2\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}=\pi
\end{array}
\right.
\]
%Ainsi, l'ensemble des solutions à l'équation est:
%\[
%S = \left\{-\dfrac{\pi}{3}~;~\pi \right\}
%\]

\Break

\item Résolvons sur $]-\pi;\pi]$ l'inéquation $\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right) > -\dfrac{1}{2}$.
\Par
Cette inéquation est équivalente à: $\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right) > \sin\left( -\dfrac{\pi}{6}\right)$.

Ainsi,
\[
\left(
\begin{array}{l}
-\pi < x+\dfrac{\pi}{6} < -\dfrac{5\pi}{6}\\
\text{ou}\\
-\dfrac{\pi}{6} < x+\dfrac{\pi}{6} < \pi
\end{array}
\right.
\quad\text{soit}\quad
\left(
\begin{array}{l}
-\pi-\dfrac{\pi}{6} < x < -\dfrac{5\pi}{6}-\dfrac{\pi}{6}\\
\text{ou}\\
-\dfrac{\pi}{6} -\dfrac{\pi}{6} < x < \pi-\dfrac{\pi}{6} 
\end{array}
\right.
\]
\Par
D'où:
\[
-\dfrac{7\pi}{6} < x < -\pi \qquad\text{ou}\qquad -\dfrac{\pi}{3} < x < \dfrac{5\pi}{6}.
\]
Mais attention, on souhaite résoudre l'inéquation sur $]-\pi;\pi]$ donc il est nécessaire de \og transformer \fg{} la solution \og $-\dfrac{7\pi}{6} < x < -\pi$ \fg{} en \og $-\dfrac{7\pi}{6}+2\pi < x < -\pi+2\pi$ \fg, soit $\dfrac{5\pi}{6} < x < \pi$.

Finalement, l'ensemble des solutions est:
\[
S = \left]-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{5\pi}{6}\right[ \cup \left]\dfrac{5\pi}{6};\pi\right].
\]
\end{questions}
\end{solintro}


\section{La fonction sinus}

\begin{exointro}{Lycée Camille Jullian, Bordeaux}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par:
\[
f(x)=2\sin(x)\cos(x).
\]
\begin{questions}
\item Étudier la parité et la périodicité de $f$.
\item Justifier alors que $f$ peut être étudiée sur $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$.
\item Montrer que $f'(x)=2\big[ 2\cos^2(x) - 1 \big]$.
\item Sur $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$, étudier le signe de $f'(x)$ puis en déduire les variations de $f$ sur $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$.
\item En déduire les variations sur $[-\pi;\pi]$.
\end{questions}
\end{exointro}

\subsection{Dérivée}

\begin{prop}
La fonction sinus est dérivable sur $\R$ et pour tout nombre réel $x$, $\sin' x = \cos x$.
\end{prop}


\subsection{\'Etude sur $I = [0~;\pi]$ }

On a $\sin 'x = \cos x$. 

\Par

Or, sur $I$, $\cos x > 0$ si $x < \dfrac{\pi}{2}$, $\cos x = 0$ si $x=\dfrac{\pi}{2}$ et $\cos x < 0$ si $x > \dfrac{\pi}{2}$.

\Par

D'où le tableau de variation sur $[0~;\pi]$ :  

\[ 
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{array}{|C|lcccr|}
\hline\tabulartitle
x& 0 & &\frac{\pi}{2} & & \pi \\\hline
\sin' & &+&0&-& \\\hline
&&& 1 &&\\
\sin &&\nearrow&&\searrow&\\
& 0 &&&&0\\\hline
\end{array}
\]
\renewcommand{\arraystretch}{1}

Sa courbe représentative sur $[0~;\pi]$, avec sa tangente à l'origine, est représentée ci-dessous.

\begin{center}
\includegraphics{176_trigo-01}
\end{center}

\newpage

\subsection{Parité et périodicité}

\subsubsection{Parité}

Pour tout nombre réel $x$, 
\[
\sin (-x) = -\sin x,
\]
donc la fonction $x\mapsto\sin x$ est \textit{impaire}, d'où la propriété suivante:

\begin{prop}
La représentation graphique de la fonction sinus est symétrique par rapport à l'origine du repère.
\end{prop}

\subsubsection{Périodicité}

Pour tout nombre réel, 
\[
\sin (x+2\pi) = \sin (x),
\] 
donc la fonction $x\mapsto\sin x$ est \textit{périodique} de période de $2\pi$, d'où la propriété suivante:

\begin{prop}
La représentation graphique de la fonction sinus dans un repère $(O; \vec{\imath}, \vec{\jmath})$ est invariante par toute translation de vecteur $k2\pi \vec{\imath}$, $k$ appartenant à $\Z$.
\end{prop}


\begin{center}
\includegraphics{177_trigo-02}
\end{center}


\section{La fonction cosinus}

\subsection{Dérivée}

\begin{prop}
La fonction cosinus est dérivable sur $\R$ et pour tout nombre réel $x$,
\[
\cos 'x = -\sin x.
\]
\end{prop}

\subsection{\'Etude sur l'intervalle $[0~;\pi]$}

Pour tout nombre réel $x$, $\cos 'x = -\sin x$. Or, $\sin x \ge 0$ sur $[0~; \pi]$, donc la fonction cosinus est décroissante sur $[0~; \pi]$.


\begin{minipage}{3.5cm}
\[ 
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{array}{|C|lcr|}
\hline\tabulartitle
x& 0 & & \pi \\\hline
\cos' & 0&-&0 \\\hline
& 1 &&\\
\cos & &\searrow&\\
& && -1\\\hline
\end{array}
\]
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-3.5cm}
\includegraphics{177_trigo-03}
\end{minipage}

\subsection{Parité et périodicité}

\subsubsection{Parité}

Pour tout réel $x$, 
\[
\cos (-x) = \cos x,
\]
donc la fonction $x\mapsto\cos x$ est \textit{paire}, d'où la propriété suivante:

\begin{prop}
La courbe représentative de la fonction $\cos$ est alors symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
\end{prop}

\begin{center}
\includegraphics{178_trigo-04}
\end{center}

\newpage

\subsubsection{Périodicité}

Pour tout nombre réel $x$, 
\[
\cos (x+2\pi) = \cos x,
\]
donc la fonction $x\mapsto\cos x$ est \textit{périodique} de période $2\pi$, d'où la propriété suivante:

\begin{prop}
La représentation graphique de la fonction cosinus dans un repère $(O;\vec{\imath},\vec{\jmath})$ est invariante par toute translation de vecteur $k2\pi \vec{\imath}$, $k$ appartenant à $\Z$.
\end{prop}

On a représenté ci-dessous les fonctions sinus (en pointillés) et cosinus. Elles se déduisent l'une de l'autre par une translation de vecteur $\dfrac{\pi}{2}\vec{\imath}$.


\begin{center}
\includegraphics{178_trigo-05}
\end{center}

\section{Limites}

\begin{prop}
\begin{itemize}
\begin{multicols}{2}
\item $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin(x)}{x} = 1$

\item $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\cos(x)-1}{x} = 0$
\end{multicols}
\end{itemize}
\end{prop}


%%% NEW 2023 - Transféré en exos type en 2026

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item $f(x)=2\sin(x)\cos(x)$.
\begin{itemize}
\item Étudions la parité de la fonction $f$:
\[
f(-x)=2\sin(-x)\cos(-x)=2 \times[-\sin(x)] \times \cos(x) = -f(x).
\]
De plus, $f$ est définie sur $\R$, centré en 0.

\Par

Ainsi, $f$ est impaire.

\Par

\item Étudions la périodicité de $f$.

$f$ est le produit d'une constante et de deux fonctions $2\pi$-périodiques. Par conséquent, elle est au minimum $2\pi$-périodique:
\[
f(x+2\pi) = 2\sin(x+2\pi)\cos(x+2\pi) = 2\sin(x)\cos(x) = f(x).
\]
\BreakWithoutItem
On peut maintenant se demander si l'on ne pourrait pas réduire la période de moitié: la fonction $f$ est-elle $\pi$-périodique ? Pour le savoir, calculons:
$\begin{aligned}[t]
f(x+\pi) & = 2\sin(x+\pi)\cos(x+\pi)\\
         & = 2 \big(-\sin(x)\big) \big(-\cos(x)\big)\\
         & = 2\sin(x)\cos(x)\\
         & = f(x).
\end{aligned}$

$f$ est donc bien $\pi$-périodique. Peut-on encore diviser la période par 2 ? Calculons: $\begin{aligned}[t]
f\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right) & = 2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\\
& = 2\big(\cos(x)\big)\big(-\sin(x)\big)\\
& = -2\sin(x)\cos(x)\\
& \neq f(x).
\end{aligned}$

On ne peut donc pas réduire la période à $\dfrac{\pi}{2}$.

\Par

Par conséquent, $f$ est périodique de période $\pi$.
\end{itemize}

\item $f$ étant $\pi$-périodique, on peut l'étudier sur un intervalle quelconque d'amplitude $\pi$.

De plus, $f$ étant impaire, on peut prendre cet intervalle centré en 0, par exemple $\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$, et ne prendre qu'une moitié.

\Par

On peut ainsi étudier $f$ sur $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$.

\item $f$ est de la forme $2uv$, avec $u(x) = \sin(x)$ et $v(x)=\cos(x)$. Donc:
\begin{align*}
f'(x) & = 2 \big[ u'(x)v(x) + v'(x)u(x) \big]\\
      & = 2\big[ \cos(x)\cos(x) - \sin(x)\sin(x) \big]\\
      & = 2\big[ \cos^2(x) - \sin^2(x) \big]
\intertext{Or, $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$ donc $\sin^2(x)=1-\cos^2(x)$, d'où:}
f'(x) & = 2\big[ \cos^2(x) - 1+\cos^2(x) \big]\\
      & = 2\big[ 2\cos^2(x) - 1 \big].
\end{align*}

\item Sur $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$, $\begin{aligned}[t]
f'(x) \geqslant 0 & \iff  2\cos^2(x) - 1 \geqslant 0\\
                  & \iff \cos^2(x) \geqslant \dfrac{1}{2}\\[8pt]
                  & \iff \cos(x) \geqslant \dfrac{\sqrt2}{2}\\[8pt]
                  & \iff 0 \leqslant x \leqslant \dfrac{\pi}{4}.
\end{aligned}$

\BreakWithoutItem

On a alors le tableau suivant:
\[
\begin{array}{|C|*5{c}|}
\hline
\tabulartitle
x     & 0 &  & \dfrac{\pi\strut}{4\strut} & & \dfrac{\pi}{2}\\
\hline
f'(x) &   & + & 0 & - & \\
\hline
      &   &          & 1 &          &  \\
 f(x) &   & \nearrow &             & \searrow & \\
      & 0 &          &             &          & 0\\
\hline
\end{array}
\]

\item Par symétrie centrale par rapport à l'origine du repère, on déduit les variations de $f$ sur $\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$ suivantes:
\[
\begin{array}{|C|*9{c}|}
\hline
\tabulartitle
x     &-\dfrac{\pi}{2} &  & -\dfrac{\pi}{4}& & 0 &  & \dfrac{\pi\strut}{4\strut} & & \dfrac{\pi}{2}\\
\hline
f'(x) & & - & 0 & + & 2 & + & 0 & - & \\
\hline
      &  & & & &  &          & 1 &          &  \\
 &   &  &  &  &   & \nearrow &             & \searrow & \\
f(x) & 0 &  &  &  & 0 &          &             &          & 0\\
 &   & \searrow &  & \nearrow &   &  &             &  & \\
  &   &  & -1 &  &   &  &             &  & \\
\hline
\end{array}
\]
\end{questions}
\end{solintro}