\thumb

% 

\begin{vf}{Loi binomiale ?}{10}
Dire, dans chaque situation, s'il est vrai que la variable aléatoire $X$ suit une loi
binomiale.
Donner le cas échéant les valeurs des paramètres de la loi
binomiale associée.
\begin{questions}
  \item On lance 5 fois successivement un dé à jouer non truqué, et on
  note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de 2 obtenus parmi
  ces lancers. 

  \item On lance 5 fois successivement un dé à jouer non truqué, et on
  note $X$ la variable aléatoire égale au numéro du premier lancer pour
  lequel on obtient le chiffre 6, en convenant que $X=0$ si le chiffre
  6 n'est jamais obtenu. 

  \item On lance 10 fois successivement 2 dés à jouer non pipés, et on
  note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de fois où une somme
  de 10 est obtenue en ajoutant les chiffres des 2 dés. 

  \item Une branche présente 10 fleurs blanches ou roses réparties au
  hasard. 
  On compte au total 2 fleurs blanches et 8 fleurs roses. 

  On cueille successivement et au hasard 3 fleurs, et on note $X$ la
  variable aléatoire égale au nombre de fleurs blanches cueillies. 
\end{questions}  
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
  \item \emph{Vrai}. Il s'agit de la répétition d'épreuves de Bernoulli
  identiques et indépendantes entre elles. 

  La variable aléatoire $X$, qui aux 5 résultats obtenus associe le
  nombre de 2 obtenus, suit une loi de binomiale de paramètres
  $n=5$ et $p=\frac{1}{6}$.

  \item \emph{Faux}. La loi binomiale s'intéresse au nombre
  d'occurrences du même événement lors de la répétition d'expériences
  identiques et indépendantes (il s'agit ici d'une loi géométrique \textit{tronquée}). 

  \item \emph{Vrai}. Les épreuves répétées successivement sont les lancers
  de 2 dés. Elles sont identiques et indépendantes. 

  Il y a trois façons d'obtenir 10 avec la somme des chiffres de 2
  dés: $(4 ; 6)$, $(5 ; 5)$ et $(6 ; 4)$. 
  Il y a au total $6^2=36$ lancers possibles de 2 dés. 
  La probabilité d'obtenir la somme 10 avec 2 dés est donc de 
  \mbox{$p=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$.}

  La variable aléatoire qui associe aux 10 lancers le nombre de fois
  que la somme 10 est obtenue suit donc une loi binomiale de
  paramètres $n=10$ et $p=\frac{1}{12}$.  

  \item \emph{Faux}. Une fois une fleur cueillie, blanche ou rose, le nombre
  total de fleurs change pour la cueillette suivante, et les
  probabilités de cueillir une fleur blanche ou rose aussi. 

  Les expériences successives ne sont pas indépendantes les unes des autres, et on
  ne peut donc pas utiliser la loi binomiale.
\end{questions}
\end{corrige}

% 

\begin{qcm}{Loi binomiale}{15}
Pour chaque question, choisir la bonne réponse.
\begin{questions}
\item Une variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de
      paramètres 5 et 0,1. 
      La probabilité $P(X\leqslant2)$ est alors (arrondie au
      centième): 
      \par\resetchoix\hskip-0.6em
      \begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}
        \choix{} $0,99$ & \choix{} $0,01$ & 
        \choix{} $0,5$ & \choix{} $0,617$
      \end{tabularx}
      
\item Le nombre d'issues d'une répétition de $n$ épreuves de Bernoulli est égal à :\resetchoix\par \hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}
        \choix{} $2$ & \choix{} $n$ & 
        \choix{} $2n$ & \choix{} $2^n$
\end{tabularx}
      
\item $X$ est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$. Le nombre de valeurs prises par $X$ est :\resetchoix\par \hskip-0.6em
      \begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}
        \choix{} $n$ & \choix{} $2^n$ & 
        \choix{} $n+1$ & \choix{} $p^2$
      \end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[a]. La probabilité est donnée par 
      \[\begin{array}{ll}
      P(X\leqslant2)
      &=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\\[3mm]
      &=\dbinom{5}{0}0,1^0\times 0,9^5+\dbinom{5}{1}0,1^1\times 0,9^4+\dbinom{5}{2}0,1^2\times 0,9^3\\[4mm]
      &=0,9^5+5\times0,1\times0,9^4+10\times0,1^2\times0,9^3\\[3mm]
      &\approx 0,99.
      \end{array}\]

      \item Réponse \choix[d]. À chaque répétition, il y a deux fois plus de branches à l'arbre. Donc pour $n$ répétions, il y a $2^n$ chemins, donc $2^n$ issues.
      \item Réponse \choix[c]. Les valeurs prises par $X$ sont les nombres de succès lors d'une répétition de $n$ expériences. $X$ prend donc les valeurs entières de 0 à $n$, c'est-à-dire $n+1$ valeurs.
\end{questions}
\end{corrige}

% 

\begin{qcm}{Logique et répétition d'expériences}{15}
Dans la maison des associations de la commune, il y a deux salles de réunion, A et B. Les deux salles ont la même probabilité d'être occupées, sans préférence pour l'une ou l'autre. La probabilité que l'une au moins des salles soit occupée est 0,91.
Pour chaque question, déterminer la bonne réponse.
\begin{questions}
\item La probabilité que les deux salles soient libres est \par\hskip-0.6em
 \begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}
        \choix{} $0,455$ & \choix{} $0,8281$ & 
        \choix{} $0,09$& \choix{} $1-\sqrt{0,91}$
      \end{tabularx}  

\item 
La probabilité que la salle A soit occupée est :\resetchoix\par\hskip-0.6em
 \begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}
        \choix{} $\sqrt{0,91}$ & \choix{} $0,03$ & 
        \choix{} $0,3$& \choix{} $0,7$
      \end{tabularx}
  \item 
La probabilité qu'exactement une salle soit occupée est :\resetchoix\par\hskip-0.6em
 \begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}
        \choix{} $0,49$ & \choix{} $0,42$ & 
        \choix{} $0,5$& \choix{} $0,7$
      \end{tabularx}    
      \item 
La probabilité qu'au moins une salle soit libre est :\resetchoix\par\hskip-0.6em
 \begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}
        \choix{} $0,09$ & \choix{} $0,51$ & 
        \choix{} $0,49$& \choix{} $0,7$
      \end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
La désignation des salles occupées est assimilée à une répétition de deux expériences identiques et indépendantes. On peut alors utiliser l'arbre représentant cette expérience. On note $p$ la probabilité que la salle A (ou la salle~B) soit occupée. On note A (respectivement B) l'événement : \og La salle A (respectivement B) est occupée \fg. La probabilité de l'issue correspondant à un chemin est le produit des probabilités figurant sur ce chemin.
\begin{center}
\includegraphics{333_binom-04}
\end{center}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[c]. L'événement \og les deux salles sont libres \fg{} est l'événement contraire de \og au moins une salle est occupée\fg. Donc la probabilité de cet événement est $1-0,91=0,09$.

\item Réponse \choix[d]. D'après la question 1, la probabilité qu'aucune salle ne soit occupée est $(1-p)^2=0,09$. Par conséquent $1-p=0,3$ et alors $p=0,7$.

\item Réponse \choix[b]. \og Une seule salle est occupée \fg{} correspond aux deux issues $(A,\overline{B})$ et $(B,\overline{A})$, et a pour probabilité : \[2\times p\times (1-p)=2\times 0,7\times 0,3=0,42\]
\item Réponse \choix[b]. \og Au moins une salle est libre \fg{} est l'événement contraire de \og Les deux salles sont occupées \fg. Donc la probabilité de cet événement est $1-p^2=1-0,7^2=1-0,49=0,51$.
\end{questions}
\end{corrige}
		
%

\begin{qcm}{Logique}{15}
Pour chaque question, choisir la ou les bonnes réponses.
\begin{questions}
\item On joue à pile ou face deux fois de suite.\\
L'événement \og obtenir au moins une fois pile \fg{} est égal à l'événement :\par 
\choix{} \og obtenir une fois pile \fg{} \emph{et} \og obtenir deux fois pile \fg.\\
\choix{} \og obtenir une fois pile \fg{} \emph{ou} \og obtenir deux fois pile\fg.\\
\choix{} \og obtenir 0 fois face \fg.\\
\choix{} \og obtenir 0 fois face \fg \emph{ou} \og obtenir une fois face \fg.

\item On joue à pile ou face deux fois de suite.\\
L'événement \og obtenir au plus une fois pile \fg{} est égal à l'événement :\resetchoix\par 
\choix{} \og obtenir une fois face \fg{} \emph{et} \og obtenir deux fois face \fg.\\
\choix{} \og obtenir une fois face \fg{} \emph{ou} \og obtenir deux fois face \fg.\\
\choix{} \og obtenir 0 fois pile \fg.\\
\choix{} \og obtenir 0 fois pile \fg{} \emph{ou} \og obtenir une fois pile \fg.

\item On joue à pile ou face trois fois de suite.\\
L'événement contraire  de \og obtenir au moins une fois face \fg{} est : \resetchoix\par 
\choix{} \og Obtenir trois piles \fg.\\
\choix{} \og Obtenir au moins une fois pile \fg.\\
\choix{} \og Obtenir 0 fois  pile \fg.\\
\choix{} \og Obtenir 0 fois face \fg.

\item Soit $X$ une variable aléatoire.\\
L'événement contraire de \og $X$ est au moins égal à 3 \fg est : \resetchoix\par\hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}
\choix{} $X\leqslant3$. &
\choix{} $X<3$. & 
\choix{} $X\geqslant 3$. &
\choix{} $X > 3$.
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponses \choix[b] et \choix[d]. On ne peut pas obtenir en même temps une fois pile \emph{et} deux fois pile, par contre l'un ou l'autre convient.

\og Obtenir 0 fois face \fg{} revient à \og Obtenir 2 fois pile \fg, donc ne convient pas. 

\og Obtenir 0 fois face \fg{} ou \og Obtenir une fois face \fg{} revient à \og Obtenir 2 fois pile \fg{} ou \og Obtenir une fois pile \fg, c'est-à-dire obtenir au moins une fois pile.

\item Réponses \choix[b] et \choix[d]. \og Obtenir au plus une fois pile \fg{} signifie obtenir 0 fois pile ou une fois pile, ou bien obtenir 2 fois face ou une fois face. 

\item  Réponses \choix[a] et \choix[d]. Le contraire de \og Obtenir au moins une fois face \fg{} est \og n'obtenir aucune face \fg{} ou bien \og n'obtenir que des piles \fg.

\item Réponse \choix[b]. $X$ est au moins égal à 3 peut s'écrire $X\geqslant 3$. Le contraire est donc $X<3$.
\end{questions}
\end{corrige}

%

\begin{qcm}{Répétition d'expériences}{15}
\enlargethispage*{2em}
Pour chaque question, une seule réponse est exacte.
\begin{questions}
\item On répète 3 fois de suite une expérience ayant 2 résultats possibles. Le nombre de chemins de l'arbre associé à cette répétition d'expériences est : \par\hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}
\choix{} 2. & \choix{} 4. & \choix{} 6. & \choix{} 8.
\end{tabularx}

\item On répète 2 fois de suite une expérience ayant 3 résultats possibles. Le nombre de chemins de l'arbre associé à cette répétition d'expériences est : \resetchoix\par\hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}
\choix{} 3. & \choix{} 6. & \choix{} 8. & \choix{} 9.
\end{tabularx}

\item On répète trois fois de suite une même expérience ayant trois issues équiprobables. Alors les listes de résultats :\resetchoix\par 
\choix{} ont toutes pour probabilité $\dfrac{1}{3}$.\\[4pt]
\choix{} ont toutes pour probabilité $\dfrac{1}{27}$.\\[4pt]
\choix{} ont toutes pour probabilité $\dfrac{1}{6}$.\\[4pt]
\choix{} n'ont pas toutes la même probabilité.

\item Une expérience aléatoire donne le résultat A avec une probabilité de $0,4$, le résultat B avec une probabilité de $0,5$ et le résultat C avec une probabilité de $0,1$. On répète 5 fois cette expérience, dans des conditions indépendantes les unes des autres. Alors la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le résultat A est obtenu :\resetchoix\par 
\choix{} suit la loi binomiale $\mathcal{B}(3~;0,4)$.\\
\choix{} suit la loi binomiale $\mathcal{B}(5~;0,4)$.\\
\choix{} suit la loi binomiale $\mathcal{B}(5~; 0,6)$.\\
\choix{} ne suit pas une loi binomiale.
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[d]. Chaque expérience ayant deux issues possibles, le nombre d'issues est multiplié par 2 à chaque répétition. Il y a donc $2^3=8$ issues au total, donc 8 chemins.
\item Réponse \choix[d]. Il y a $3^2=9$ chemins.
\item Réponse \choix[b]. L'arbre associé à l'expérience a $3^3=27$ chemins équiprobables. Donc chaque issue a pour probabilité $\dfrac{1}{27}$.
\item Réponse \choix[b]. Bien que l'expérience ait 3 issues, on peut, pour la question posée, l'assimiler  à une épreuve de Bernoulli à deux issues : obtenir A avec une probabilité de $0,4$, ou ne pas obtenir A. Dans ce cas, la variable qui donne le nombre de fois où A est obtenu suit bien la loi $\mathcal{B}(5~;0,4)$.
\end{questions}
\begin{methode}
Lors d'une répétition d'expériences identiques et indépendantes, il peut s'agir d'une loi binomiale, même si l'expérience répétée a plus de deux issues. En effet, on s'intéresse souvent à la réalisation ou non d'une issue particulière. Il suffit alors de reformuler la description de l'expérience pour obtenir une épreuve de Bernoulli.
\end{methode}
\end{corrige}


%

\begin{qcm}{Loi binomiale}{15}
Pour chaque question, choisir la ou les bonnes réponses.
\begin{questions}
\item On considère un schéma de Bernoulli de 8 répétitions. Le nombre de listes de résultats qui contiennent 5 succès est :\par\hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}
\choix{} $\dbinom 5 8 $. &
\choix{} $\dbinom 8 5 $. & 
\choix{} $\dbinom 5 3 $. &
\choix{} $\dbinom 8 3 $.
\end{tabularx}

\item On lance un dé truqué trois fois de suite~; la probabilité d'obtenir le 6 est $0,2$. Alors la probabilité d'obtenir deux fois 6 sur les trois lancers est : \resetchoix\par\hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\choix{} $0,2^2\times 0,8$. &\choix{} $\dbinom 3 2 (0,2+0,2+0,8)$.\\[6pt] 
\choix{} $\dbinom 3 2 (0,2\times0,2\times0,8)$. &\choix{} $3 \times 0,2^2\times 0,8$.
\end{tabularx}

\item On considère une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $\mathcal{B}(6~;0,7)$. Alors :\resetchoix\par\hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\choix{} $P(X=4)=P(X=2)$. &\choix{} $P(X=4)<P(X=2)$.\\
\choix{} $P(X=4)>P(X=2)$.  &\choix{} $P(X=4)=2\times P(X=2)$.
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponses \choix[b] et \choix[d]. Par définition, le nombre de listes de 8 résultats qui contiennent 5 succès est \og 5 parmi 8 \fg, c'est-à-dire $\dbinom 8 5$. Mais une liste qui contient 5 succès est une liste qui contient 3 échecs. En inversant le rôle des deux issues, on trouve qu'il y a $\dbinom 8 3$ listes qui conviennent. $\dbinom 8 3 = \dbinom 8 5$.
      \enlargethispage*{2em}
\item Réponse \choix[c] et \choix[d]. Par définition de la loi binomiale, la probabilité d'obtenir deux fois 6 en 3 lancers est $\dbinom 3 2 \times 0,2^2 \times 0,8$. Or $\dbinom{3}{2}=3$, donc la probabilité est aussi égale à $3\times 0,2^2\times 0,8$.
\item Réponse \choix[c].\\
{\fontsize{9}{11}\selectfont
$P(X=4)=\dbinom{6}{4}\times 0,7^4\times 0,3^2$ et $P(X=2)= \dbinom{6}{2}\times 0,7^2\times 0,3^4$}. Soit on fait le calcul, soit on utilise le fait que $\dbinom{6}{4}=\dbinom{6}{2}$ (voir explications à la question 1) et on constate que : 
\[0,3^2 P(X=4)=0,7^2 P(X=2).\]
On trouve alors que :
\[
P(X=4)> P(X=2).
\]
et de plus que :
\[
P(X=4)\neq 2P(X=2)\;,
\]
donc \choix[d] est faux.
\end{questions}
\end{corrige}


%

\begin{qcm}{Tirage bicolore}{15}
Une urne contient 5 boules blanches et 5 boules noires. On tire, avec remise, une boule au hasard, $n$ fois de suite (avec $n > 1$).

Parmi les propositions suivantes, quelle est la probabilité d'obtenir des boules qui ne soient pas toutes de la même couleur ? Justifier.\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix{} $1-\dfrac{1}{2^n}$ & 
\choix{} $1-\dfrac{1}{2^{n-1}}$ & 
\choix{} $1-\dfrac{1}{2^{2n}}$
\end{tabularx}
\end{qcm}

\begin{corrige}
Chaque tirage est un tirage de Bernoulli, la probabilité d'obtenir une boule blanche est 0,5. 

Si l'on effectue $n$ tirages avec remise, la variable aléatoire qui donne le nombre de boules blanches obtenues suit la loi binomiale de paramètre $n$ et 0,5.

Ne pas obtenir des boules toutes de la même couleurs, signifie ne pas obtenir $n$ boules blanches ni $n$ boules noires.

Or, la probabilité d'obtenir $n$ boules blanches est $\dfrac{1}{2^n}$, de même la probabilité d'avoir $n$ boules noires est $\dfrac{1}{2^n}$. Comme ces deux événements sont incompatibles, la probabilité que l'un ou l'autre se produise est :
\[
\dfrac{1}{2^n}+\dfrac{1}{2^n}=2\times\dfrac{1}{2^n}=\dfrac{1}{2^{n-1}}.
\]
La probabilité de l'événement contraire est donc $1-\dfrac{1}{2^{n-1}}$.

La réponse exacte est donc la réponse \choix[b].
\end{corrige}

\begin{exo}{Lancer de dé}{Lycée \'Edouard Branly, Nogent-sur-Marne}{1}{10} 
Un joueur lance quatre fois de suite un dé parfaitement équilibré. Il marque 1~point pour chaque face numérotée 6 qu'il obtient. On s'intéresse à la variable aléatoire $X$  qui à chaque série de quatre lancers associe le nombre de points marqués.
\begin{questions}
\item Expliquer pourquoi la variable étudiée suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
\item Quelle est la probabilité de gagner 3 points?
\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item L'expérience est une répétition de 4 lancers de dé, donc de 4 expériences identiques et indépendantes. Obtenir la face 6 est le succès de l'épreuve de Bernoulli, et sa probabilité $p$ vaut $\dfrac{1}{6}$. La variable $X$ suit donc la loi binomiale $\mathcal{B}\left(4,\dfrac{1}{6}\right)$.

\item La probabilité de gagner 3 points est :
\begin{align*}
P(X=3) & =\dbinom{4}{3}\left(\dfrac{1}{6}\right)^3\times\left(\dfrac{5}{6}\right)^1\\
& =4 \times\dfrac{5}{6^4}\\
& = \dfrac{5}{324}.
\end{align*}


\item Pour déterminer la loi de probabilité de $X$ il reste à calculer la probabilité d'avoir 0, 1, 2 ou 4 fois la face numérotée 6.
\Par
\begin{align*}
P(X=0) & = \dbinom 4 0\left( \dfrac{1}{6}\right) ^0\times\left( \dfrac{5}{6}\right) ^4\\%[5pt]
& =\dfrac{5^4}{6^4}\\%[5pt]
& =\dfrac{625}{\numprint{1296}}.
\end{align*}
\Par
\begin{align*}
P(X=1) & = \dbinom 4 1 \left( \dfrac{1}{6}\right) ^1\times\left( \dfrac{5}{6}\right) ^3\\%[5pt]
& = 4 \times \dfrac{5^3}{6^4}\\%[5pt]
& = \dfrac{125}{324}.
\end{align*}
\Par
\begin{align*}
P(X=2) & = \dbinom4 2\left( \dfrac{1}{6}\right) ^2\times\left( \dfrac{5}{6}\right) ^2\\%[5pt]
& = 6 \times \dfrac{5^2}{6^4}\\%[5pt]
& = \dfrac{25}{216}.
\end{align*}
%\newpage
\begin{align*}
P(X=4) & =\dbinom4 4\left( \dfrac{1}{6}\right) ^4\times\left( \dfrac{5}{6}\right) ^0\\%[5pt]
& =\dfrac{1}{6^4}\\%[5pt]
& =\dfrac{1}{\numprint{1296}}.
\end{align*}

\newpage

On peut résumer ces résultats dans le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|R|*5{Zc|}}
\hline
$x_i$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
$P(X=x_i)$ & $\dfrac{625}{\numprint{1296}}$ & $\dfrac{125}{324}$ & $\dfrac{25}{216}$ & $\dfrac{5}{324}$ & $\dfrac{1}{\numprint{1296}}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{Remarque}
il est toujours prudent de vérifier que la somme des probabilités est égale à 1.
\end{Remarque}
\end{questions}
\end{corrige}

%

\begin{exo}{Deux tirages successifs}{Lycée Paul Painlevé, Oyonnax}{1}{15}
Une urne contient de nombreux jetons, indiscernables au toucher, ayant l'une des trois couleurs : bleu, jaune ou rouge.

On tire un jeton au hasard.  La probabilité de tirer un jeton bleu est $0,25$ ~; celle d'obtenir un jeton jaune est $0,4$.
\begin{questions}
\item Quelle est la probabilité d'obtenir un jeton rouge à un tirage ?
\item On effectue l'expérience deux fois de suite avec remise du jeton dans l'urne après le premier tirage. 

\`A l'aide d'un arbre pondéré à construire sur la copie, répondre aux questions suivantes:
\begin{questions}
\item Quelle est la probabilité d'obtenir un jeton bleu au premier tirage, puis un jeton jaune au second ?
\item Quelle est la probabilité d'obtenir deux jetons de couleurs différentes ?
\end{questions} 
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\enlargethispage*{2em}
\begin{questions}
\item Comme la somme des probabilités des issues d'une expérience vaut 1, la probabilité d'obtenir un jeton rouge est $1-0,25-0,4=0,35$.
\item On note $B_i$ l'événement \og Tirer un jeton bleu  au $i$-ième lancer\fg,\linebreak $R_i$  \og Tirer un jeton rouge au $i$-ième lancer\fg{} et $J_i$ \og Tirer un jeton jaune au $i$-ième lancer \fg, avec $i=1$ ou $i=2$.
L'arbre pondéré associé à l'expérience est donc :

\begin{center}
\includegraphics{337_binom-05}
\end{center}

\begin{questions}
\item Comme il y a remise du premier jeton tiré avant le second tirage, les deux expériences successives sont indépendantes, et la probabilité d'une liste de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat de la liste.
\[
P(B_1,J_2)=0,25\times 0,4=0,1.
\]

\enlargethispage*{3em}
\item L'événement \og Obtenir deux jetons de couleurs différentes \fg{} est l'événement contraire de \og Obtenir deux jetons de même couleur \fg. La probabilité de cet événement est donc :
\begin{align*}
1-P(B_1,B_2)-P(J_1,J_2)-P(R_1,R_2) & =1-0,25^2-0,4^2-0,35^2\\
& =0,655.
\end{align*}

\begin{Remarque}
on peut aussi faire la somme des probabilités des 6 issues qui composent l'événement, mais c'est bien sûr plus long !
\end{Remarque}
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

\newpage
%

\begin{exo}{Groupe sanguin}{Lycée Notre-Dame de Sainte-Croix, Neuilly-sur-Seine}{1}{15}
La probabilité qu'un français soit du groupe sanguin A est de $0,45$, qu'il soit du groupe sanguin $O$ est de $0,43$. Dans les autres cas, la personne est du groupe sanguin $B$ ou $AB$~; on décide de dire dans ce cas qu'elle est du groupe $C$. On étudie le groupe sanguin de trois personnes prises au hasard dans cette population. Vue la taille de la population, le choix des trois personnes peut être assimilé à une répétition de trois expériences identiques et indépendantes.

\begin{questions}
\item Combien de chemins contient l'arbre pondéré associé à cette expérience (il n'est pas demandé de dessiner l'arbre) ?

On notera A l'événement \og la personne est du groupe A \fg, O l'événement \og la personne est du groupe O \fg{} et C l'événement \og la personne est du groupe C \fg. Donner toutes les listes de résultats.
\item Quelle est la probabilité que les trois personnes soient toutes du groupe~A ?
\item Quelle est la probabilité qu'il y ait exactement une personne de chaque groupe ?
\item Quelle est la probabilité qu'au moins une personne soit du groupe A ?
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item L'arbre représentant l'expérience a $3\times 3\times 3=27$ chemins. Les différentes listes de résultats sont :

\begin{center}
\begin{tabular}{cccccc}
(A,A,A)&(A,A,O)&(A,A,C)&(A,O,A)&(A,O,O)&(A,O,C)\\
(A,C,A)&(A,C,O)&(A,C,C)&(O,A,A)&(O,A,O)&(O,A,C)\\
(O,O,A)&(O,O,O)&(O,O,C)&(O,C,A)&(O,C,O)&(0,C,C)\\
(C,A,A)&(C,A,O)&(C,A,C)&(C,O,A)&(C,O,O)&(C,O,C)\\
(C,C,A)&(C,C,O)&(C,C,C)
\end{tabular}
\end{center}

Comme il y a répétition de 3 expériences identiques et indépendantes, la probabilité de chaque liste de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat.

\item L'événement, \og Les trois personnes sont du groupe sanguin $A$ \fg{} a pour probabilité :
\[
P(A)=0,45^3\approx0,091.
\]

\item L'événement \og Il y a une personne de chaque groupe \fg{}  est la réunion de toutes les listes contenant les 3 résultats A, O et B, quel que soit leur ordre. 

La probabilité de chaque liste contenant les trois résultats est :\[ 0,45\times 0,43\times 0,12\approx 0,0232. \]
On compte  qu'il y a exactement 6 listes contenant ces trois résultats, donc la probabilité qu'il y ait une personne de chaque groupe sanguin est environ $6\times 0,0232\approx 0,139$.

\item Pour cette question, on peut procéder de deux façons.

La première consiste à identifier  toutes les listes qui contiennent au moins un $A$ et d'ajouter leurs probabilités. On trouve :
\begin{align*}
 & 0,45^3\\
+\ & 3\times 0,45^2\times 0,43\\
+\ & 3\times 0,45^2\times 0,12\\
+\ & 6\times 0,45\times0,43\times 0,12\\
+\ & 3\times 0,45\times 0,43^2\\
+\ & 3\times 0,45\times 0,12^2\\
\approx\ & 0,834.
\end{align*}

Une autre méthode consiste à ne considérer plus que deux événements: \og Être du groupe sanguin $A$ \fg{} et son contraire \og Ne pas être du groupe sanguin $A$ \fg, de probabilités respectives $0,45$ et $0,55$. L'événement \og Au moins une personne est du groupe $A$ \fg{} est l'événement contraire de \og Aucune personne n'est du groupe $A$ \fg.\\
Sa probabilité est donc :
\[
1-0,55^3\approx 0,834.
\]
\end{questions}
\end{corrige}


%

\begin{exo}{Lancer de deux dés}{Lycée La Bruyère, Versailles}{1}{20}
Une partie consiste à lancer simultanément deux dés équilibrés. On gagne si les deux chiffres obtenus sont identiques.
\begin{questions}
\item Calculer la probabilité de gagner.
\item On répète quatre fois l'expérience, et on appelle $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de parties gagnées lors des quatre expériences.
\begin{questions}
\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale et en donner les paramètres.
%\item Quelle est l'espérance et la variance de la loi $X$?
\item Déterminer la probabilité de ne jamais gagner.
\item Déterminer la probabilité de gagner deux fois.
\end{questions}
\item On répète $n$ fois l'expérience, et on définit la variable $Y$ donnant le nombre de parties gagnées.\par 
Déterminer la plus petite valeur de $n$ pour que la probabilité de gagner au moins une fois soit supérieure ou égale à 0,99.

\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Le lancer de deux dés équilibrés est une expérience à 36 issues équiprobables, parmi lesquelles 6 sont gagnantes.\par 
La probabilité de gagner est donc $\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}$.

\item 
\begin{questions}
\item Chaque partie est une expérience de Bernoulli dont la probabilité du succès est $\dfrac{1}{6}$. On répète 4 parties, le résultat d'un lancer n'a pas d'influence sur le résultat du lancer suivant, donc les expériences sont identiques et indépendantes. La variable $X$ suit donc la loi binomiale $\mathcal{B}\left( 4~;\dfrac{1}{6}\right)$.

\item $P(X=0)=(1-p)^4=\left( \dfrac{5}{6}\right) ^4=\dfrac{625}{1296}\approx 0,482$.

\item $P(X=2) = \dbinom{4}{2}p^2(1-p)^2=6 \left(\dfrac{1}{6}\right)^2 \left( \dfrac{5}{6}\right) ^2=\dfrac{25}{216}\approx 0,116$.
\end{questions}

\item $P(Y\geqslant 1)= 1-P(Y=0)= 1 - (1-p)^n=1-\left( \dfrac{5}{6}\right) ^n$.\par 
On cherche la plus petite valeur de $n$ telle que $1-\left( \dfrac{5}{6}\right) ^n\geqslant 0,99$, c'est-à-dire telle que $\left( \dfrac{5}{6}\right) ^n \leqslant 0,01$.\par 
En calculant les puissances successives de $\dfrac{5}{6}$ à la calculatrice (il suffit d'afficher les termes successifs de la suite géométrique $\left( \dfrac{5}{6}\right) ^n $) on trouve que la plus petite valeur de $n$ telle que $\left( \dfrac{5}{6}\right) ^n \leqslant 0,01$ est $n=26$.

\Par

Nous aurions pu trouver $n$ en résolvant l'inéquation de\linebreak manière algébrique:
\begin{align*}
\left( \dfrac{5}{6}\right) ^n \leqslant 0,01 & \iff \ln \left[ \left( \dfrac{5}{6}\right) ^n \right] \leqslant \ln(0,01)\\
& \iff n\ln\left( \dfrac{5}{6}\right) \leqslant \ln(0,01)
\end{align*}

\begin{align*}
\left( \dfrac{5}{6}\right) ^n \leqslant 0,01
& \iff n \geqslant \dfrac{\ln(0,01)}{\ln\left(\frac{5}{6}\right)}\quad\text{ car }\ln\left(\frac{5}{6}\right)<0\\
& \iff n \geqslant 25,2585\\
& \iff n = 26\text{ car $n$ est entier}.
\end{align*}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Loi binomiale}{Lycée Jean Puy, Roanne}{1}{25}
Lors d'un jeu radiodiffusé, on estime que le candidat, quelle que soit la question posée, a deux chances sur trois de donner la bonne réponse. Il gagne 50~euros par réponse exacte.

L'animateur du jeu lui pose successivement cinq questions.

\begin{questions}
\item Calculer la probabilité que le candidat ait cinq bonnes réponses.
\item Quelle est la probabilité que le candidat gagne 250 euros ?
\item Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de réponses exactes au bout des cinq questions. Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ? Justifier la réponse.
\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $Y$ qui compte le gain total du joueur.
\item Calculer l'espérance de gain du joueur.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Le jeu est une succession de 5 expériences identiques et indépendantes.\\
\og Donner cinq bonnes réponses \fg{} correspond à la liste de cinq résultats \og Donner la bonne réponse \fg, et a donc pour probabilité $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{5\strut}= \dfrac{32}{243}$.

\item Le candidat gagne 250 euros lorsqu'il a cinq bonnes réponses, donc la probabilité qu'il gagne 250 euros est $\dfrac{32}{243}$.

\item Chaque question correspond à une épreuve de Bernoulli dont le succès est \og Donner la bonne réponse \fg, et a pour probabilité $\dfrac{2}{3}$. Comme il y a 5 répétitions indépendantes, la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left(5~; \dfrac{2}{3}\right)$.

\item Comme chaque réponse exacte fait gagner 50 euros, si on note $y_i$ les valeurs prises par $Y$, on a $y_i=50 x_i$. Connaissant la loi de $X$, on en déduit la loi de $Y$ dans le tableau suivant :

\begin{center} 
\fontsize{9}{11}\selectfont
\begin{tabular}{|>{\raggedleft\arraybackslash}M{15mm}|*6{>{\centering\arraybackslash}Z{m{9mm}}|}}
\hline
$x_i$&0&1&2&3&4&5\\
\hline
$y_i$&0&50&100&150&200&250\\
\hline
$P(X~=~x_i)$ $P(Y~=~y_i)$&$\dbinom{5}{0}\dfrac{1}{3^5}$&$\dbinom{5}{1}\dfrac{2}{3^5}$&$\dbinom{5}{2}\dfrac{2^2}{3^5}$&$\dbinom{5}{3}\dfrac{2^3}{3^5}$&$\dbinom{5}{4}\dfrac{2^4}{3^5}$&$\dbinom{5}{5}\dfrac{2^5}{3^5}$\\
\hline
Valeurs\linebreak approchées&0,004 &0,041 &0,165 & 0,329& 0,329&0,132 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item Pour calculer l'espérance de $Y$, on peut prendre les valeurs numériques du tableau et appliquer la formule, mais il est plus rapide de constater que comme $y_i=50x_i$, alors :
\[ p_1y_1+\cdots+p_5y_5=50(p_1x_1+\cdots+p_5x_5)=50 E(X).\]
Or, on sait que si $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, son espérance vaut $np$. Par conséquent $E(Y)=50 \times 5\times \dfrac{2}{3}=\dfrac{500}{3}$.
\end{questions}
\end{corrige}


%

\begin{exo}{Des formes et des couleurs}{Lycée Virlogeux, Riom}{2}{15}
Chaque probabilité sera exprimée sous forme d'une fraction irréductible.

Dans une boîte, on dispose de deux cubes : un rouge et un vert, et de quatre boules : une jaune, une rouge, une verte et une bleue.

Un bébé prend au hasard un objet de la boîte, le montre fièrement à son papa, puis le remet dans la boîte. Il prend à nouveau un objet dans la boîte, et le donne à son papa qui le remet aussi dans la boîte. On appelle tirage le couple des deux objets ainsi obtenus et on suppose que tous les tirages sont équiprobables.

\begin{questions}
\item Combien y a-t-il de tirages possibles ? On pourra s'aider d'un tableau ou d'un arbre.
\item Trouver la probabilité de chacun des événements suivants :
\begin{itemize}
\item $A$ : \og Il a obtenu deux cubes \fg.
\item $B$ : \og Il a obtenu deux boules \fg.
\item $C$ : \og Il a obtenu deux objets de formes différentes \fg.
\item $D$ : \og Il a obtenu deux objets rouges \fg.
\item $E$ : \og Il a obtenu deux objets de la même couleur \fg.
\item $F$ : \og Il a obtenu deux objets de couleurs différentes \fg.
\item $G$ : \og Il a obtenu deux objets de même couleur, mais de formes différentes \fg.
\end{itemize}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Il y a six objets différents et deux tirages successifs identiques et indépendants car ils sont avec remise. Il y a donc $6 \times 6 = 36$ tirages. Chaque tirage a pour probabilité $\dfrac{1}{36}$.

On peut faire un arbre pour représenter l'expérience, mais celui-ci est très volumineux puisqu'il y a 6 branches qui se divisent en 6.

Un tableau à double entrée est plus lisible dans ce cas, et pour trouver la probabilité d'un événement, il suffira alors de compter le nombre d'issues dans cet événement et multiplier ce nombre par $\dfrac{1}{36}$.

{\fontsize{9}{11}\selectfont
\begin{tabular}{|C|*6{Zc|}}
\hline\tabulartitle
&CR&CV&BJ&BR&BV&BB\\
\hline
CR&(CR,CR)&(CR,CV)&(CR,BJ)&(CR,BR)&(CR,BV)&(CR,BB)\\
\hline
CV&(CV,CR)&(CV,CV)&(CV,BJ)&(CV,BR)&(CV,BV)&(CV,BB)\\
\hline
BJ&(BJ,CR)&(BJ,CV)&(BJ,BJ)&(BJ,BR)&(BJ,BV)&(BJ,BB)\\
\hline
BR&(BR,CR)&(BR,CV)&(BR,BJ)&(BR,BR)&(BR,BV)&(BR,BB)\\
\hline
BV&(BV,CR)&(BV,CV)&(BV,BJ)&(BJ,BR)&(BJ,BV)&(BJ,BB)\\
\hline
BB&(BB,CR)&(BB,CV)&(BB,BJ)&(BB,BR)&(BB,BV)&(BB,BB)\\
\hline
\end{tabular}
}
\item En comptant les issues favorables pour chaque événement, on obtient les probabilités suivantes:\\
$P(A)=\dfrac{4}{36}=\dfrac{1}{9}.$\\
$P(B)=\dfrac{16}{36}=\dfrac{4}{9}.$\\
$P(C)= 1-P(A)-P(B)=\dfrac{16}{36}=\dfrac{4}{9}.$\\
$P(D)=\dfrac{4}{36}=\dfrac{1}{9}.$\\[4pt]
$P(E)=\dfrac{10}{36}=\dfrac{5}{18}$ \\
$F$ est l'événement contraire de $E$: $P(F)=1-P(E) = \dfrac{13}{18}$.\\
$P(G)=\dfrac{4}{36}=\dfrac{1}{9}$.
\end{questions}
\end{corrige}

%

\begin{exo}{Un dé tétraédrique déséquilibré}{Lycée Odilon Redon, Pauillac}{2}{20}
On lance un dé tétraédrique dont les quatre faces portent les chiffres
1, 2, 3 et 4. 
On lit le résultat d'un lancer sur la face cachée du dé. 

On note $p_i$ la probabilité d'obtenir le chiffre $i$ suite à un
lancer de ce dé. 

Le dé est déséquilibré de telle sorte que ces probabilités sont: 
\[
p_1=0,1 \ ; p_2=0,2\ ; p_3=0,3 \ ; p_4=0,4\ .
\]

On lance deux fois successivement ce dé. 
On suppose que les lancers sont indépendants entre eux. 

\begin{questions}
\item Dresser un arbre pondéré décrivant l'expérience. 
\item Quelle est la probabilité d'obtenir les chiffres 1 et 3 dans cet
      ordre ? 
\item Quelle est la probabilité d'obtenir deux chiffres 
      distincts rangés par ordre croissant ?

\item On instaure la règle suivante: 
      si un joueur lançant deux fois successivement ce dé obtient
      deux chiffres distincts rangés par ordre croissant il gagne 2
      euros, si il obtient deux fois le chiffre 1 il gagne 5
      euros, tandis que, dans tous les autres cas, il perd 3 euros. 

      On note $X$ la variable aléatoire égale au gain du joueur. 
      \begin{questions}
      \item Déterminer la loi de probabilité de $X$. 
      \item Déterminer l'espérance et l'écart type de $X$. 

      Ce jeu est-il équitable ?

      \item On modifie la  valeur des gains de la manière suivante: 
      si on obtient deux chiffres distincts rangés par ordre
      croissant on gagne 5 euros, si on obtient deux fois le 
      chiffre 1 on gagne 11 euros, et sinon, dans tous les autres cas,
      on perd 5 euros. 

      On note $Y$ la variable aléatoire égale au gain du joueur avec
      cette nouvelle règle. 

      Déterminer l'espérance et l'écart type de $Y$.
      \end{questions}

\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On est en présence de la répétition de deux expériences identiques et indépendantes. On peut construire l'arbre pondéré suivant, en indiquant les probabilités d'obtention de chaque chiffre pour le premier et le\linebreak deuxième lancer.


\begin{center}
\includegraphics{368_varind-01}
\end{center}
\begin{methode}
La probabilité de l'issue représentée par un chemin est égale au produit des probabilités présentes sur le chemin.
\end{methode}
\item Il n'y a qu'une seule façon d'obtenir les chiffres 1 et 3 dans
cet ordre. 
La probabilité de cet événement est: 
$p=0,1\times 0,3=0,03$.

\item Les différentes façons d'obtenir deux chiffres distincts rangés
      par ordre croissant sont les suivantes: 
      \[
      (1;2)\,; (1;3)\,; (1;4)\,; (2;3)\,;(2;4)\,;(3;4)
      \]
      La probabilité de l'événement correspondant est donc: 
      \[\begin{aligned}
      p
      &=0,1\times0,2+0,1\times0,3+0,1\times0,4\\
       &\hspace{0.4cm}+0,2\times0,3+0,2\times0,4
       +0,3\times0,4\\
      &=0,35.
      \end{aligned}\]

   \item   
   \begin{questions}
      \item Avec cette règle, le gain algébrique à ce jeu peut-être de $-3$ euros, 2~euros ou 5 euros. 

Déterminer la loi de probabilité de $X$, c'est donner les probabilités de chacun des événements :
\[
P(X=-3)\,, P(X=2) \ \ \text{et} \ P(X=5).
\] 

D'après la question précédente, on a déjà calculé \mbox{$P(X=2)=0,35$.} 

On gagne de plus 5 euros uniquement lorsqu'on obtient deux fois le chiffre 1. Cet événement se produit avec une probabilité de :
\[P(X=5)=0,1\times 0,1=0,01\,.\]

Dans tous les autres cas, on perd 3 euros, et ainsi: 
\[\begin{aligned}
P(X=-3)
&=1-\Bigl( P(X=2)+P(X=5)\Bigr) \\
&=1-0,35-0,01=0,64.
\end{aligned}
\]

On peut résumer ces résultats par le tableau suivant donnant la loi de probabilité de $X$: 

            \begin{center}
            \begin{tabular}{|R|c|c|c|}\hline
            Gain $x_i$ & -3 & 2 & 5  \\\hline
            $P(X=x_i)$ & 0,64 & 0,35 & 0,01\\\hline
            \end{tabular}
            \end{center}

      \item L'espérance de $X$ est: 
            \[
            E(X)=-3\times0,64+2\times0,35+5\times0,01
            =-1,17.
            \]
            On en déduit que ce jeu n'est pas équitable: 
            en moyenne, le joueur peut s'attendre à perdre 1,17 euros
            par partie. 

            La variance de $X$ est: 
            \[\begin{aligned}
            V(X)
            &=(-3+1,17)^2\times0,64+(2+1,17)^2\times0,35\\
            &\hspace{1cm}+(5+1,17)^2\times0,01\\
            &\approx 6,04.
            \end{aligned}\]
            D'où son écart type: 
            \[
            \sigma(X)=\sqrt{V(X)}\approx 2,46.
            \]

      \item On remarque que l'on passe de la variable aléatoire $X$ à
            la variable aléatoire $Y$ par la relation affine: 
            \[
            Y=2X+1.
            \]
La loi de probabilité de $Y$ est alors:
\begin{center}
            \begin{tabular}{|R|c|c|c|}\hline
            Gain $y_i$ & -5 & 5 & 11  \\\hline
            $P(X=y_i)$ & 0,64 & 0,35 & 0,01\\\hline
            \end{tabular}
            \end{center}

           La formule du cours  sur l'espérance donne:
            \[
            E(Y)=E(2X+1)=2E(X)+1=-1,34.
            \]

            Pour la variance  et l'écart-type, on fait le calcul suivant:
            \begin{align*}
            V(Y) & = 0,64(-5+1,34)^2+0,35(5+1,34)^2+0,01(11+1,34)^2\\
            & =24,1644. \end{align*}
            
            Par conséquent, $\sigma(Y)=\sqrt{V(Y)}\approx 4,92$.
      \end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%


\begin{exo}{Jouer sans se ruiner}{Lycée Blaise Pascal,Clermont-Ferrand}{2}{20}
\NathanLiveVideo[\PictoVideo\ Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo.]{jouer sans se ruiner}{https://media.prepamath.fr/ILTM2026ch10exoJouerRuiner}

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0.3){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/ILTM2026ch10exoJouerRuiner}}}
\vspace*{-5mm}

L'oncle de Tatiana est accroc au jeu de grattage. Chaque semaine, il achète jusqu'à 20 euros de cartes à gratter à deux euros. Il achète une première carte et la gratte. Si elle est gagnante, il s'arrête, sinon il en achète une seconde, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'il ait une carte gagnante ou bien qu'il ait dépensé 20 euros.
La probabilité d'avoir une carte gagnante est 0,12.
\begin{questions}
\item Représenter cette expérience par un arbre pondéré.
\item Quelle est la probabilité que l'oncle achète 4 cartes?
\item Quelle est la probabilité que l'oncle achète 10 cartes?
\item Quelle est la probabilité que l'oncle ne gagne rien?
\item Soit $ X$ la variable aléatoire qui à chaque série d'achats de la semaine, associe la somme dépensée.
\begin{questions}
\item Établir la loi de probabilité de $X$.
\item Quelle est l'espérance de $X$? Interpréter ce résultat.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/ILTM2026ch10exoJouerRuiner}}}
\vspace*{-5mm}

Nous sommes en présence d'une loi géométrique tronquée.
\begin{questions}
\item L'arbre est celui d'un schéma de Bernoulli de 10 répétitions, dont on ne garde pas les branches issues d'un succès.
\begin{center}
\includegraphics{370_varind-02}
\end{center}
 \item On note $G$, l'issue de l'épreuve de Bernoulli : \og la carte achetée est gagnante \fg{} et $P$ : \og la carte est perdante \fg. L'oncle achète 4 cartes exactement si les 3 premières ne sont pas gagnantes, et si la dernière est gagnante. Il faut donc calculer \par $P(P,P,P,G)=0,88^3\times 0,12 \approx0,082$.
 \item L'oncle achète 10 cartes si les 9 premières sont perdantes. La dernière carte n'a pas d'importance puisqu'il s'arrêtera de toute façon car il aura dépensé 20 euros.\par 
 La probabilité est donc $0,88^9\approx0,316$.
 \item L'oncle ne gagne rien si les 10 cartes achetées sont perdantes. La probabilité de cet événement est $0,88^{10}\approx0,279$.
 \item
 \begin{questions}
 \item  L'oncle dépense $2n$ euros lorsqu'il achète $n$ cartes. Pour tout entier $n$ tel que $1\leqslant n < 10$, il achète $n$ cartes si les $n-1$ premières sont perdantes, donc  on a $P(X=2n)=0,88^{n-1}\times 0,12$.\par 
 Par contre $P(X=20)= 0,88^9$.
 
 On peut résumer la loi de probabilité de $X$ dans le tableau suivant contenant les valeurs approchées au millième:\\
 
\begin{tabular}{|R|*6{Zc|}}
 \hline
$x_i$ & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12\\
\hline 
$P(X=x_i)$ & $0,12$ & $0,106$ & $0,093$ & $0,082$ & $0,72$ & $0,063$ \\
\hline
 \end{tabular}
 
 \medskip
 
 \begin{tabular}{|R|*4{Zc|}}
 \hline
$x_i$&14&16&18&20\\
\hline 
$P(X=x_i)$&$0,056$&$0,049$&$0,043$&$0,316$\\
\hline
 \end{tabular}
 \item On calcule l'espérance de $X$ grâce à la formule du cours et on obtient $E(X)\approx12,02$.\\ 
Cela signifie que sur un grand nombre de semaines, l'oncle peut envisager dépenser en moyenne $12,02$~euros par semaine.
 \end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}



%

\begin{exo}{Le tapis vert}{Lycée Alexandre Dumas, Saint-Cloud}{2}{25}
Il y a plusieurs années, la Française des Jeux organisait un jeu qui s'appelait \og le tapis vert \fg. Ce jeu consistait à choisir une carte de chaque couleur dans un jeu de 32 cartes et à cocher les quatre cases correspondantes dans une grille. Ces choix étaient ensuite comparés aux quatre cartes tirées par l'organisateur.
\begin{questions}
\item On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque grille associe le nombre de cartes qui coïncident avec les cartes tirées.
\begin{questions}
\item Montrer que $X$ suit une loi binomiale de paramètres 4 et $\dfrac{1}{8}$.
\item Établir le tableau de la loi de probabilité de $X$. Garder les valeurs exactes sous forme fractionnaire.
\end{questions}
\item Pour gagner, il fallait avoir au moins deux cartes exactes. 

Quelle était la probabilité d'avoir une grille gagnante?

\item  Les gains étaient attribués de la façon suivante:
\begin{itemize}
\item pour 2 cartes exactes, on gagnait 2 fois sa mise ;
\item pour 3 cartes exactes, on gagnait 30 fois sa mise ;
\item pour 4 cartes exactes, on gagnait \numprint{1000} fois sa mise.
\end{itemize}
On note $G$ le gain algébrique du joueur pour une mise de 1 euro.
\begin{questions}
\item Déterminer la loi de probabilité de $G$ (garder les valeurs exactes).
\item Quelle est l'espérance de gain du joueur à $10^{-2}$ près?
\item Ce jeu est-il favorable au joueur?
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item Pour chaque couleur, il est choisi au hasard une carte parmi les 8 cartes de cette couleur. La probabilité d'avoir la bonne carte de cette couleur est donc $\dfrac{1}{8}$. Ce choix est répété de façons indépendantes pour les 4 couleurs. La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètre 4 et $\dfrac{1}{8}$.

\item Pour établir la loi de probabilité de $X$, on utilise la formule\linebreak $P(X=k)=\dbinom{4}{k}\left( \dfrac{1}{8}\right) ^k \left( \dfrac{7}{8}\right) ^{4-k}$. Les coefficients binomiaux $\dbinom{4}{k}$ sont égaux à 1, 4, 6, 4 et 1. On a donc le tableau de probabilité de $X$ suivant:
\begin{center}
\begin{tabular}{|R|*5{Zc|}}
\hline
$k$& 0&1&2&3&4\\
\hline
$P(X=k)$&$\dfrac{7^4}{8^4}$&$4\times \dfrac{7^3}{8^4}$&$6\times \dfrac{7^2}{8^4}$&$4\times \dfrac{7}{8^4}$&$\dfrac{1}{8^4}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{questions}

\item Il est plus rapide de chercher la probabilité de l'événement contraire \og avoir 0 ou 1 carte exacte \fg.\par 
$P(X=0)+P(X=1)=\dfrac{7^4+4\times 7^3}{8^4}=\dfrac{11\times 7 ^3}{8^4}.$\par 
La probabilité d'avoir une grille gagnante était donc  $1-\dfrac{11\times 7 ^3}{8^4}=\dfrac{323}{8^4}$, soit environ $ 0,0789$.
\item
\begin{questions}
\item La mise étant de 1 \euro, le gain pour 2 cartes exactes est 1~\euro, le gain pour 3 cartes exactes est 29 \euro, le gain pour 4 cartes exactes est 999~\euro, et pour 0 ou 1 carte exacte, il est égal à $-1$~\euro.

Le tableau de la loi de probabilité de $G$ est:

\Par

\begin{center}
\begin{tabular}{|R|*4{Zc|}}
\hline
gain $g$&$-1$&1&29&999\\
\hline
$P(X=g)$&$\dfrac{11\times 7^3}{8^4}$&$\dfrac{6\times 7^2}{8^4}$&$\dfrac{4\times 7}{8^4}$&$\dfrac{1}{8^4}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item L'espérance du gain du joueur est :\par
$-1\times \dfrac{11\times 7^3}{8^4}+1 \times\dfrac{6\times 7^2}{8^4}+29\times\dfrac{4\times 7}{8^4}+999\times\dfrac{1}{8^4}$\par 
Ce qui donne $E(G) \approx  -0,41$.
\item Comme l'espérance de gain du joueur est négative, ce jeu n'est pas favorable au joueur.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}


%

\begin{exo}{Assurance}{Lycée Pablo Picasso, Fontenay-Sous-Bois}{2}{25}
Un assureur automobile compte \numprint{2000} clients. On suppose que la probabilité qu'un des clients ait un accident est égale à $0,12$. Soit $X$ la variable qui donne le nombre de conducteurs accidentés parmi les \numprint{2000} clients.
\begin{questions}
\item Déterminer la loi suivie par $X$ et en donner les paramètres.
\item Calculer la probabilité pour qu'il y ait au moins 240 clients accidentés.
\item Déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $P(X\leqslant n)\geqslant 0,95$.
\item On suppose que chaque accident coûte en moyenne 4000 euros à l'assurance.\par 
On note $a$ le prix payé par chaque client pour s'assurer.\par 
Soit $Y$ la variable aléatoire qui donne le bénéfice (algébrique) réalisé par l'assureur.

\begin{questions}
\item Exprimer $Y$ en fonction de $X$ et de $a$.
\item En déduire espérance de $Y$ en fonction de $a$.
\item Pour quelles valeurs de $a$ l'espérance $E(Y)$ est-elle positive ou nulle?
\item Si $a=500$, calculer puis interpréter $P(Y\geqslant \numprint{100000})$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $X$ suit une loi binomiale de paramètres \numprint{2000} et 0,12.
\item $P(X\geqslant 240)=1-P(X\leqslant 239) \approx 0,51$.
\item Par essais successifs, on trouve : 
\[ P(X\leqslant263)\approx0,946 \text{ et } P(X\leqslant264)\approx 0,953.\] Le plus petit $n$ tel que $P(X\leqslant n)\geqslant 0,95$ est donc $264$.
\item
\begin{questions}
\item $Y = \numprint{2000}a-\numprint{4000}X$.
\item $E(Y)=\numprint{2000}a -\numprint{4000}E(X)$. Or $E(X)=\numprint{2000}\times 0,12=240$, donc $E(Y)=\numprint{2000}a - \numprint{960000}$.
\item $E(Y)\geqslant 0$ pour  $\numprint{2000}a\geqslant\numprint{960000}$, c'est-à-dire $a\geqslant 480$.
\item Si $a=500$, alors $Y=\numprint{1000000}-\numprint{4000}X$, donc $Y\geqslant\numprint{100000}$ pour $X\leqslant225$. Or $P(X\leqslant225)\approx 0,159$.\\
La probabilité que le bénéfice soit supérieur à \numprint{100000} euros pour une cotisation de 500 euros est d'environ $0,159$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}


%

\begin{exo}{Stand de tir}{Lycée Jean Pierre Vernant, Pin-Justaret}{2}{30}
Sandy aime bien aller au stand de tir de la fête foraine de son village. Bien que les carabines soient très mal réglées, elle sait que la probabilité, à chaque tir, qu'elle atteigne la cible est $0,68$.

Elle effectue 25 tirs successifs. Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de tirs réussis.
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item Quelle loi suit la variable aléatoire $X$? Justifier.
\item Calculer son espérance, interpréter ce résultat.
\item Déterminer à $10^{-5}$ près la probabilité que Sandy atteigne la cible à chacun de  ses 25 tirs.
\item Déterminer à $10^{-3}$ près la probabilité qu'elle atteigne la cible au moins 20 fois.

\end{questions}
\item Sandy doit payer 10 euros pour pouvoir faire les 25 tirs. Mais chaque tir réussi donne droit à un point d'une valeur de 0,5 euros. Elle pourra ensuite les utiliser sur le stand pour acheter des bonbons. A ce jeu, on appelle gain (qui peut être négatif), la différence entre la valeur gagnée avec les points et le prix de la partie. On note $Y$ la variable aléatoire qui, à une partie de 25 tirs, associe le gain de Sandy.
\begin{questions}
\item Exprimer $Y$ en fonction de $X$.
\item En déduire $E(Y)$. Pour qui le jeu est-il favorable?
\item Quel est le nombre maximum de tirs que Sandy doit réussir pour que le forain gagne de l'argent?
\item Quelle est la probabilité que le forain ne gagne pas d'argent lorsque Sandy joue?
\end{questions}
\item Dans cette question, Sandy effectue $n$ tirs. Déterminer l'entier $n$ à partir duquel la probabilité que Sandy réussisse au moins un tir dépasse 99\%.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item  Chaque tir est une expérience de Bernoulli de paramètre $0,68$. Les résultats des 25 tirs sont indépendants les uns des autres, la variable aléatoire $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres 25 et $0,68$.
\item D'après le cours, $E(X) = 25\times 0,68=17 $. Cela signifie que si Sandy effectue plusieurs séries de 25 tirs, elle peut espérer en réussir en moyenne 17 par série.
\item On cherche $P(X=25)= 0,68^{25}\approx 0,00006$.
\item La probabilité que Sandy atteigne la cible au moins 20 fois est égale à :
\begin{multline*}
P(X=20)+P(X=21)+P(X=22)+P(X=23)\\+P(X=24)+P(X=25).
\end{multline*}
On utilise la calculatrice pour effectuer ce calcul et on trouve\linebreak$P(X\geqslant 20)\approx 0,141$.
\end{questions}
\item
\begin{questions}
\item $Y=0,5X-10$.
\item On a alors : $\begin{aligned}[t]
E(Y) & = E(0,5X-10)\\
& =0,5 E(X)-10\\
& = 0,5\times 17-10\\
& =-1,5.
\end{aligned}$

L'espérance du gain de Sandy étant négative, cela signifie que le jeu est défavorable à Sandy, mais par contre il est favorable au forain.
\item Le forain gagne de l'argent si Sandy gagne moins  de 10 euros, donc réussit au plus 19 tirs.
\item La probabilité que le forain ne gagne pas d'argent est donc la probabilité que Sandy réussisse au moins 20 tirs, c'est-à-dire environ $0,141$ (d'après la question 1).
\end{questions}

\item L'événement \og Sandy réussit au moins un des $n$ tirs \fg{} est l'événement contraire de l'événement \og Sandy ne réussit aucun des $n$ tirs \fg. La probabilité  de réussir au moins un tir est donc $1-0,32^n$.\\
On cherche le plus petit $n$ tel que $1-032^n\geqslant 0,99$:
\begin{align*}
1-0,32^n\geqslant 0,99 & \iff -0,32^n \geqslant 0,99-1\\
& \iff 0,32^n \leqslant 0,01\\
& \iff \ln\big(0,32^n\big) \leqslant \ln(0,01)\\
& \iff n\ln(0,32) \leqslant \ln(0,01)\\
& \iff n \geqslant \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,32)}\text{ (car }\ln(0,32)<0)\\
& \iff n \geqslant 4,04.
\end{align*}
$n$ étant un entier, la plus petite de ses valeurs qui correspond est $n=5$.

Donc, si Sandy réalise au moins 5 tirs, la probabilité qu'elle en réussisse au moins un est  supérieure ou égale à 0,99.
\end{questions}
\end{corrige}

%

\begin{exo}{Éviter le gaspillage}{Lycée Pablo Picasso, Fontenay-sous-Bois}{2}{30}
Les 500 employés d'une entreprise déjeunent à l'un ou l'autre des deux services de la cantine. La probabilité qu'un employé déjeune au premier service est égale à 0,6. On suppose que les employés prennent leur décision indépendamment les uns des autres.\par 
On note $X$ la variable aléatoire qui  donne le nombre d'employés qui mangent au premier service lors d'un déjeuner.
\begin{questions}
\item Quelle est la loi suivie par $X$? Justifier et donner ses paramètres.
\item Quelle est la probabilité qu'il y ait autant de personnes au premier service qu'au second?
\item Calculer l'espérance de $X$, puis $P(X\leqslant E(X))$.
\item Quelle est la probabilité qu'il y ait au plus 280 personnes au premier service?
\item Quelle est la probabilité qu'il y ait entre 290 et 310 personnes au premier service?
\item Si le gérant veut être sûr de pouvoir servir tous les employés quel que soit le service qu'ils choisissent, il doit prévoir 500 repas pour chaque service. Mais en prenant un petit risque, il peut faire des économies importantes et éviter un gros gaspillage.\par 
Quel est le nombre minimal de couverts à prévoir pour le premier service afin que la probabilité de servir tous les employés souhaitant manger à ce service soit supérieure ou égale à $0,99$?
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Le choix du service est une expérience de Bernoulli. Le succès est le choix du premier service et a une probabilité de 0,6. L'expérience est répétée 500 fois de façons indépendantes. $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres 500 et 0,6.
\item Il y a autant de personnes au premier service qu'au second service si il y a 250 personnes au premier service. \\
$P(X=250)= \dbinom{500}{250}\times 0,6^{250}\times 0,4^{250} \approx 1,32 \times 10^{-6}$.
\item \begin{methode}
Les calculs de probabilité demandés dans les questions 3 à 6 ne sont pas possibles \og à la main \fg. En revanche, les calculatrices permettent le calcul de $P(X\leqslant k)$ ou $P(X=k)$ dans le cas d'une loi binomiale.
\end{methode}

$E(X)=500\times 0,6=300$. \par
$P(X\leqslant 300)\approx 0,517$.
\item $P(X\leqslant 280)\approx 0,038$.
\item $P(290\leqslant X \leqslant 310)=P(X\leqslant 310)-P(X\leqslant 289)\approx 0,662$

\newpage

\item On cherche le plus petit entier $n$ tel que $P(X\leqslant n)\geqslant 0,99$.\par 
Par essais successifs, on trouve $P(X\leqslant 324)\approx0,9878$ et\newline $P(X \leqslant 325)\approx0,9904$.\par 
Il faut donc que le gérant prévoie au minimum 325 repas.
\end{questions}
\end{corrige}

 
%
 
\begin{exo}{Commission}{Lycée Saint-Louis, Saint-Nazaire}{2}{30}
Au cours d'une journée, un commercial se déplace pour visiter  quatre clients contactés lors d'une foire exposition, afin de leur proposer l'achat d'un produit de grande consommation d'une valeur de 500 euros.

Compte tenu de son expérience, le commercial estime qu'à chacune de ses visites, la probabilité que le client lui achète son objet est de $0,3$. 
\begin{questions}
\item Calculer la probabilité de l'événement A : \og Seul le premier client achète l'objet \fg.
\item Calculer la probabilité de l'événement B : \og Un seul client achète l'objet \fg.
\item On appelle $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de ventes lors des quatre visites.
\begin{questions}
\item Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ?
\item Établir le tableau de la loi de probabilité de $X$.
\end{questions}

\newpage

\item Le commercial perçoit 15\% sur le total de sa vente.
\begin{questions}
\item Établir la loi de probabilité associée au gain de la journée.
\item Quelle est l'espérance mathématique du gain ?
\end{questions}
\item Que doit être le pourcentage (arrondi au dixième) de sa commission pour que cette espérance dépasse 100 euros ? 
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
Les quatre visites successives peuvent se modéliser par la répétition d'expériences identiques et indépendantes.
\begin{questions}
\item La probabilité que seul le premier client achète l'objet est donc\linebreak$0,3\times 0,7^3 \approx 0,103$.
\item Cela peut être le premier, le deuxième, le troisième ou le quatrième client qui achète l'objet, les trois autres ne l'achetant pas. La probabilité de $B$ est donc $4 \times P(A)= 1,2 \times 0,7^3\approx 0,412$.
\item
\begin{questions}
\item Chaque visite est une épreuve de Bernoulli dont le succès est \og Le client achète l'objet \fg, de probabilité $0,3$. La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale $\mathcal{B}(4~;0,3)$.
\item La loi de probabilité de $X$ est donc :
\begin{center}
\scalebox{0.9}{%
\begin{tabular}{|C|Z{p{3cm}}|}
\hline\tabulartitle
$x_i$ & \centering\arraybackslash $P(X=x_i)$ \\
\hline
0 & $\dbinom{4}{0}\times0,7^4$\\
\hline
1 & $\dbinom{4}{1}\times0,3\times0,7^3$\\
\hline
2 & $\dbinom{4}{2}\times0,3^2\times0,7^2$\\
\hline
3 & $\dbinom{4}{3}\times0,3^3\times0,7$\\
\hline
4 & $\dbinom{4}{4}\times0,3^4$\\
\hline
\end{tabular}}
\end{center}
\end{questions}  
 
\item 
\begin{questions}
\item Si il y a $x_i$ ventes, le gain est $\dfrac{15\times500}{100}x_i=75x_i$. On déduit donc du tableau précédent la loi de probabilité de la variable aléatoire qui donne le gain de la journée.

\begin{center}
\scalebox{0.9}{%
\begin{tabular}{|C|Z{p{3cm}}|Zc|}
\hline\tabulartitle
$y_i$ & \centering\arraybackslash Probabilité & Valeur approchée\\
\hline
0 & $\dbinom{4}{0}\times0,7^4$ & $0,240$\\
\hline
75 &$\dbinom{4}{1}\times0,3\times0,7^3$ & $0,412$\\
\hline
150 & $\dbinom{4}{2}\times0,3^2\times0,7^2$ & $0,265$\\
\hline
225 & $\dbinom{4}{3}\times0,3^3\times0,7$ & $0,076$\\
\hline
300 & $\dbinom{4}{4}\times0,3^4$ & $0,008$\\
\hline
\end{tabular}}
\end{center}

\item Avec les valeurs approchées du tableau et la définition de l'espérance, on trouve que l'espérance du gain journalier est $90,15$.\\
Mais on peut aussi voir d'après la définition de l'espérance, que si l'on multiplie toutes les valeurs par un même nombre, alors on multiplie l'espérance par ce nombre. 

Puisque l'espérance d'une variable qui suit la loi binomiale est égale à $np$, si l'on multiplie ses valeurs par 75 on trouve que l'espérance du gain journalier est $4\times 0,3\times 75 =90$. C'est la valeur que nous allons prendre pour la suite car le calcul précédent était fait avec des valeurs approchées.
\end{questions}

\item Pour que l'espérance devienne supérieure à 100, il faut qu'elle soit multipliée par $\dfrac{100}{90}$. Étant donnée la définition de l'espérance, on voit qu'il suffit de multiplier toutes les valeurs de la variable par $\dfrac{100}{90}$. \enlargethispage*{\baselineskip}

Pour cela il suffit que le taux de commission soit multiplié par $\dfrac{100}{90}$ et devienne donc $\dfrac{100}{90}\times 0,15\approx 0,167$, soit environ $16,7$\%.
\end{questions}
\end{corrige}

%

\begin{exo}{Forte probabilité}{Lycée Vaugelas, Chambéry}{2}{30}
Adrien a constaté que le matin, lorsqu'il met dans la cage de son perroquet une assiette de graines, un morceau de pomme et de l'eau fraiche, celui-ci commence par boire avec une probabilité de $\dfrac{1}{4}$, commence par la pomme avec une probabilité de $\dfrac{1}{3}$ et le reste du temps commence par les graines.
\begin{questions}
\item Adrien observe le comportement de son perroquet trois jours de suite. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le perroquet a commencé par aller boire.
\begin{questions}
\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

\item Déterminer combien de chemins de l'arbre associé à l'expérience, correspondent à l'événement $(X=1)$.

Calculer $P(X=1)$ et $P(X=3)$.

\item Calculer la probabilité pour que le perroquet commence au moins une fois par aller boire.
\end{questions} 

\item On observe le perroquet $n$ jours de suite.


Calculer le nombre minimal $n$ de jours d'observation pour que la probabilité que le perroquet ait au moins une fois commencé par aller boire, soit supérieure à $95\%$.
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item On considère que chaque jour, le comportement du perroquet est indépendant de son comportement de la veille. Il y a chaque jour trois possibilités, mais comme on s'intéresse uniquement au fait que le perroquet commence par aller boire ou non, on peut considérer que l'expérience est la répétition de 3 épreuves de Bernoulli dont le succès est \og Le perroquet commence par boire \fg, avec une probabilité de $\dfrac{1}{4}$. Donc $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left(3~;\dfrac{1}{4}\right)$.

\item Par définition, le nombre de chemins associés à l'événement \linebreak$(X=1)$ est $\dbinom 3 1 =3$.\enlargethispage*{2em}

$P(X=1)=\dbinom 3 1 \times \dfrac{1}{4}\times \left( \dfrac{3}{4}\right) ^2=\dfrac{27}{64}$.

$P(X=3)=\dbinom 3 3 \times \left( \dfrac{1}{4}\right)  ^3=\dfrac{1}{64}$.

\item L'événement \og Le perroquet commence par aller boire au moins une fois \fg{} est le contraire de l'événement \og Le perroquet ne commence jamais par aller boire \fg. La probabilité cherchée est donc $1-P(X=0)=1-\left( \dfrac{3}{4}\right) ^3=\dfrac{37}{64}\approx0,58$.
\end{questions}

\item Par un raisonnement identique à celui de la question précédente, sur une période de $n$ jours, la probabilité que le perroquet ait commencé par aller boire au moins une fois est $1-0,75^n$.

On veut $1-0,75^n>0,95$, c'est-à-dire $0,75^n<0,05$. On sait que la suite géométrique de raison $0,75$ est une suite décroissante car\linebreak$0<0,75<1$. En calculant à la calculatrice  les termes successifs de cette suite, on trouve que le premier entier tels que $0,75^n<0,05$ est $n=11$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%% NEW 2023

\begin{exo}{Extrait d'un concours GEIPI Polytech}{Lycée Notre-Dame de Boulogne, Boulogne-Billancourt}{2}{30}

Une chocolaterie fabrique deux sortes de chocolats: des chocolats noirs et des chocolats au lait. 60\% des chocolats fabriqués sont noirs. Parmi ceux-ci, 70\% sont fourrés, tandis que 30\% seulement des chocolats au lait sont fourrés.

\subsectionnn{Partie A}

\textit{Dans cette partie, pour chaque probabilité demandée, on donnera sa valeur exacte.}

Un client fait une dégustation de chocolats et il en choisit un au hasard.

\newpage

On considère les événements suivants :
\begin{itemize}
\item $N$ : « le chocolat choisi est noir ».
\item $F$ : « le chocolat choisi est fourré ».
\end{itemize}

\enlargethispage*{3\baselineskip}
\begin{questions}
\item Donner la probabilité $P_1$ que le chocolat choisi soit noir.
\item Déterminer la probabilité $P_2$ que le chocolat choisi soit noir et fourré.

Justifier la réponse.
\item On note $P_3$ la probabilité que le chocolat choisi soit fourré.

Justifier que $P_3 = 0,54$.
\end{questions}

\subsectionnn{Partie B}

Un client achète une boîte de $n$ chocolats, où $n$ est un entier naturel non nul.

Chaque chocolat mis dans la boîte est choisi au hasard et on suppose le nombre de chocolats suffisamment grand pour que l'on puisse considérer que les choix successifs sont faits de façon identique et indépendante.

On note $X_n$ la variable aléatoire représentant le nombre de chocolats fourrés contenus dans la boîte.

\begin{questions}
\item Préciser la loi suivie par $X_n$.
\item Dans cette question, $n = 12$ et, pour chaque probabilité demandée, on donnera une valeur approchée à $10^{-4}$ près.
\begin{questions}
\item Donner la probabilité $P_4$ que la moitié des chocolats de la boîte soient fourrés.
\item Donner la probabilité $P_5$ que la boîte contienne au moins un chocolat fourré.
\item Donner la probabilité $P_6$ que la boîte contienne au plus trois chocolats fourrés.
\end{questions}

\item Dans cette question, $n$ est quelconque.
\begin{questions}
\item Donner, en fonction de $n$, la probabilité $q_n$ que la boîte contienne au moins un chocolat fourré.
\item Déterminer le nombre minimum $n_0$ de chocolats que doit acheter le client afin que la probabilité que la boîte contienne au moins un chocolat fourré soit strictement supérieure à 0,98.

Détailler les calculs.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\subsectionnn{Partie A}
\begin{questions}
\item D'après l'énoncé, il y a 60\% de chocolats noirs. Par conséquent,
\[
P_1=0,6.
\]
\item On nous demande de calculer ici:
\begin{align*}
P_2 & = P(N \cap F)\\
P_2 & = P(N) \times P_N(F)\\
P_2 & = 0,6 \times 0,7\\
P_2 & = 0,42.
\end{align*}

\item Nous pouvons dessiner un arbre des probabilités pour appuyer notre raisonnement (voir page suivante).

Dans cette question, on nous demande de calculer $P_3=P(F)$.

D'après la formule des probabilités totales,
\begin{align*}
P_3 & = P(N\cap F) + P(\overline{N}\cap F)\\
    & = 0,42 + 0,4\times0,3\\
    & = 0,42 + 0,12\\
    & = 0,54.
\end{align*}

\begin{center}
\includegraphics{344_binomiale-chocolats}
\end{center}

\end{questions}

\subsectionnn{Partie B}

\begin{questions}
\item L'épreuve consistant à choisir au hasard un chocolat et à regarder s'il est fourré est une épreuve de Bernoulli de probabilité $p=P(F)=0,54$.

L'expérience consistant à répéter $n$ fois de manière indépendante cette épreuve est donc un schéma de Bernoulli, dont $X_n$ représente le nombre de succès.
Par conséquent, $X_n$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,54$.

\item
\begin{questions}
\item On nous demande ici de calculer $P_4=P(X_{12}=6)$.

À l'aide de la calculatrice, on trouve:
\[
P_4 \approx 0,2171.
\]

\item On nous demande ici de calculer $P_5=P(X_{12} \geqslant 1)$.

À l'aide de la calculatrice, on trouve:
\[
P_5 \approx 0,9999.
\]

\item On nous demande ici de calculer $P_6=P(X_{12} \leqslant 3)$.

À l'aide de la calculatrice, on trouve:
\[
P_6 \approx 0,5014.
\]
\begin{aretenir}
\og au moins $k$ \fg{}  signifie \og $k$ ou plus \fg{} donc se traduit par \og $\geqslant k$ \fg.

\og au plus $k$ \fg{}  signifie \og $k$ ou moins \fg{} donc se traduit par \og $\leqslant k$ \fg.
\end{aretenir}
\end{questions}

\newpage

\item 
\begin{questions}
\item La probabilité $q_n$ pour que la boîte contienne au moins un chocolat fourré est:
\begin{align*}
q_n & = P(X_n \geqslant 1)\\
    & = P\big( \overline{X_n < 1} \big) \\
    & = 1 - P(X_n < 1)\\
    & = 1 - P(X_n=0)\\
    & = 1 - (1-0,54)^n\\
q_n & = 1 - 0,46^n.
\end{align*}

\item On cherche le premier $n$ tel que:
\begin{align*}
q_n > 0,98 & \iff  1 - 0,46^n > 0,98\\
& \iff 1-0,98 > 0,46^n\\
& \iff 0,46^n < 0,02\\
& \iff \ln\big(0,46^n\big) < \ln(0,02)\\
& \iff n\ln(0,46) < \ln(0,02)\\
& \iff n > \dfrac{\ln(0,02)}{\ln(0,46)}\\
\intertext{(on change le sens de l'inégalité car on divise par $\ln(0,46)<0$)}
& \iff n > 5,04.
\end{align*}
Il faut donc que le client achète au minimum $n_0=6$ chocolats pour que la probabilité qu'il y ait au moins un chocolat fourré soit strictement supérieure à 0,98.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%%% NEW 2023

\begin{exo}{Extrait d'un bac (Liban 2019)}{Lycée Camille Jullian, Bordeaux}{2}{30}
Chaque semaine, un agriculteur propose en vente directe à chacun de ses clients un panier de produits frais qui contient une seule bouteille de jus de fruits. Dans un esprit de développement durable, il fait le choix de bouteilles en verre incassable et demande à ce que chaque semaine, le client rapporte sa bouteille vide. 

On suppose que le nombre de clients de l'agriculteur reste constant. 

Une étude statistique réalisée donne les résultats suivants: 

\begin{itemize}
\item à l'issue de la première semaine, la probabilité qu'un client rapporte la bouteille de son panier est $0,9$; 
\item si le client a rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu'il ramène la bouteille du panier la semaine suivante est $0,95$; 
\item si le client n'a pas rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu'il ramène la bouteille du panier la semaine suivante est $0,2$. 
\end{itemize}

On choisit au hasard un client parmi la clientèle de l'agriculteur. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $R_n$ l'événement \og le client rapporte la bouteille de son panier de la $n$-ième semaine \fg. 


\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item Modéliser la situation étudiée pour les deux premières semaines à l'aide d'un arbre pondéré qui fera intervenir les événements $R_1$ et $R_2$. 
\item Déterminer la probabilité que le client rapporte ses bouteilles des paniers de la première et de la deuxième semaine. 
\item Montrer que la probabilité que le client rapporte la bouteille du panier de la deuxième semaine est égale à $0,875$. 
\item Sachant que le client a rapporté la bouteille de son panier de la deuxième semaine, quelle est la probabilité qu'il n'ait pas rapporté la bouteille de son panier de la première semaine ? 
		
On arrondira le résultat à $10^{-3}$. 
\end{questions}

\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $r_n$ la probabilité que le client rapporte la bouteille du panier de la $n$-ième semaine. 

On a alors $r_n = p\left(R_n\right)$. 
\begin{questions}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré (aucune justification n'est attendue) : 
		
\begin{center}
\includegraphics{330_binomiale-suite-1}
\end{center}

\item Justifier que pour tout entier naturel $n$ non nul, $r_{n+1} = 0,75  r_n + 0,2$. 
\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, 
\[
r_n = 0,1 \times  0,75^{n-1} + 0,8.
\]
\item Calculer la limite de la suite $\left(r_n\right)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. 
\end{questions}

\item On suppose dans cette question que la probabilité qu'un client fidèle depuis longtemps ramène sa bouteille est égale à 0,8.

On choisit au hasard et de manière indépendante parmi ces clients 20 d'entre eux. On suppose que le nombre total de ces clients est assez grand pour assimiler ces choix à un tirage avec remise.

\textit{On arrondira les probabilités au millième.}

\begin{questions}
\item Quelle est la probabilité que tous les clients ramènent leur bouteille?
\item Quelle est la probabilité qu'au moins 15 d'entre eux ramènent leur bouteille?
\item Quelle est la probabilité qu'au plus 10 d'entre eux ramènent leur bouteille?
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item D'après les informations données dans l'énoncé, on peut construire l'arbre de probabilités suivant: 
\enlargethispage*{5em}
\begin{center}
\includegraphics{346_binomiale-suite-2}
\end{center}

\item La probabilité que le client rapporte ses bouteilles des paniers de la première
et de la deuxième semaine est:
\begin{align*}
P(R_1 \cap R_2) & = 0,9 \times 0,95\\
& = 0,855.
\end{align*}

\item La probabilité que le client rapporte la bouteille du panier de la deuxième
semaine est:
\begin{align*}
P(R_2) & = P(R_1 \cap R_2) + P(\overline{R_1} \cap R_2)\\
& = 0,855 + 0,1\times0,2\\
& = 0,875.
\end{align*}

\item On cherche ici:
\begin{align*}
P_{R_2}\big(\overline{R_1}\big) 
& = \dfrac{P\big(\overline{R_1} \cap R_2\big)}{P(R_2)}\\
& = \dfrac{0,1\times0,2}{0,875}\\
& \approx 0,023.
\end{align*}
\end{questions}

% Question 2
\item
\begin{questions}
\item L'arbre complété est représenté page ci-contre.

\Par

Les probabilités conditionnelles ne changent pas par rapport à l'arbre précédent. Il faut ici imaginer que l'on fait un \og zoom \fg{} sur un événement $R_n$, $n$ étant quelconque, et compléter l'arbre en supposant connu $P(R_n)=r_n$.

\begin{center}
\includegraphics{347_binomiale-suite-3}
\end{center}


\item D'après l'arbre ci-dessus et la formule des probabilités totales:
\begin{align*}
r_{n+1} = P(R_{n+1}) & = P(R_n \cap R_{n+1}) + P(\overline{R_n} \cap R_{n+1})\\
                     & = 0,95r_n + 0,2(1-r_n)\\
                     & = 0,75r_n + 0,2.
\end{align*} 

\item On démontre par récurrence l'égalité souhaitée.
\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation:} $r_1 = P(R_1) = 0,9$ d'après l'énoncé.

De plus, $0,1\times0,75^{1-1}+0,8=0,1+0,8=0,9$.

Ainsi, l'égalité est vraie pour $n=1$.

\item \textit{Hérédité:} supposons que pour un entier $k\geqslant1$ fixé,
\[
r_k = 0,1\times0,75^{k-1}+0,8.
\]
Alors, en multipliant par 0,75, on a:
\begin{align*}
0,75r_k & = 0,75\times(0,1\times0,75^{k-1}+0,8)\\
        & = 0,1\times0,75^{k-1}\times0,75 + 0,8\times0,75\\
        & = 0,1\times0,75^{k} + 0,6.
\end{align*}
Enfin, en ajoutant $0,2$, on obtient:
\[
0,75r_k + 0,2 = 0,1\times0,75^{k} + 0,8
\]
soit :
\[
r_{k+1} = 0,1\times0,75^{k} + 0,8.
\]
L'hérédité est alors prouvée.
\end{itemize}
Ainsi, d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ non nul, 
\[
r_n = 0,1\times0,75^{n-1} + 0,8.
\]

\item $\lim\limits_{n\to+\infty} 0,75^{n-1} = 0$ car $0<0,75<1$. Par conséquent, \mbox{$\lim\limits_{n\to+\infty} r_n = 0,8$.}

Cela signifie qu'à longs termes, la probabilité qu'un client ramène sa bouteille est égale à 0,8.
\end{questions}

% question 3
\item On note $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de clients ramenant leur bouteille.

L'expérience consistant à regarder si un client ramène sa bouteille est une épreuve de Bernoulli dont le succès a pour probabilité 0,8. On répète cette épreuve 20 fois de manière indépendante.

Ainsi, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,8$.

On peut alors répondre aux questions suivantes à l'aide de la calculatrice. Voici ici l'exemple avec la calculatrice \textit{Numworks}.
\begin{itemize}
\item Dans le menu principal, on choisit l'item \og Probabilités \fg:
\Par
\begin{center}
\includegraphics{348_binomiale-numworks1} 
\includegraphics{348_binomiale-numworks2}
\end{center}
\item Ensuite, on choisit la première ligne: \og Binomiale \fg, puis on entre les paramètres de la loi binomiale:
\Par
\begin{center}
\includegraphics{348_binomiale-numworks3} 
\includegraphics{348_binomiale-numworks4}
\end{center}
\end{itemize}

\begin{questions}
\item On cherche ici $P(X = 20)$. On peut:
\begin{itemize}
\item soit calculer directement:
\[
P(X=20) = 0,8^{20} \approx 0,012.
\]
\item soit utiliser la calculatrice:
\Par
\begin{center}
\includegraphics{348_binomiale-numworks5} 
\end{center}
\end{itemize}

\item La probabilité qu'au moins 15 des clients choisis ramènent leur bouteille est $P(X\geqslant15)$.
\Par
\begin{center}
\includegraphics{349_binomiale-numworks6} 
\end{center}
La valeur approchée au millième est alors:
\[
P(X \geqslant 15) \approx 0,804.
\]

\item La probabilité qu'au plus 10 d'entre eux ramènent leur bouteille est $P(X \leqslant 10)$.
\Par
\begin{center}
\includegraphics{349_binomiale-numworks7} 
\end{center}
On trouve:
\[
P(X \leqslant 10) \approx 0,003.
\]
\end{questions}
\end{questions}
\newpage
\end{corrige}

%%%



%\begin{exo}{Jeu défavorable}{Lycée Camille Vernet, Valence}{3}{30}
%Un stand d'une kermesse propose le jeu suivant : une roue est divisée en 10 secteurs, trois bleus et sept jaunes. On fait tourner la roue, et un repère désigne un secteur lorsqu'elle s'immobilise. Chaque secteur a la même probabilité d'être désigné.\\ 
%Pour chaque partie, le joueur fait tourner trois fois de suite la roue, de façon indépendante, et on note les couleurs de chacun des trois secteurs obtenus.
%\begin{questions}
%\item Représenter cette expérience aléatoire à l'aide d'un arbre et indiquer sur chaque branche les probabilités correspondantes.
%\item Montrer que la probabilité d'obtenir trois fois le jaune est égale à $0,343$.
%\item Calculer la probabilité d'obtenir au moins une fois le bleu.
%\item Pour jouer une partie, le joueur doit miser une somme d'argent, notée $m$. S'il obtient trois fois le jaune, il perd sa mise. S'il obtient une ou deux fois le bleu, il récupère sa mise. S'il obtient trois fois le bleu, il récupère sa mise et gagne une somme égale à 10 fois sa mise.\\
%On note $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur. 
%\begin{questions}
%\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
%\item Exprimer l'espérance de $X$ en fonction de $m$.
%\item Expliquer pourquoi, quelle que soit la valeur de $m$, la règle du jeu désavantage le joueur.
%\end{questions}
%\end{questions}
%\end{exo}
%
%  
%\begin{corrige}
%\begin{questions}
%\item L'expérience est représentée par l'arbre représenté page ci-contre.
%
%Cette expérience est la répétition de trois épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. La probabilité du succès \og Obtenir le secteur jaune \fg est $0,7$. La variable aléatoire $Y$ qui donne le nombre de fois où le secteur jaune est obtenu suit donc la loi binomiale $\mathcal{B}(3~;0,7)$.
%
%
%\begin{center}
%\includegraphics{376_varind-03}
%\end{center}
%
%
%
%\item On a donc : $P(Y=3)= 0,7^3=0,343$.
%\item L'événement \og Obtenir au moins une fois le bleu \fg{} est le contraire de \og Obtenir trois fois le jaune \fg, donc la probabilité de cet événement est $1-0,343=0,657$.
%\item 
%\begin{questions}
%\item La loi de probabilité de $X$ est la suivante : 
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering\arraybackslash}Z{m{15mm}}|>{\centering\arraybackslash}Z{m{18mm}}|>{\centering\arraybackslash}X|}
%\hline\tabulartitle
%Valeurs $x_i$ & $P(X=x_i)$ & Valeur numérique\\
%\hline
%$-m$ & $P(Y=3)$ & $0,343$\\
%\hline
%0 &$P(Y=1)$\linebreak$+P(Y=2)$ & $3\times0,7\times0,3^{2\strut}+3\times0,7^2\times0,3$\linebreak$=0,63$\\
%\hline
%$10m$ & $P(Y=0)$ & $0,3^3=0,027$\\
%\hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%\Par
%
%\item $E(X)=-m \times0,343+0+10m \times0,027=-0,073 m$.
%
%\Par
%
%\item Quelle que soit la valeur de $m$, qui est un nombre positif, l'espérance de la variable aléatoire égale au gain du joueur est négative, ce qui signifie que, sur un grand nombre de parties, le joueur a de fortes chances de perdre en moyenne $0,073$ fois sa mise de départ. La règle du jeu désavantage donc le joueur.
%\end{questions}
%\end{questions}
%\newpage
%\end{corrige}
%
%%
%
%\begin{exo}{Rendre un jeu équitable}{Lycée Victor Louis, Talence}{3}{30}
%Un jeu consiste à lancer quatre fois une pièce de monnaie équilibrée. Le résultat de chaque lancer est indépendant des autres.
%\begin{questions}
%\item Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où Face est apparu au cours de quatre lancers ? Dresser le tableau de cette loi de probabilité.
%\item Le joueur gagne 40 points s'il n'obtient que des Piles. S'il obtient trois Faces, il perd 20 points, s'il obtient 2 Faces, il perd 10 points et dans les autres cas, il ne gagne ni ne perd aucun point. On note $Y$ la variable aléatoire qui à une partie associe le nombre de points gagnés (ou perdus).
%\begin{questions}
%\item Établir la loi de probabilité de $Y$.
%\item Calculer, en précisant les calculs effectués, l'espérance $E$ de cette variable aléatoire.
%\item Conseilleriez-vous de jouer à ce jeu ? Pourquoi ?
%\item Sans rien modifier d'autre par ailleurs, combien le  joueur devrait-il gagner en n'ayant que des Piles pour que ce jeu devienne équitable ?
%\end{questions}
%\end{questions}
%\end{exo}
%
%
%\begin{corrige}
%\begin{questions}
%\item Le jeu est une répétition de 4 expériences identiques et indépendantes, qui ont deux issues, et dont le succès, \og Obtenir Face \fg{} a pour probabilité $0,5$. La variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de Faces obtenues suit donc la loi binomiale de paramètres 4 et $0,5$.
%
%
%Le tableau de la loi de probabilité est donc:
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|R|*5{Zc|}}
%\hline
%$x_i$&0&1&2&3&4\\
%\hline
%$P(X=x_i)$&$0,5^4$&$4\times 0,5^4$&$6\times 0,5^4$&$4 \times0,5^4$&$0,5^4$\\
%\hline
%\end{tabular}
%\end{center}
%\item \begin{questions}
%\item $P(Y=40)=P(X=0)$.\\
%$P(Y=-20)=P(X=3)$.\\ 
%$P(Y=-10)=P(X=2)$.\\
%La loi de probabilité de $Y$ est donc :
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|R|*4{Zc|}}
%\hline
%$y_i$&40&$-20$&$-10$&0\\
%\hline
%$P(Y=y_i)$&$0,0625$&$0,25$&$0,375$&$0,3125$\\
%\hline
%\end{tabular}
%\end{center}
%\item $\begin{aligned}[t]
%E(Y) & =40\times 0,0625-20\times0,25-10\times0,375+0\times0,3125 \\
%E(Y) & =-6,25
%\end{aligned}$
%\item Comme l'espérance du gain du joueur est négative, ce jeu est défavorable au joueur. Il n'a donc pas intérêt à y jouer.
%\item Si on veut modifier le gain pour que $E(Y)=0$, il faut gagner la somme $S$ telle que $S\times 0,0625-20\times0,25-10\times0,375=0$, c'est-à-dire $S=140$. Le joueur devrait donc gagner 140 points s'il n'obtient que des Piles.
%\end{questions}
%\end{questions}
%\end{corrige}
%

\sectionnn{Objectif bac}

\begin{exo}{Probabilités et QCM}{Asie, sujet 1, septembre 2025\newexo}{2}{30}
Dominique répond à un QCM comportant 10 questions.

Pour chaque question, il est proposé 4 réponses dont une seule est exacte.

Dominique répond au hasard à chacune des 10 questions en cochant, pour chaque question, exactement une case parmi les 4.

Pour chacune des questions, la probabilité qu’il réponde correctement est donc $\dfrac{1}{4}$.

On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de bonnes réponses à ce QCM.

\begin{questions}
\item Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire $X$ et donner les paramètres de cette loi.
\item Quelle est la probabilité que Dominique obtienne exactement 5 bonnes réponses?

Arrondir le résultat à $10^{-4}$  près.

\item Donner l’espérance de $X$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

\item On suppose dans cette question qu’une bonne réponse rapporte un point et qu’une mauvaise réponse fait perdre 0,5 point. La note finale peut donc être négative.

On note $Y$ la variable aléatoire qui donne le nombre de points obtenus.
\begin{questions}
\item Calculer $P(Y = 10)$. On donnera la valeur exacte du résultat.
\item À partir de combien de bonnes réponses la note finale de Dominique est-elle positive? Justifier.
\item Calculer $P(Y \leqslant 0)$. On donnera une valeur approchée au centième.
\item Montrer que $Y=1,5X-5$.
\item Calculer l’espérance de la variable aléatoire $Y$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item L'expérience consistant à choisir au hasard une réponse à une question du QCM est une expérience de Bernoulli (deux issues) donc la probabilité du succès est $\dfrac{1}{4}$.

On répète 10 fois de manière indépendante cette expérience, donc la variable aléatoire $X$ représentant le nombre de succès à l'issue de cette succession d'épreuves indépendantes suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\dfrac{1}{4}$.

\item La probabilité que Dominique obtienne exactement 5 bonnes réponses est :
\[
P\left (X=5\right ) = \binom{10}{5} \times \left (\frac{1}{4}\right )^5 \times \left (1-\frac{1}{4}\right )^{10-5}\approx \numprint{0,0584}.
\]

\item L'espérance de $X$ est:
\[
E(X)=np = 10\times \frac{1}{4}= 2,5.
\]
Cela signifie que Dominique a en moyenne $2,5$ bonnes réponses.

\item 
\begin{questions}
\item Pour réaliser l'événement $(Y=10)$, il faut que toutes les réponses soient justes donc on calcule:
\[
P\left (Y = 10\right )=P\left (X = 10\right ) = \left (\frac{1}{4}\right )^{10}.
\]

\item On peut calculer la valeur de $Y$ en fonction de celle de $X$:
\begin{itemize}
\item On a vu que $(Y = 10)$ équivalait à $(X=10)$.
\item Si $X = 9$, il y a 9 bonnes réponses qui rapportent 9 points, et une mauvaise réponse qui en retire un demi; donc $Y=8,5$.
\item Si $X = 8$, il y a 8 bonnes réponses qui rapportent 8 points, et deux mauvaises réponses qui retirent deux demi-points; donc $Y=7$.
\item Etc.
\end{itemize}

On regroupe tous les résultats possibles dans un tableau.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|C| *{6}{>{\centering\arraybackslash} X|}}
\hline
$X$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
\hline
$Y$ & $-5$ & $-3,5$ & $-2$ & $-0,5$ & $1$ & $2,5$ \\
\hline
\end{tabularx}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|C| *{5}{>{\centering\arraybackslash} X|}}
\hline
$X$ & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\
\hline
$Y$ & $4$ & $5,5$ & $7$ & $8,5$ & $10$ \\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

Donc la note finale de Dominique est positive à partir de 4 bonnes réponses.

\item D'après le tableau précédent, $P\left (Y\leqslant 0\right )=P\left (X\leqslant 3\right )$.

Donc $P\left (Y\leqslant 0\right ) \approx 0,78$.

\item $X$ prend toutes les valeurs entières entre 0 et 10. 

Pour $X$ bonnes réponses qui rapportent $X$ points, il y en a $10-X$ mauvaises qui retirent $0,5\left (10-X\right )$ points.

Donc:
\begin{align*}
Y & = X-0,5\left (10-X\right )\\
Y & = X-5+0,5X\\
Y  & = 1,5X-5.
\end{align*}

\item D'après la linéarité de l'espérance mathématique, on a:
\begin{align*}
E\left (Y\right ) & = E\left (1,5X-5\right )\\
E(Y)& =1,5\times E\left (X\right ) - 5 \\
E(Y)& = 1,5\times 2,5 - 5\\
E(Y)& = -1,25.
\end{align*}		
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}


\thumb
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