\thumb

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex1

\begin{vf}{Forme algébrique}{10}
Parmi les propositions suivantes, quelles sont celles qui sont exactes ?
\begin{questions}
\item
Si $z=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\im$, alors $z^4 \in \R$.

\item
Si $z+\overline{z}=0$ alors $z=0$.

 \item
 Si $z+\dfrac{1}{z}=0$ alors $z=\im$ ou $z=-\im$.
 
\item
Si $\left|z\right|=1$ et $\left|z+z'\right|=1$ alors $z'=0$.
\end{questions}
\end{vf}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \textit{Vrai}. On commence par calculer $z^2=\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\im\right)^2=-\dfrac{1}{2}\im$. Il vient ensuite $z^4=\left(-\dfrac{1}{2}\im\right)^2 =-\dfrac{1}{4}$.

\item \textit{Faux}. Il suffit de choisir $z$ imaginaire pur : si $z=2\im$ alors $z+\overline{z}=0$.

\item \textit{Vrai}.  Si $z+\dfrac{1}{z}=0$ alors $\dfrac{z^2+1}{z}=0$ ce qui équivaut, pour $z$ non nul, à $z^2=-1$. Cette équation a deux solutions: $\im$ et $-\im$.
 
\item \textit{Faux}. Si $z=1$ et $z'=-2$, alors $z+z'=-1$ et on a $\left|z\right|=1$ et $\left|z+z'\right|=1$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex2

\begin{vf}{Forme exponentielle} {10}
On considère les deux nombres complexes $a= 1+\im \sqrt{3}$ et $b=1-\im$.
Parmi les propositions suivantes, quelles sont celles qui sont exactes ?
\begin{questions}
\item Un argument de $a$ est arg $a=\dfrac{\pi}{6}$.

\item La forme trigonométrique de $b$ est $b=\sqrt{2}\nep^{-\im \frac{\pi}{4}}$.

 \item
 Il existe un entier naturel non nul $n$ tel que $a^n$ soit réel.
 
\item
Il existe un entier naturel non nul $n$ tel que $b^n=1$.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \textit{Faux}. Le nombre $a$ a pour argument $\dfrac{\pi}{3}$.

\item \textit{Faux}. Le module de $b$ est $\sqrt{2}$ et il admet $-\dfrac{\pi}{4}$ comme argument mais $\sqrt{2}\nep^{-\im \frac{\pi}{4}}$ est la \textit{forme exponentielle} de $b$, et non sa forme \textit{trigonométrique}.

\item \textit{Vrai}. On a $a=2\nep^{\frac{\pi}{3}\im}$ donc $a^3=2^3\nep^{\im \pi} = -8$.
 
\item \textit{Faux}. Supposons qu'il existe un entier $n$ non nul tel que $b^n=1$, alors on aurait $\left|b^n\right|=\left|b\right|^n=1$ d'où on déduirait $\left|b\right|=1$ ce qui est contradiction avec le résultat trouvé à la question 2.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{vf}{Interprétation géométrique} {10}
On considère dans $\C$ l'équation :
\[
z^2-2z+5=0.
\]
On désigne ses racines par $z_1$ et $z_2$, la partie imaginaire de $z_1$ étant strictement positive. Soient $M_1$ et $M_2$ les images respectives des deux racines dans le plan complexe.
Parmi les propositions suivantes, quelles sont celles qui sont exactes ?
\begin{questions}
\item
Les points $M_1$ et $M_2$ appartiennent au cercle de centre $O$ et de rayon 5.

\item
Le triangle $OM_1M_2$ est équilatéral.

 \item
 L'axe $(Ox)$ est la médiatrice du segment $[M_1M_2]$.
 
\item
Le milieu $I$ du segment $[M_1M_2]$ a pour affixe $2\im$.
\end{questions}
\end{vf}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \textit{Faux}. Les deux racines de l'équation proposée sont $z_1=1+2\im$ et\\ 
$z_2=1-2\im$. Leur module est donc égal à $\sqrt{5}$. Par suite, les points $M_1$ et $M_2$ appartiennent au cercle de centre $O$ et de rayon $\sqrt{5}$.

\item \textit{Faux}. Le triangle $OM_1M_2$ est isocèle non équilatéral car\\
$OM_1=OM_2=|z_1|=|z_2|=\sqrt{5}$ et $M_1M_2=|z_2-z_1|=4$.

\item \textit{Vrai}. Les racines de l'équation sont deux nombres complexes conjugués donc leurs images sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Ainsi l'axe $(Ox)$ est la médiatrice du segment $[M_1M_2]$.

\item \textit{Faux}. Le milieu $I$ du segment $[M_1M_2]$ a pour affixe $\dfrac{z_1+z_2}{2}=1$.
\end{questions}
\newpage
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace*{-1em}
\sectionnn{Partie algébrique}
\enlargethispage*{5em}

\vspace*{-1em}
\begin{exo}{Forme algébrique}{ Lycée Thiers, Marseille}{1}{10}
Mettre sous la forme algébrique les nombres complexes suivants : 
\[
\dfrac{1+\im \sqrt{2}}{\sqrt{2}-\im }\quad ; \quad
\left(\dfrac{1-\im }{1+\im }\right)^2
\quad
\text{ et }
\quad
\im +\dfrac{1} {\im }.
\]

%
\end{exo}

\begin{corrige}
Multiplions le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur : 
$$\dfrac{1+\im  \sqrt{2} }{\sqrt{2}-\im } 
=\dfrac{(1+\im \sqrt{2})(\sqrt{2}+\im )}{3} 
=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{2}+2\im +\im }{3}=\im.$$
  
De même, 
$\left(\dfrac  {1-\im }{1+\im } \right)^2 = \dfrac{(1-\im)^2(1-\im)^2}{(1+\im)^2(1-\im)^2} =\dfrac{(1-\im )^4}{(1^2+1^2)^2} =\dfrac{(-2\im )^2}{4}=-1$,\\
ainsi que : 
$\im+\dfrac{1}{\im }=\dfrac{\im ^2+1}{\im } 
=\dfrac{-1+1}{\im }=0.
$

\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{Conjugué et forme algébrique}{Lycée Masséna, Nice\newexo}{1}{10}
Mettre sous la forme algébrique le conjugué du nombre complexe suivant :
\[
\dfrac{(3-2\im )(5+\im )}{3\im (7+2\im )}.
\]
\end{exo}

\begin{corrige}
D'après les propriétés du conjugué d'une somme, d'un produit et d'un quotient, le conjugué de ce nombre complexe vaut : 
\[
\overline{\left(\dfrac{(3-2\im )(5+\im )}{3\im (7+2\im )}\right)}=\dfrac{\overline{(3-2\im)}\times\overline{(5+\im)}}{\overline{3\im}\times\overline{(7+2\im)}}=
\dfrac{(3+2\im )(5-\im )}{-3\im (7-2\im )}.
\]
Développons le numérateur et le dénominateur, nous trouvons : 
\[
\dfrac{-(3+2\im )(5-\im )}{3\im (7-2\im )}=-\dfrac{17+7\im }{6+21\im }.
\]
Multiplions en haut et en bas par le conjugué du dénominateur : 
$$\dfrac{-(3+2\im )(5-\im )}{3\im (7-2\im )}=-\dfrac{(17+7\im )(6-21\im )}{477} 
=-\dfrac{83}{159}+\im \dfrac{35}{53}.
$$
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo}{Opérations sur les conjugués}{Lycée Buffon, Paris}{1}{10}
Montrer que, pour tout $z$ complexe non nul, on a :
\[
\overline{\left(z+\dfrac{1}{z}\right)}
-\dfrac{\overline{1+z}}{\overline{z}}=\overline{z}-1.
\]
\end{exo}

\begin{corrige}
Simplifions le nombre complexe proposé à l'aide des propriétés des conjugués : 
$$
\overline{z+\dfrac{1}{z}}
-\dfrac{\overline{1+z}}{\overline{z}}
=\dfrac{\overline{z}^2+1-1-\overline{z}}{\overline{z}} 
=\dfrac{{\overline{z}}^2-\overline{z}}{\overline{z}}.
$$
(On a utilisé
$\overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\times\overline{z_2}$ et $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$.)
\par Simplifions par $\overline{z}$ :
\[
\overline{z+\dfrac{1}{z}}-\dfrac{\overline{1+z}}{\overline{z}}
=\dfrac{\overline{z}^2-\overline{z}}{\overline{z}} 
=\overline{z}-1.
\]
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{Caractérisation des nombres réels}{Lycée Chaptal, Paris}{1}{10}
Soient $z_1$ et $z_2$ deux nombres complexes de module $1$ avec
$1+z_1z_2\neq 0$.
\par
Démontrer que  $Z=\dfrac{z_1+z_2}{1+z_1z_2}$  est réel.
\end{exo}

\begin{corrige}
Il s'agit de démontrer que  $Z=\overline{Z}$. 
\par
Calculons donc :
\[
Z-\overline{Z}=\dfrac{z_1+z_2}{1+z_1z_2}-
\dfrac{\overline{z_1}+\overline{z_2}}{1+\overline{z_1}\overline{z_2}}.
\]
En réduisant au même dénominateur : 
\begin{align*}
Z-\overline{Z}&=\dfrac{z_1+z_2+\overline{z_1}\overline{z_2}z_1+
\overline{z_1}\overline{z_2}z_2-\overline{z_1}-\overline{z_2}-
\overline{z_1}z_1z_2-\overline{z_2}z_2z_1}{(1+z_1z_2)
(1+\overline{z_1}\overline{z_2})}.\\
\intertext{Comme \ 
$|z_1|^2 = z_1\overline{z_1}=1$ \ et \ 
$|z_2|^2 = z_2\overline{z_2}=1$, on obtient :} 
Z-\overline{Z}&=\dfrac{z_1+z_2+\overline{z_1}+\overline{z_2}-z_1-z_2-
\overline{z_1}-\overline{z_2}}{(1+z_1z_2)
(1+\overline{z_1}\overline{z_2})}=0.
\end{align*}
Ainsi, $Z$ est réel.
%
\begin{methode}
Pour montrer qu'un nombre complexe $Z$ est réel, on peut 
\begin{itemize}
\item
montrer que sa partie imaginaire est nulle
\item
montrer qu'il est non nul et qu'il admet un argument de la forme $k\pi$ où $k$ désigne un entier relatif
\item
montrer qu'il est égal à son conjugué.
\end{itemize}
\end{methode}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{\'Equations avec conjugué}{Lycée François Rabelais, Saint-Brieux\newexo}{1}{10}
Résoudre dans $\C$ les équations suivantes.
vérifient :
\begin{questions}
\begin{multicols}{2}
\item $(\im-1)\bar{z}+2z=5+9\im$.
\item $3z^2+12z+39=0$
\end{multicols}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $(\im-1)\bar{z}+2z=5+9\im$.

Pour résoudre cette équation, on pose $z=x+y\im$. Alors, $\bar{z}=x-y\im$ et l'équation s'écrit:
\begin{align*}
& (\im-1)(x-y\im)+2(x+y\im)=5+9\im\\
\iff & x\im-y\im^2-x+y\im+2x+2y\im=5+9\im\quad\text{avec }\im^2=-1\\
\iff & x+y + (x+3y)\im = 5+9\im\\
\iff &\begin{cases}
x+y&=5\qquad(L_1)\\
x+3y&=9\qquad(L_2)
\end{cases}\\
\iff & \begin{cases}
(L_2)-(L_1) &\iff  2y=4 \iff y=2\\
(L_1) & \iff x = 5-2 = 3
\end{cases}
\end{align*}
L'équation admet donc pour ensemble solution: $\mathcal{S}=\{3+2\im\}$.

\newpage

\item $3z^2+12z+39=0$.

C'est une équation du second degré donc on peut calculer son discriminant, mais avant tout, remarquons que l'on peut diviser tous les coefficients par 3. Ainsi,
\[
3z^2+12z+39=0 \iff z^2+4z+13=0.
\]
$\Delta = b^2-4ac=4^2-4\times1\times13=-36=36\im^2=(6\im)^2$. 

Ainsi, les solutions de l'équation sont:
\[
z_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-4-6\im}{2}=-2-3\im
\]
et $z_2=\overline{z_1}=-2+3\im$.

\begin{aretenir}
Si $z_1$ est une solution complexe non réelle d'une équation du second degré alors $z_2=\overline{z_1}$ est la seconde.
\end{aretenir}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{Résolution d'équations polynomiales}{Lycée  Carnot, Dijon}{1}{15}%
On considère l'équation 
$
Z^3-12Z^2+48Z-128=0
$.
\begin{questions}
\item Montrer que $8$ est solution de cette équation.
\item Déterminer $a$ et $b$ deux réels tel que : 
\[
Z^3-12Z^2+48Z-128=(Z-8)(Z^2+aZ+b).
\]
\item Résoudre l'équation proposée.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Posons  $P(Z)=Z^3-12Z^2+48Z-128$, et calculons $P(8)$ :
\[
P(8)=512-12\times64+48\times8-128=0.
\]
Le réel $8$ est donc bien racine de $P$.
\item On cherche donc $a$ et $b$ tel que : 
\[
(Z-8)(Z^2+aZ+b)=Z^3+(a-8)Z^2+(b-8a)Z-8b=P(Z).
\]
En identifiant terme à terme, on trouve : $a=-4$ et $b=16$.
\par
Ainsi on a :
\[
P(Z)=(Z-8)(Z^2-4Z+16).
\]
\item Si $z$ est racine de $P$, ou bien $z=8$, ou bien $z$ est
racine de $Z^2-4Z+16$. 
\par
Recherchons les racines de ce trinôme du second degré. 
On calcule d'abord \linebreak $\Delta=-48=(4\im\sqrt{3})^2$. On en déduit les racines de ce trinôme, et finalement celles de \ $P$ :
\[
\left\{8~;2+2\im \sqrt{3}~;2-2\im \sqrt{3}\right\}.
\]
\end{questions}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{Racines d'un polynôme}{Lycée Masséna, Nice}{1}{25}
Soit $P(z)=z^4-14z^3+74z^2-126z+585$.
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item Calculer $P(3\im )$.
\item Montrer que si $z$ est racine de $P$, alors $\overline{z}$ est aussi racine de $P$. Qu'en déduit-on ? 
\end{questions}
\item Déterminer un trinôme $Q(z)$ à coefficients réels tel que :\\ $P(z)=(z^2+9)Q(z).$ 
En déduire toutes les racines de $P$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item Montrons que $3\im $ est racine de:
\[
z^4-14z^3+74z^2-126z+585.
\]
Commençons par calculer les puissances
itérées de $3\im $ : 
\[
(3\im )^1=3\im,\quad
(3\im )^2=-9,\quad
(3\im )^3=-27\im,\quad\text{et}\quad 
(3\im )^4=81.
\]
Calculons ensuite $P(3\im )$ : 
\[
P(3\im )=81-14\times(-27\im )+74\times(-9)-126
\times(3\im )+585=0.
\]
\item Comme $P$ est à coefficients réels, pour tout z on a : 
\[
\overline{P(z)}=P\left(\overline{z}\right).
\]
Ainsi si $z$ est racine de $P$, $\overline{z}$ est aussi racine de
$P$. 
\par
On en déduit que $-3\im $ est aussi racine de $P$.
\end{questions}
\item Par une méthode de coefficients indéterminés, on trouve :
\[
P(z)=(z^2+9)(z^2-14z+65).
\]
Les racines de $z^2+9$ sont $3\im$ et $-3\im$ (déjà connues). Les autres racines de $P$ sont les solutions $z_1$ et $z_2$ de
$z^2-14z+65=0$ : 
\[
\Delta=-64\qquad \text{donc}\qquad z_1=7+4\im \quad\text{et}\quad z_2=7-4\im.
\]
Les racines de $P$ forment donc l'ensemble $\{-3\im~;~3\im~;~7-4\im~;~7+4\im\}$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%\begin{exo}{Polynôme de degré quatre}{Lycée  du Parc, Lyon}{2}{30}
%Soit $P(z)=z^4-3z^3+\dfrac{9}{2}z^2-3z+1$.\par
%On va chercher à calculer les racines de $P$.
%\begin{questions}
%\item Calculer $P(1+\im )$.
%\item Comparer $P\left(\overline{z}\right)$ et
%$\overline{P(z)}$.
%\item Montrer que si $z_0$ est racine de $P$ alors $\overline{z_0}$
%est aussi racine de $P$.
%\item Montrer que si $z_0$ est racine de $P$ alors $\dfrac{1}{z_0}$ est aussi racine de $P$.
%\item Déterminer toutes les racines de $P$, sachant que $P$ a au plus quatre racines.
%\end{questions}
%\end{exo}
%
%
%\begin{corrige}
%\begin{questions}
%\item Mettons $1+\im $ sous forme exponentielle pour en calculer
%plus facilement les puissances successives :
%\[
%\left\{\begin{aligned}
%1+\im &=\sqrt{2} \nep^{\im \frac{\pi}{4}} =1+\im \\
%(1+\im )^2&=2 \nep^{\im \frac{\pi}{2}} =2\im \\
%(1+\im )^3&=2\sqrt{2}\nep^{\im \frac{3\pi}{4}} =-2+2\im \\
%(1+\im )^4&=4\nep^{\im \pi} =-4.
%\end{aligned}\right.
%\]
%Calculons alors $P(1+\im )$ : 
%\[
%\begin{aligned}
%P(1+\im )&=-4-3(-2+2\im )+\dfrac{9}{2}(2\im )-3(1+\im )+1 \\
%&=-4-3+1+6+9\im -6\im-3\im \\
%&=0.
%\end{aligned}
%\]
%\item Comme $P$ est à coefficients réels on a :
%\begin{align*}
%\overline{z^4-3z^3+\dfrac{9}{2}\,z^2-3z+1} 
%&=\overline{z^4}-3\overline{z^3}+\dfrac{9}{2}\,\overline{z^2}-3\overline{z}+1 \\
%&=\overline{z}^4-3\overline{z}^3+
%\dfrac{9}{2}\overline{z}^2-\overline{z}+1. \\
%\intertext{On en déduit que $ P\left(\overline{z}\right)=\overline{P(z)}$.}
%\end{align*}
%\item\label{compl_ex15} Supposons $z_0$ racine de $P$. Puisque  $\overline{P(z_0)}=0$, 
%on a alors :
%\[
%P\left(\overline{z_0}\right)=0
%\quad
%\text{(car $P(\overline{z_0})=\overline{P(z_0)}$)}.
%\]
%\item\label{compl_ex16} Supposons $z_0$ racine de $P$. Remarquons que $z_0\neq 0$
%($P(0)\neq 0$). 
%\par
%Factorisons $P(z_0)$ par $z_0^4$ : 
%\begin{align*}
%z_0^4-3z_0^3+\dfrac{9}{2}z_0^2-3z_0+1&=z_0^4\left(1-3\dfrac{1}{z_0}+
%\dfrac{9}{2}\dfrac{1}{z_0^2}-3\dfrac{1}{z_0^3}+\dfrac{1}{z_0^4}\right) .
%\end{align*} 
%Finalement :   \ $\displaystyle P(z_0)=z_0^4\cdot P\left(\dfrac{1}{z_0} \right)$.
%
%On en déduit que $\dfrac{1}{z_0}$ est racine de $P$.
%\item Le nombre $1+\im $ est racine de $P$. D'après les questions précédentes  
%$\displaystyle 1-\im$, $\dfrac{1}{1+\im }$ et
%$\dfrac{1}{1-\im }$  sont aussi racines de $P$.
%\Par
%Finalement $P$ a pour racines les quatre complexes suivants : 
%\[
%1+\im
%,
%\quad
%1-\im 
%,
%\quad 
%\dfrac{1-\im}{2}
%\quad
%\text{ et }
%\quad
%\dfrac{1+\im}{2}.
%\]
%\end{questions}
%\end{corrige}
%
\begin{exo}{Ensemble de nombres}{Lycée François Rabelais, Saint-Brieuc\newexo}{2}{15}
Soit $z$ un nombre complexe non nul. On pose $Z=(3-\im)z+(3\im-\bar{z})\im$.
\begin{questions}
\item \'Ecrire $\overline{Z}$ en fonction de $z$ et de $\bar{z}$.
\item En posant $z = x + y\im$, démontrer que $Z=3x-3+(3y-2x)\im$.
\item Déterminer l'ensemble des nombres complexes $z$ tels que :
\begin{questions}
\item $Z$ est un nombre réel.
\item $Z$ est un nombre imaginaire pur.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $Z=(3-\im)z+(3\im-\bar{z})\im$ donc, par propriétés du conjugué, 
\[
\overline{Z}=\overline{(3-\im)}\bar{z}+\overline{(3\im-\bar{z})}\bar{\im}=(3+\im)\bar{z} + (z+3\im)\im.
\]

\item En posant $z=x+y\im$, on a:
\begin{align*}
Z & = (3-\im)(x+y\im)+(3\im-(x-y\im)\im\\
  & = 3x+3y\im -x\im-y\im^2+3\im^2-x\im+y\im^2,\quad\text{avec }\im^2=-1\\
  & = 3x-3 + (3y-2x)\im.
\end{align*}

\item
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
Z\text{ est un réel } & \iff \Im(Z)=0 \\
& \iff 3y-2x=0\\
& \iff y = \dfrac{2}{3}x.
\end{aligned}$

Ainsi, l'ensemble des nombres complexes $z$ tels que $Z$ est un réel est l'ensemble:
\[
\left\{ z = x + \dfrac{2}{3}x\im,\ x\in\R \right\}.
\]

\item $\begin{aligned}[t]
Z\text{ est un imaginaire pur} & \iff \Re(Z)=0\\
& \iff 3x-3=0\\
& \iff x = 1
\end{aligned}$

Ainsi, l'ensemble des nombres complexes $z$ tels que $Z$ est un imaginaire pur est l'ensemble:
\[
\left\{ z = 1 + y\im,\ y\in\R \right\}.
\]
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}


\sectionnn{Formes trigonométrique et exponentielle}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{Vrai ou Faux}{Lycée \'Evariste Galois, Sartrouville}{1}{15}
Préciser pour chacune des égalités suivantes si elle est vraie ou fausse.
\begin{questions}
\begin{multicols}{2}
\item $\dfrac{\sqrt{3}-\im}{1+\im}=\nep^{-\frac{5\im \pi}{12}}$
\item $\dfrac{1+\im}{1-\im}= \im$
\item $\dfrac{\sqrt{2}(1-\im)}{\sqrt{3}-\im}=\nep^{-\frac{\im \pi}{12}}$
\item $\dfrac{\sqrt{3}+\im}{1-\im\sqrt{3}}=\im$
\item $\dfrac{-1+\im}{1+\im\sqrt{3}}=\nep^{-\frac{5\im \pi}{12}}$
\end{multicols}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \label{chap9ex7_1}
\textit{Faux}. Comparons les modules de $\dfrac{\sqrt{3}-\im}{1+\im}$ et de $\nep^{-\frac{5\im \pi}{12}}$ : \Par
$$\left|\nep^{-\frac{5\im \pi}{12}}\right|=1 \quad ; \quad
\left|\sqrt{3}-\im \right|=2 \qquad ; \quad
\left|1+\im\right|=\sqrt{2}.$$
Comme le module d'un quotient est égal au quotient des modules,
\[
\left|\dfrac{\sqrt{3}-\im}{1+\im}\right|=\sqrt{2}.
\]
Les deux nombres complexes considérés ont des modules différents; ils ne sont donc pas égaux.

\item \textit{Vrai}. Il suffit de multiplier les deux termes du quotient par le conjugué du dénominateur et d'effectuer les produits :
\[
\dfrac{1+\im}{1-\im}= \dfrac{(1+\im)^2}{(1+\im)(1-\im)}=\im.
\]

\item \textit{Vrai}. On écrit le nombre complexe $\dfrac{\sqrt{2}(1-\im)}{\sqrt{3}-\im}$ sous forme exponentielle. Pour cela, on en détermine le module et un argument.\par
$$\left|\sqrt{2}(1-\im)\right|=2 \qquad \left|\sqrt{3}-\im\right|=2\;, $$
donc :
\[
\left|\dfrac{\sqrt{2}(1-\im)}{\sqrt{3}-\im}\right|=1.
\]
$$\arg{\left(\sqrt{2}(1-\im)\right)}=-\dfrac{\pi}{4}\pod{2\pi} \qquad ; \qquad
\arg{\left(\sqrt{3}-\im\right)}=-\dfrac{\pi}{6}\pod{2\pi}.$$
On en déduit que:
\[
\arg{\dfrac{\sqrt{2}(1-\im)}{\sqrt{3}-\im}}=-\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{\pi}{12}.
\]
Par conséquent,
\[
\dfrac{\sqrt{2}(1-\im)}{\sqrt{3}-\im}=\nep^{-\frac{\im \pi}{12}}.
\]
%
\item \textit{Vrai}. Il suffit de multiplier les deux termes du quotient par le conjugué du dénominateur.
%
\item \textit{Faux}. On raisonne comme à la question \ref{chap9ex7_1} en comparant les modules des deux nombres complexes.

$\left|\dfrac{-1+\im}{1+\im\sqrt{3}}\right|=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\left|\nep^{-\frac{5\im \pi}{12}}\right|=1$, donc ces deux nombres complexes ne sont pas égaux.
\end{questions}
\end{corrige}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{Forme exponentielle}{Lycée En Forêt, Montargis}{1}{15}%
\begin{questions}
\item Donner la forme algébrique de $(1+\im )^{11}$.
\item Donner la forme algébrique de $(-1-\im )^{15}$.
(On pourra pour cela passer par la forme exponentielle)
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
Écrivons $1+\im $ sous la forme exponentielle : \  
$\displaystyle 1+\im =\sqrt{2}\nep^{\im \frac{\pi}{4}}$.\\

Ainsi on peut alors calculer aisément : 
$$
(1+\im )^{11}=\left( \sqrt{2}\right)^{11}\nep^{\im \frac{11\pi}{4}} .
$$
Enfin notons que  \ $\displaystyle \nep^{\im \frac{11\pi}{4}}=\nep^{\im \frac{3\pi}{4}}$.
On a donc :
$$(1+\im )^{11}=\left( \sqrt{2} \right)^{11}\nep^{\im\frac{3\pi}{4}} 
=32 \sqrt{2} \left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{\im }{\sqrt{2}} \right) 
=-32+32\im .
$$
\item 
Notons que  \ $(-1-\im )^{15}=-(1+\im )^{15}$ puisque l'exposant est impair. 
On peut donc comme ci-dessus obtenir, en utilisant ici  $\nep^{\im \frac{15\pi}{4}}=\nep^{-\im \frac{\pi}{4}}$\  :
\[
(-1-\im )^{15}=-(\sqrt{2})^{15} \nep^{\im \frac{15\pi}{4}} =-(\sqrt{2})^{15} \nep^{-\im\frac{\pi}{4}} 
=-128\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{\im }{\sqrt{2}}\right)\;\]
soit : $(-1-\im )^{15}=-128+128\im \;.$
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{Nombres complexes et trigonométrie}{Lycée du Parc, Lyon}{1}{15}%

Posons $: u=-\sqrt{\smash[b]{2+\sqrt{2}}}+\im \sqrt{\smash[b]{2-\sqrt{2}}}$.

\begin{questions}
\item Calculer $u^2$ sous forme algébrique.
\item Mettre $u^2$ sous  forme trigonométrique, en déduire $u$ sous
forme trigonométrique.
\item Cela permet-il d'obtenir des égalités trigonométriques
remarquables ?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Calculons $u^2$ sous forme algébrique :
\[
u^2=2+\sqrt{2}-2+\sqrt{2}-2\im \sqrt{2} =2\sqrt{2}-2\im\sqrt{2}.
\]
\item On voit immédiatement que 
\  $\displaystyle \arg(u^2)=\dfrac{-\pi} {4}\text{ et que }|u|^2=4$.

$2\arg(u)=-\dfrac{\pi}{4}+k2\pi$ et donc $\arg(u)=-\dfrac{\pi}{8}+k\pi$, $k$ étant un entier relatif.

Il y a donc à ce stade deux valeurs possibles pour l'argument de $u$ modulo $2\pi$.

On va donc regarder le signe de la partie réelle et de la partie imaginaire de $u$ pour savoir dans quel quadrant du cercle trigonométrique le point image de $u$ se situe.

La partie réelle de $u$ est négative, et sa partie imaginaire positive, donc son point image se situe dans le deuxième quadrant.

On a donc $\arg(u) = \dfrac{7\pi}{8}$.

On en déduit que $\displaystyle u=2\nep^{\im \frac{7\pi}{8}}$.
\item On a donc les égalités trigonométriques suivantes : 
\[
\cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \quad\text{ et}\quad
\sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} .
\]
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{Équation du second degré}{Lycée Lavoisier, Paris}{1}{20}
Soit $(E)$ l'équation : $z^2-6z+12=0$.
\begin{questions}
\item Montrer que $(E)$ admet $2$ solutions complexes conjuguées
$u$ et $\overline{u}$, $u$ étant celle de partie imaginaire
positive.
\item Calculer le module et un argument de $u$. En déduire module et argument de $\overline{u}$.
\item Donner $u-4$ sous forme algébrique puis sous
forme trigonométrique.
\item Calculer le module de $\dfrac{u}{u-4}$. En déduire module et argument de 
$\dfrac{\overline{u}}{\overline{u}-4}$.
\item Proposer une construction géométrique de $u$ et $\overline{u}$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Calculons le discriminant de ${E}$ : 
\[
\Delta=6^2-4\times 12=-12.
\]
Les solutions sont donc complexes conjuguées et valent  :
\[
u=3+\im \sqrt{3}
\quad
\text{et} 
\quad
\overline{u}=3-\im \sqrt{3}.
\]
\item\label{compl_ex12} On a : $|u|^2=9+3=12$. On obtient donc :
$$
u=2\sqrt{3}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\im}{2}\right) 
=2\sqrt{3}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)+
\im \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right) .$$

On en déduit : \ $|u|=2\sqrt{3}$. Alors, modulo $2\pi$, $\arg(u)=\dfrac{\pi}{6}$. \medskip

Comme le point d'affixe $\overline{u}$ est le symétrique du point d'affixe $u$ par rapport à l'axe des abscisses, on a $|\overline{u}|=2\sqrt{3}$, et modulo $2\pi$,\\ 
$\arg(\overline{u})=-\dfrac{\pi}{6}$.

\item Tout d'abord, $u-4=-1+\im \sqrt{3}$, donc $|u-4|=\sqrt{(-1)^2+3}=2$.

$\cos\big(\arg(u-4)\big)=-\dfrac{1}{2}$, et $\sin\big(\arg(u-4)\big)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, donc\\ $\arg(u-4)=\dfrac{3\pi}{2}\pod{2\pi}$, ce qui donne la forme trigonométrique de $u-4$ :
\[
u-4=-1+\im \sqrt{3} 
=2\left(\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)+
\im \sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\right).
\]

\item\label{compl_ex13} Calculons le module de $\dfrac{u}{u-4}$ : 
\begin{align*}
\left|{u\over u-4}\right|&={|u|\over |u-4|}=\sqrt{3}. \\
\intertext{Calculons alors, modulo $2\pi$, l'argument de $\dfrac{u}{u-4}$ : }
\arg\left(\dfrac{u}{u-4}\right)&=\arg(u)-\arg(u-4) 
=-{\pi\over 2}. \\
\intertext{Comme $\dfrac{\overline{u}}{\overline{u}-4}$ est le conjugué de 
$\dfrac{u}{u-4}$, \ on a : }
\end{align*}
$$\left|\dfrac{\overline{u}}{\overline{u}-4}\right|=\sqrt{3} 
\quad\text{et}\quad
\arg\left(\dfrac{\overline{u}}{\overline{u}-4}\right)=\dfrac{\pi}{2}.$$

\item Appelons $O$ l'origine, $A$ le point d'affixe $4$, $U$ celui d'affixe $u$ et $V$ d'affixe $\overline{u}$, $\mathscr{C}$ le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ et $\mathscr{C}'$ le cercle de diamètre $[OA]$.
\par
La question \ref{compl_ex12} nous dit que le point $U$ est sur la demi-droite $\mathcal{D}$ d'équation  :
\[
\arg{z}=\dfrac{\pi}{6} .
\] 
Or, on sait que $\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}$, donc on trace la droite d'équation $y=\dfrac{1}{2}$ qui coupe le cercle trigonométrique en un point M tel que $\left(\gvec{OA},\gvec{OM}\right)=\dfrac{\pi}{6}$.

Et la question \ref{compl_ex13} nous dit
que le point $U$ est sur $\mathscr{C}'$ car le triangle $OAU$ est rectangle en $U$. On peut donc construire le point $U$. Le point $V$ est le symétrique de $U$ par rapport à l'axe des abscisses.

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{09-corriges-fig1}
\end{center}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{Équation du troisième degré}{Lycée Jules Ferry, Caen}{1}{25}%
On se propose de résoudre dans ${\C}$ l'équation suivante : 
\begin{align}
\label{compl_ex3}
z^3+(\sqrt{3}-\im )z^2+(1-\sqrt{3}\im )z-\im =0 \tag{$\mathcal {E}$}
\end{align}
\begin{questions}
\item Montrer qu'il existe une solution $z_0$ de \eqref{compl_ex3} qui est imaginaire pure.
\item \'Ecrire le membre de gauche de l'équation sous la forme $(z-z_0)\times P(z)$ où $P(z)$ est un trinôme à coefficients réels. En déduire l'ensemble des solutions de \eqref{compl_ex3}.
\item Mettre ces solutions sous forme trigonométrique et les placer sur un graphique.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Posons 
$P(z)=z^3+(\sqrt{3}-\im )z^2+(1-\sqrt{3}\im )z-\im$ \ et calculons \ $P(\im )$ :
\[
P(\im )=-\im +\im -\sqrt{3}+\im +\sqrt{3}-\im =0.
\]
Le nombre $\im $ est donc solution de $(\mathcal{E})$.
\item  Factorisons $P$ :
\begin{align*}
P(z)&=z^3-\im z^2+\sqrt{3}(z^2-\im z)+z-\im\\
&=(z-\im)z^2+(z-\im)\times\sqrt{3}z+z-\im\\
&=(z-\im )(z^2+\sqrt{3}z+1).
\end{align*}
Les deux autres racines de $(\mathcal{E})$ sont donc les solutions de l'équation
$(\mathcal{E'})$ : 
\begin{equation}
\label{compl_ex14}
z^2+\sqrt{3}z+1=0 \tag{$\mathcal{E}'$}
\end{equation}
Calculons le discriminant de \eqref{compl_ex14} :  $\Delta=3-4\times1=-1$.\\
On obtient alors les deux solutions $z_1$ et $z_2$ : 
\[
z_1=\dfrac{-\sqrt{3}+\im}{2}
\quad
\text{et} 
\quad
z_2=\dfrac{-\sqrt{3}-\im}{2}.
\]
\item On obtient immédiatement leurs formes trigonométriques :
$$\begin{aligned}
\im &=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+\im \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) \\
z_1&=\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)+\im \sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) \\
z_2&=\cos\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)+\im \sin\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right).
\end{aligned}$$

\begin{center}
\includegraphics{09-corriges-fig2}
\end{center}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo}{Puissance d'un nombre complexe}{Lycée Marie Curie, Sceaux}{1}{30}
\begin{questions}
\enlargethispage*{3\baselineskip}
\item Au point $M$ d'affixe $z$, on fait correspondre le point $M'$
d'affixe $f(z)=\dfrac{z+\overline{z}-\im }{z-\im \overline{z}}$.

Sur quelle partie du plan $f$ est-elle définie ?
\item Donner une forme trigonométrique de $f(\im )$, en déduire que
$\big(f(\im )\big)^{4}$ est réel.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item\label{compl_ex7} Le nombre complexe $z=x+\im y$ vérifie la relation 
$z-\im \overline{z}=0$ si et seulement si :
\begin{align*}
x+\im y-\im (x-\im y)&=0 \\
(x-y)+\im (y-x)&=0 \\ 
y&=x.
\end{align*}
La fonction $f$ est définie sur le plan tout entier privé de la
droite d'équation $y=x$. 
%
\item Calculons $f(\im )$ et écrivons-le sous forme algébrique puis sous forme trigonométrique : \enlargethispage*{2\baselineskip}
\begin{align*}
f(\im )&=\dfrac{\im}{1-\im}=\dfrac{\im (1+\im )}{2}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\im}{2} \\
&=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)+\im \sin
  \left(\dfrac{3\pi}{4}\right) \right).
\intertext{En appliquant la formule de Moivre, on trouve :} 
\left(f(\im )\right)^4&=\dfrac{1}{4}\left(\cos(\pi)+\im \sin(\pi)\right)=-\dfrac{1}{4}.
\end{align*}
Donc $\big(f(\im )\big)^{4}$ est réel.
\end{questions}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{Application du plan complexe}{Lycée Thiers, Marseille}{2}{35}%
Soit $f$ l'application du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$
distincte de $2-\im $ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par : 
\[
z'=\dfrac{z+3-2\im }{z-2+\im }.
\]
\begin{questions}
\item Interpréter géométriquement le module de $z'$.
\item \label{compl_ex1} En déduire l'ensemble des
points
$M$ tel que
$|z'|=1$.
\item Interpréter géométriquement l'argument de $z'$.
\item \label{compl_ex2} En déduire l'ensemble des
points
$M$ tel que
$z'$ soit imaginaire pur.
\item Retrouver le résultat de la question \ref{compl_ex1} par le calcul.
\item Retrouver le résultat de la question \ref{compl_ex2} par le calcul.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Notons $B$ le point d'affixe $-3+2i$ et $A$ celui
d'affixe $2-i$, on a alors :
\[
|z'|=\dfrac{|z-(-3+2\,\im)|}{|z-(2-\im)|}=\dfrac{BM}{AM}.
\]
\item Les points $M$ tel que $|z'|=1$ sont les points $M$ tel que
$AM=BM$, soit la médiatrice de $[AB]$.
\item L'affixe de $\gvec{BM}$ est $z+3-2 \im$ et celui de $\gvec{AM}$ est $z-2+ \im$,
donc :
\[
\arg(z')=\arg\left(\dfrac{z+3-2\im}{z-2+\im }\right)=(\gvec{AM}, \gvec{BM}) \pod{2\pi}.
\]
\item Comme $(\gvec{AM}, \gvec{BM}) = (\gvec{MA}, \gvec{MB})$, on en déduit que les points pour lesquels $z'$ est imaginaire pur sont soit le point $B$ car alors $z'=0$, soit les points $M$ tels que :
\[
\left(\gvec{MA},\gvec{MB}\right)=\pm\dfrac{\pi}{2} \pod{2\pi}.
\]
Finalement cet ensemble est le cercle de diamètre $[AB]$ privé du
point $A$. (Revoir la caractérisation angulaire d'un cercle.)
\item Par le calcul, notons $z=x+\im y$ et remplaçons :
\[
\begin{aligned}
|z'|=1
&\iff (x+3)^2+(y-2)^2=(x-2)^2+(y+1)^2 \\
&\iff
5x-3y+4=0.
\end{aligned}
\]
Cet ensemble de points est donc bien une droite comme l'assure le
raisonnement géométrique.\\
Il reste à vérifier que cette droite est bien la médiatrice de $[AB]$.\\
Le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées $\left(-\dfrac{1}{2}~;\dfrac{1}{2}\right)$. Il est bien sur la droite car ses coordonnées vérifient son équation.\\
De plus, un vecteur directeur $\vec{u}$ de cette droite a pour coordonnées $(3~;5)$ et le vecteur $\gvec{AB}$ a pour coordonnées $(-5~;3)$. Le produit scalaire\linebreak[4] $\vec{u}\cdot\gvec{AB} = 3 \times (-5)+5 \times 3 = 0$. Donc les vecteurs sont orthogonaux. La droite est donc perpendiculaire à $[AB]$ et passe par son milieu, c'est donc bien la médiatrice de ce segment.

\item Le complexe $z'$ est imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle
est nulle. 
\par
Exprimons $z'$ sous forme algébrique : 
\[
\dfrac{z+3-2\im}{z-2+\im }=\dfrac{(x+3)+\im (y-2)}{(x-2)+\im(y+1)}.
\] 
Alors, 
\begin{multline*}
\dfrac{z+3-2\im}{z-2+\im }=\dfrac{(x+3)(x-2)+(y+1)(y-2)}{(x-2)^2+(y+1)^2}\\
+\im 
\dfrac{(x-2)(y-2)-(y+1)(x+3)}{(x-2)^2+(y+1)^2}.
\end{multline*}
Ainsi $z'$ est imaginaire pur si et seulement si :
\[
(x+3)(x-2)+(y+1)(y-2)=0 \quad \text{et}\quad z\neq2-\im.
\]
On développe et factorise à nouveau pour obtenir : 
\[
(x+3)(x-2)+(y+1)(y-2)=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+
\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{17}{2}=0.
\]

L'ensemble des points vérifiant cette équation est bien un cercle, de centre le point $I$ milieu de $[AB]$ de coordonnées $\left(-\dfrac{1}{2}~;\dfrac{1}{2}\right)$. C'est le cercle de diamètre de $[AB]$ car le point $A$ de coordonnées $(2~;-1)$ est sur ce cercle. Cependant, le point $A$ ne fait pas partie de l'ensemble des solutions (condition $z\neq2-\im$).\\
On retrouve donc bien que l'ensemble cherché est le cercle de diamètre $[AB]$, privé du point $A$.

\begin{center}
 \includegraphics{09-corriges-fig3}
\end{center}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo}{Recherche d'un ensemble de points}{Lycée Claude Bernard, Paris}{2}{15}
Quel est l'ensemble des points $M$ du plan dont les affixes $z$
vérifient :
\begin{questions}
\item $z+\overline{z}=|z|$.
\item $z-\overline{z}=\im |z|$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Notons $\Re(z)=x$ et $\Im(z)=y$ et raisonnons par équivalences
successives :
\begin{align*}
z+\overline{z}=|z|
&\iff  2x=\sqrt{x^2+y^2}\text{ et }x\geqslant 0\\
&\iff 4x^2=x^2+y^2\text{ et }x\geqslant 0
\quad\text{(on a élevé au carré)}.\\
\intertext{Finalement après réduction et factorisation on trouve que :}
z+\overline{z}=|z| 
&\iff 
\left(\sqrt{3}x-y\right)
\left(\sqrt{3}x+y\right)=0
\text{ et }
x\geqslant 0.
\end{align*}
L'ensemble cherché est donc la réunion de deux demi-droites fermées d'équations
:
\[
\left\{\begin{aligned}
y&=\sqrt{3}x\\
x&\geqslant 0
\end{aligned}
\right.
\text{ et }
\left\{\begin{aligned}
y&=-\sqrt{3}x\\
x&\geqslant 0
\end{aligned}
\right.
\]
\item Un calcul analogue montre que : 
\[
z-\overline{z}=\im |z|
\iff
\left(\sqrt{3}y-x\right)
\left(\sqrt{3}y+x\right)=0
\text{ et }
y\geqslant 0.
\]
L'ensemble cherché est donc la réunion de deux demi-droites fermées d'équations
:
\[
\left\{\begin{aligned}
y&=\dfrac{1}{\sqrt{3}}x\\
y&\geqslant 0
\end{aligned}
\right.
\text{ et }
\left\{\begin{aligned}
y&=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}x\\
y&\geqslant 0
\end{aligned}
\right.
\]
\end{questions}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{Une équation paramétrée}{Lycée  Marie Curie, Sceaux}{2}{25}
\begin{questions}
\item Soit $\alpha \in ]-\pi ~; \pi]$. Résoudre dans ${\C}$
l'équation : 
\[
z^2-2\sin (2\alpha) z+2\big(1+\cos(2\alpha)\big)=0.
\]
\item Déterminer module et argument de ces solutions.
\item Pour quelles valeurs de $\alpha$ les deux solutions
sont-elles égales ?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Remarquons de suite que :
\[
\left\{
\begin{aligned}
(1+\cos(2\alpha))&=2\cos^2(\alpha)\\
\sin(2\alpha)&=2\sin(\alpha)\cos(\alpha).
\end{aligned}
\right.
\]
On peut alors calculer le discriminant du trinôme : 
\[
\begin{aligned}
\Delta&=(4\sin(\alpha)\cos(\alpha))^2-4\times4\cos^2(\alpha) \\
&=16\cos^2(\alpha)(\sin^2(\alpha)-1) \\
&=-16\cos^4(\alpha).
\end{aligned}
\]
Les racines de ce polynôme sont donc : 
\begin{align*}
z_1&=2\sin(\alpha)\cos(\alpha)+\im\times 2\cos^2(\alpha) \\
z_2&=2\sin(\alpha)\cos(\alpha)-\im\times 2\cos^2(\alpha).
\end{align*}
\item Il y a trois cas possibles :
\begin{itemize}
\item Si $\alpha\in \left]-\dfrac{\pi}{2}~;\dfrac{\pi}{2} \right[$,
$\cos(\alpha)\geq 0$. 
\par
Dans ce cas $|z_1|=|z_2|=2\cos(\alpha)$ et on obtient : 
\[
\left\{\begin{aligned}
z_1&=2\cos(\alpha)\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)+\im 
\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)\right)\\
z_2&=2\cos(\alpha)\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)+\im 
\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)\right).
\end{aligned}\right.
\]
\item Si $\alpha\not\in \left]-\dfrac{\pi}{2}~;\dfrac{\pi}{2} \right[$,
$\cos(\alpha)< 0$. 
\par
Dans ce cas $|z_1|=|z_2|=-2\cos(\alpha)$ et on obtient : 
\[
\left\{\begin{aligned}
z_1&=-2\cos(\alpha)\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)+\im 
\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)\right)\\
z_2&=-2\cos(\alpha)\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)+\im 
\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)\right).
\end{aligned}\right.
\]
\item Si $\alpha=\dfrac{\pi}{2}$ ou $\alpha=-\dfrac{\pi}{2}$,
\[
z_1=z_2=0.
\]
\end{itemize}
\item Les deux solutions sont égales si et seulement si $\Delta=0$ soit si 
\[\alpha=\dfrac{\pi}{2}\qquad\text{ ou }\qquad \alpha=-\dfrac{\pi}{2}.\]
\end{questions}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo}{Sommations classiques}{Lycée Blaise Pascal, Paris}{3}{10}%
Étant donné un entier $n\geq1$ et $x$ un réel, calculer :
\[
S=\sum_{k=0}^n \cos kx=1+\cos x +\cos 2x +\cdots+\cos nx .
\]
\end{exo}

\begin{corrige} 
On a :
\[
\begin{aligned}
  S &=\Re\left(1+\nep^{\im x}+\nep^{2\im x}+\cdots+\nep^{n\im x}\right)\\
    &=\Re\left(1+(\nep^{\im x})+(\nep^{\im
      x})^2+\cdots+(\nep^{\im x})^n\right).
\end{aligned}
\]
On reconnaît la somme des $n+1$ premiers termes de la
suite géométrique de raison $\nep^{\im x}$ et de premier terme $1$.\\

Supposons d'abord que $\nep^{\im x}=1$, c'est-à-dire $x=0 \pod{2\pi}$, alors pour tout entier $k$, \ $\nep^{\im kx}=1$ et donc  $S=n+1$. \\
Désormais, nous supposerons au contraire $x\neq 0\pod{2\pi}$.
\[\text{On obtient : } \quad
S=\Re\left(\dfrac{1-\nep^{(n+1)\im x}}{1-\nep^{\im x}}\right).
\]
Factorisons :
\begin{align*}
1-\nep^{\im (n+1)x}&=\nep^{\im \frac{n+1}{2}x}\left(\nep^{-\im \frac{n+1}{2}x}-
\nep^{\im \frac{n+1}{2}x}\right) \\
&=-2\im \nep^{\im \frac{n+1}{2} x}\dfrac{\nep^{\im \frac{n+1}{2} x}
-\nep^{-\im \frac{n+1}{2} x}}{2\im }\\ 
&=-2\im \nep^{\im \frac{n+1}{2} x}\sin\left(\dfrac{n+1}{2}x\right) \\
\intertext{et de même :}
1-e^{\im x}
&=\nep^\frac{\im x}{2}\left(\nep^\frac{-\im x}{2}-\nep^\frac{\im x}{2}\right) \\
&=-2\im \nep^\frac{\im x}{2}\sin\left(\dfrac{x}{2}\right).  \\
\intertext{Donc :}
\dfrac{1-\nep^{\im (n+1)x}}{1-\nep^{\im x}}&=\nep^{\im \frac{nx}{2}}
\dfrac{\sin\left(\dfrac{n+1}{2}\,x\right)}{\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)}.
\end{align*}
Alors :
\[
S=\Re\left(\nep^{\im\,\frac{nx}{2}}\right)
\cdot\dfrac{\sin\left(\dfrac{n+1}{2}x\right)} 
{\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)}
=\cos\left(\dfrac{nx}{2}\right)\dfrac{\sin\left(\dfrac{n+1}{2}x\right)}
{\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)}.
\]
%
\begin{methode}
La méthode utilisée dans la résolution de cet exercice est à retenir. L'idée de base est d'interpréter une somme de cosinus comme étant la partie réelle d'une somme de nombres complexes. \par
On notera qu'il convient de distinguer deux cas selon que la raison de la suite géométrique considérée vaut 1 ou non. La formule à utiliser pour le calcul de la somme n'est pas la même dans les deux cas.
\end{methode}
\end{corrige}



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\thumb
\AfficheCorrige
\endinput
