\chapter{Matrices et graphes}

\section{Matrices}

\begin{exointro}{Lycée François Rabelais, Saint-Brieuc\newexo}
Soit les matrices $A=\begin{pmatrix}1 & -1\\0 & 1\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}0 & 1\\-1 & 1\end{pmatrix}$.
\begin{questions}
\item Calculer $A+B$ et $A \times B$.
\item Justifier que $A$ est inversible, et montrer que $A^{-1}=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$.
\end{questions}
\end{exointro}

\subsection{Généralités}

\begin{defins}
Une \textit{matrice} $A$ est un tableau à $n$ lignes et $p$ colonnes constitué de nombres.

Le \textit{format} d'une telle matrice est $n \times p$ ou $(n,p)$.

Pour tous entiers $1 \leqslant i \leqslant n$ et $1 \leqslant j \leqslant p$, le nombre $a_{i,j}$ situé sur la $i$-ième ligne et $j$-ième colonne est un \textit{élément} de la matrice.
\end{defins}

Une telle matrice pourra être notée et représentée ainsi:
\[
A = \big( a_{i,j} \big) = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n}\\
\vdots &      &   & \\
a_{p,1} & a_{p,2} & \cdots & a_{p,n}\\
\end{pmatrix}.
\]
\enlargethispage*{\baselineskip}

\begin{defins}
\begin{itemize}
\item Une matrice de format $n\times n$ est appelée \textit{matrice carrée d'ordre} $n$.
\item Une matrice carrée dont tous les coefficients sont nuls sauf sur la diagonale \og $a_{1,1} - a_{n,n}$ \fg{} est appelée \textit{matrice diagonale}.
\Break
\item Une matrice diagonale dont les coefficients sont égaux à 1 est appelée \textit{matrice identité}. On la note $I_n$, où $n$ est l'ordre de la matrice.
\item Une matrice de format $n \times 1$ est appelée \textit{matrice colonne}.
\item Une matrice de format $1 \times n$ est appelée \textit{matrice ligne}.
\end{itemize}
\end{defins}

\begin{Exemples}
\begin{itemize}
\item $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ est une matrice carrée d'ordre 2.
\item $I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ est la matrice identité d'ordre 2.
\item $D=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&2&0\\0&0&-7\end{pmatrix}$ est une matrice diagonale d'ordre 3.
\item $L=\begin{pmatrix}1 & -5 & 2\end{pmatrix}$ est une matrice ligne.
\item $C=\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}$ est une matrice colonne.
\end{itemize}
\end{Exemples}


\subsection{Opérations sur les matrices}

\begin{props}[somme et produit par un réel]
Soient $A=(a_{i,j})$ et $B=(b_{i,j})$ deux matrices de même format. Soit $k$ un réel.
\begin{itemize}
\item La somme des deux matrices est:
\[
A+B = (a_{i,j} + b_{i,j}).
\]

\item Le produit de $k$ par $A$ est:
\[
kA = (ka_{i,j}).
\]
\end{itemize}
\end{props}

\begin{defin} 
Soient $n$, $m$ et $p$ des entiers strictement positifs.

Soient $A$ une matrice de format $(m, p)$ et $B$ une matrice de format $(p, n)$.

Le produit $A\times B$ (aussi noté $AB$) est la matrice de format $(m, n)$ dont le coefficient $c_{ij}$ est le produit terme à terme des coefficients de la $i$\ieme{} ligne de $A$ par les coefficients de la $j$\ieme{} ligne de $B$ :
\[ c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \dots + a_{ip}b_{pj}. \]
\end{defin}

\begin{Exemple} le schéma page ci-contre indique comment on obtient le coefficient  $c_{12}$ de la matrice produit de $A=
\left( \begin{array}{ c c }
     7 & 2 \\
     3 & 4
  \end{array} \right)
$ par $B=
\left( \begin{array}{ c c c}
     1 & 3 & 0 \\
     -2 & 5 & 2
  \end{array} \right)
  $.
 \Break
\begin{center}
\includegraphics{000_Cours-prodmat}
\end{center}

\Par

Le produit $A\times B$ est alors $
\left( \begin{array}{ c c c}
     3 & 31 & 4 \\
     -5 & 29 & 8
  \end{array} \right)$.
\end{Exemple}

\begin{prop} 
Lorsqu'on fait le produit de deux matrices carrées d'ordre $n$, on obtient une matrice carrée d'ordre $n$.

Lorsqu'on fait le produit d'une matrice carrée $A$ d'ordre $n$ avec une matrice colonne $P$ de format $(n,1)$ on obtient une matrice colonne de format $(n,1)$.
\end{prop}

\begin{prop} 
Le produit de deux matrices carrées de même ordre est une opération associative et distributive par rapport à l'addition.

Soient $A$, $B$ et $C$ trois matrices carrées de même ordre, alors :
\[
\begin{aligned}
A \times (B\times C) &= (A \times B) \times C \\
A \times (B + C) &= A \times C + A \times B.
\end{aligned}
\]
\end{prop}

\begin{attention}
Il n'y a pas commutativité du produit de deux matrices: $A \times B \neq B \times A$.
\end{attention}

\begin{defin}[puissance d'une matrice]
Soit $A$ une matrice d'ordre $n$, et soit $k$ un entier naturel. On définit la \textit{puissance $k$-ième de $A$} comme la matrice:
\[
A^k = A\times A\times\cdots\times A\quad\text{ ($k$ facteurs)}\quad,\quad A^0=I_n.
\]
\end{defin}

\begin{prop}
Soit $D$ une matrice diagonale dont les coefficients non nuls sont notés $d_1$, $d_2$,..., $d_n$.

Alors, pour tout entier naturel $k$,  $D^k$ est une matrice diagonale dont les coefficients sont égaux à $d_i^k$, pour tout entier $i$ compris entre 1 et $n$.
\end{prop}

\begin{Exemple}
Soit $D=\begin{pmatrix}2 & 0\\0& 1\end{pmatrix}$ Alors, $D^4=\begin{pmatrix}
2^4&0\\0&1^1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}16&0\\0&1\end{pmatrix}$.
\end{Exemple}

\subsection{Matrice inverse d'une matrice carrée}

\begin{defin}
Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $n$. On appelle \textit{matrice inverse} de $A$, et on note $A^{-1}$ la matrice carrée d'ordre $n$ telle que:
\[
A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = I_n,
\]
où $I_n$ est la matrice identité d'ordre $n$.

On dit alors que $A$ est inversible si et seulement si $A^{-1}$ existe.
\end{defin}

\begin{defin}
Soit $A=\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}$. On appelle \textit{déterminant} de $A$ le nombre:
\[
\det(A)=ad-bc.
\]
\end{defin}

\begin{prop}
\[
A=\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}\text{ est inversible} \iff \det(A) \neq 0.
\]
\end{prop}

\begin{defin}[écriture matricielle d'un système linéaire]
Le système linéaire:
\[
\begin{cases}
a_{1,1}x_1 + a_{1,2}x_2 + \cdots + a_{1,n}x_n & = b_1\\
\vdots & \vdots\\
a_{n,1}x_1 + a_{n,2}x_2 + \cdots + a_{n,n}x_n & = b_n\\
\end{cases}
\]
s'écrit sous la forme $AX=B$, où:
\[
A = \begin{pmatrix}
a_{1,1} & \cdots & a_{1,n}\\
\vdots &  & \vdots\\
a_{n,1} & \cdots & a_{n,n}
\end{pmatrix} \quad , \quad X = \begin{pmatrix}
x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}\quad\text{et}\quad B=\begin{pmatrix}
b_1\\\vdots\\b_n\end{pmatrix}.
\]
C'est son \textit{écriture matricielle}.
\end{defin}

\begin{prop}
Le système $AX=B$, d'inconnue $X$, admet une unique solution si et seulement si $A$ est inversible. Dans ce cas, la solution est $X = A^{-1}B$.
\end{prop}

\newpage

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item 
\begin{itemize}
\item $A+B = \begin{pmatrix}1 & -1\\0 & 1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 & 1\\-1 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+0 & -1+1\\0-1 & 1+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\-1&2\end{pmatrix}$.

\item $\begin{aligned}[t]
A \times B & = \begin{pmatrix}
1\times0+(-1)\times(-1) & 1\times1+(-1)\times1\\
0\times0+1\times(-1) & 0\times1+1\times1
\end{pmatrix}\\
& = \begin{pmatrix}
1&0\\
-1&1
\end{pmatrix}
\end{aligned}$
\end{itemize}
\item $\det(A)=\begin{vmatrix}1 & -1\\0 & 1\end{vmatrix} = 1\times1-0\times(-1)=1\neq0$.

Ainsi, $A$ est inversible. De plus,
\[
\begin{pmatrix}1 & -1\\0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\0&1\end{pmatrix}=I_2.
\]
Ainsi, l'inverse de $A$ est bien $\begin{pmatrix}1 & -1\\0 & 1\end{pmatrix}$.
\end{questions}
\end{solintro}


\section{Graphes}

\begin{exointro}{Lycée Gaston Bachelard, Chelles}

Une société de location de voitures à la semaine possède une agence à Lyon et une autre à Paris.

A l'ouverture des deux agences, le parc automobile comprenait 300 voitures à Lyon et 500 à Paris.

On a constaté qu'à la fin de chaque semaine, 70\,\% des voitures louées à Paris retournaient dans l'agence parisienne, les autres étant rendues à
Lyon, et que 60\,\% des voitures louées à Lyon retournaient dans l'agence lyonnaise, les autres étant rendues à Paris.

On choisit une voiture au hasard dans le parc automobile. 

On note $l_n$ (resp. $p_n$) la probabilité que la voiture soit rendue  à Lyon (resp. à Paris) à la fin de la $n$-ième semaine.
\begin{questions}
\item Traduire les données par un graphe probabiliste $\mathcal{G}$, dont vous donnerez la matrice de transition $M$ et  l'état probabiliste initial $E_0$.

\item Calculer l'état probabiliste du graphe $\mathcal{G}$ : au bout d'une semaine, au bout de 10 semaines.

\item Déterminer la distribution invariante de $\mathcal{G}$.

\item Au bout d'un grand nombre de semaines, comment se répartira le parc automobile entre les deux agences ?
\end{questions}
\end{exointro}

\subsection{Généralités}

\begin{defins}
\begin{questions}
\item Un \textit{graphe} $\mathcal{G}=(V,E)$ est la donnée :
\begin{itemize}
\item d'un ensemble $V$ d'éléments, appelés \textit{sommets};
\item d'un ensemble $E$ dont les éléments sont des parties à un ou deux éléments de $V$, nommés \textit{arêtes} ou \textit{arcs}.
\end{itemize}

\item Deux sommets reliés par une arête sont dits \textit{adjacents}.

\item Un graphe \textit{complet} est un graphe dont tous les sommets sont adjacents.

\item Le nombre de sommets présents dans un graphe est l'\textit{ordre} du graphe.

\item Le \textit{degré} d'un sommet est le nombre d'arêtes dont ce sommet est une\linebreak extrémité.

\item Un \textit{sous-graphe} d'un graphe $\mathcal{G}$ d'ordre $k$ est constitué de $k$ sommets de $\mathcal{G}$ et de toutes les arêtes qui relient ces sommets.

\item Une \textit{représentation sagittale} d'un graphe $\mathcal{G}=(V,E)$ est un schéma où les éléments de $V$ sont représentés par des disques et où les éléments de $E$ sont représentés par des traits (rectilignes ou courbés).
\end{questions}
\end{defins}

\begin{Exemple}
si $V=\{A;B;C\}$ et $E=\big\{ (A,B) ; (A,C) ; (C) \big\}$, alors $\mathcal{G}=(V,E)$ est le graphe de sommets $A$, $B$ et $C$, où $A$ et $B$ sont reliés, $A$ et $C$ sont reliés et où $C$ est connecté à lui-même.

Une représentation sagittale du graphe défini dans l'exemple précédent est la suivante:
\Par
\begin{center}
\includegraphics{000_crs-graphe-repSag}
\end{center}
Ce graphe n'est pas complet car tous les sommets ne sont pas adjacents.

Le degré du sommet $C$ est 2, et l'ordre de $\mathcal{G}$ est 3 car il y a 3 sommets.
\end{Exemple}

\textit{Par la suite, on pourra assimiler la notion de graphe avec celle de sa représentation sagittale.}

\newpage

\subsection{Orientation d'un graphe}

\begin{defin}[graphe orienté]
On appelle \textit{graphe orienté} tout graphe où chaque arête a un sens.

Dans ce cas, les arêtes sont aussi appelées \textit{arcs}, le sommet de départ est appelé l'\textit{origine} de l'arc et celui d'arrivée, son \textit{extrémité}.
\end{defin}

Si un graphe n'est pas orienté, on dira que le graphe est \textit{non orienté}.

\begin{thm}
La somme des degrés d'un graphe \textit{non orienté} est égal à deux fois le  nombre d'arêtes du graphe.
\end{thm}

\begin{defins}
\begin{itemize}
\item Dans un graphe \textit{non orienté}, une \textit{chaîne} est une suite de sommets dans laquelle deux sommets consécutifs sont adjacents.

\item Le nombre d'arêtes qui composent la chaîne est alors appelée la \textit{longueur} de la chaîne.

\item Si le premier et le dernier sommet d'une chaîne sont identiques, on dit que la chaîne est \textit{fermée}.

\item Un \textit{cycle} est une chaîne fermée dont les arêtes sont distinctes.

\item Un graphe \textit{connexe} est un graphe où deux sommets distincts quelconques peuvent être reliés par une chaîne.

\item Une chaîne \textit{eulérienne} est une chaîne qui contient chaque arête du graphe une seule fois. Un \textit{cycle eulérien} est une chaîne eulérienne fermée.
\end{itemize}
\end{defins}


\begin{thm}[théorème d'Euler sur les graphes]
Un graphe non orienté connexe admet une chaîne eulérienne si et seulement si le nombre de sommets de degré impair vaut 0 ou 2.
\end{thm}

\subsection{Matrices de graphes}

\begin{defin}[matrice d'adjacence]
Soit $\mathcal{G}$ un graphe d'ordre $n$, $n\in\N^*$. On appelle \textit{matrice d'adjacence} de $\mathcal{G}$ la matrice carrée d'ordre $n$ où le terme à la $i$-ième ligne et $j$-ième colonne est le nombre d'arêtes (ou arcs) reliant les sommets $i$ et $j$.
\end{defin}

\newpage

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{Exemple}
soit le graphe ci-dessous.
\Par\Par
\begin{center}
\includegraphics{000_crs-graphe-oriente}
\end{center}
\end{Exemple}
\Par\Par
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
Sa matrice d'adjacence est:
\[
\NiceMatrixOptions{code-for-first-row=\color{DB}\scriptstyle,code-for-last-col=\color{DB}\scriptstyle}
M = \begin{pNiceMatrix}[first-row,last-col=4]
A  & B & C\\
0 & 1  & 1 & A\\
1 & 0  & 1 & B\\
1 & 1  & 0 & C
\end{pNiceMatrix}
\]
\begin{itemize}
\item De $A$ à $A$: 0 arc
\item De $A$ à $B$: 1 arc
\item De $A$ à $C$: 1 arc
\end{itemize}
D'où la première ligne de $M$. Etc.
\end{minipage}

\subsection{Chaîne de Markov}

\begin{defin}[graphe pondéré et probabiliste]
Un graphe orienté est \textit{pondéré} lorsque chaque arête est affectée d'un nombre réel positif, appelé \textit{poids} de cette arête.

Un graphe \textit{probabiliste} est un graphe orienté pondéré où tous les poids sont compris entre 0 et 1 et tel que la somme des poids des arêtes issues d'un même sommet est égale à 1.
\end{defin}

\begin{defin}[matrice de transition]
Soit un graphe probabiliste d'ordre $n$. On appelle \textit{matrice de transition} la matrice où le terme de la $i$-ème ligne et $j$-ième colonne est égale au poids de l'arête allant du sommet $i$ au sommet $j$ si elle existe, et à 0 sinon.
\end{defin}

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{Exemple}
soit le graphe\\ probabiliste ci-dessous.
\Par
\begin{center}
\includegraphics{000_crs-graphe-proba.eps}
\end{center}
\end{Exemple}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
Sa matrice de transition est:
\[
\NiceMatrixOptions{code-for-first-row=\color{DB}\scriptstyle,code-for-last-col=\color{DB}\scriptstyle}
T = \begin{pNiceMatrix}[first-row,last-col=4]
A  & B & C\\
0 & 0,3  & 0,7 & A\\
0,4 & 0  & 0,6 & B\\
0,5 & 0,5  & 0 & C
\end{pNiceMatrix}
\]
\vspace*{25mm}
\end{minipage}

\begin{defin}[chaîne de Markov]
Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires modélisant l'évolution, étape par étape, d'un système aléatoire à 2 ou 3 états.

Quand la probabilité de transition d'un état à l'autre ne dépend pas de $n$, on dit que $(X_n)$ est une \textit{chaîne de Markov}.
\end{defin}

\begin{Exemple}
le graphe probabiliste de l'exemple précédent traduit une transition d'états (la probabilité de passer de l'état $A$ à l'état $B$ est égale à $0,3$ par exemple).
\end{Exemple}

\begin{prop}
On note $\pi_n$ la matrice ligne à 2 ou 3 colonnes dont le terme de la $j$-ième colonne est la probabilité qu'à l'étape $n$, la variable aléatoire $X_n$ soit égale à $j$.

Alors $\pi_{n+1} = \pi_n T = \pi_0 T^n$, où $T$ est la matrice de transition et $\pi_0$ l'état initial de la chaîne de Markov.

S'il existe un entier $n$ tel que $T^n$ ne contient pas de 0 alors $(\pi_n)$ converge vers une matrice notée $\pi$ (que l'on appelle \textit{distribution invariante du système}) telle que $\pi = \pi T$.
\end{prop}

\begin{Exemple}
reprenons le graphe probabiliste précédent, en convenant d'avoir \linebreak$\pi_0=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}$: cela signifie qu'initialement, on est à l'état $A$. Alors, 
\[
\pi_{n+1} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0 & 0,3  & 0,7\\
0,4 & 0  & 0,6\\
0,5 & 0,5  & 0
\end{pmatrix}^n.
\]
\end{Exemple}

\enlargethispage*{5em}

\begin{solintro}
On modélise le problème par un graphe probabiliste à deux états:
$L$ (la voiture se trouve à Lyon) et $P$ (la voiture se trouve à Paris).

En notant $L_n$ (resp. $P_n$) l'événement \og la voiture se trouve à Lyon (resp. Paris) à la fin de $n$-ième semaine \fg, l'énoncé donne les
probabilités conditionnelles suivantes :
\begin{itemize}
\item $P_{P_n}(P_{n+1}) = 0,7$: boucle sur $P$ pondérée par~0,7 ;
\item $P_{L_n}(L_{n+1}) = 0,6$: boucle sur $L$  pondérée par 0,6.
\end{itemize}
On en déduit:
\begin{itemize}
\item $P_{P_n}(L_{n+1}) = 0,3$  : une arête de $P$ vers $L$  pondérée par  0,3;
\item et $P_{L_n}(P_{n+1}) = 0,4$ : une arête de $L$ vers $P$ pondérée par 0,4.
\end{itemize}

\begin{questions}
\item Les sommets étant listés par ordre alphabétique, on obtient le graphe $\mathcal{G}$ et sa matrice de transition $M$ suivants:

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics{000_solintro-graphe}
\end{center}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\[
M =  \begin{pmatrix}0,6 &0,4 \\0,3 & 0,7 \end{pmatrix}
\]
\end{minipage}
\Par
La voiture étant choisie au hasard, on ne sait pas si elle se trouve à Lyon
ou à Paris. Mais on connaît la loi de probabilité de son lieu initial.
\[
l_0=p(L_0)=\dfrac{300}{800}=\dfrac{3}{8}
\quad;\quad
p_0=p(P_0)=\dfrac{500}{800}=\dfrac{5}{8}.
\]
\BreakWithoutItem
L'état initial du graphe est représenté par la matrice ligne $E_0$:
\[
E_0 = \begin{pmatrix}\dfrac{3}{8} &  \dfrac{5}{8}\end{pmatrix}.
\]

\item L'état du graphe $E_1$ après une transition est défini par: $E_1 = E_0 \times M$.

L'état du graphe $E_{10}$ après  dix  transitions est: \mbox{$E_{10}= E_0 \times M^{10}$.}

On peut calculer $E_1$ manuellement;  on calcule $E_{10}$ avec la calculatrice.

On obtient : $E_{1}= \begin{pmatrix}\dfrac{33}{80}& \dfrac{47}{80} \end{pmatrix}$ et $E_{10}= \begin{pmatrix} 0,429  & 0,571\end{pmatrix}$.

\item Le graphe admet un état stable.
Posons:
\[
E_s = \begin{pmatrix}l & p\end{pmatrix} \ \text{ avec } l+p=1,  \  l\geqslant 0  \  \text{ et } p\geqslant 0.
\]
Déterminer $E_s$ (par calcul algébrique) équivaut à résoudre les équations suivantes dans $\big(\R_+\big)^2$: $E_s = E_s \times M$ et $l+p=1$.

Calculons le produit matriciel $E_s \times M $ en fonction de $l$ et $p$ :
\[
E_s\times M = \begin{pmatrix}l & p\end{pmatrix}\times
	\begin{pmatrix}
	0,6 &0,4 \\
	0,3 & 0,7
	\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,6l+0,3p & 0,4l+0,7p \end{pmatrix}.
\]
On traduit  l'équation  (1) par un système d'équations dont les inconnues
sont $l$ et $p$:
\begin{align*}
E_s\times M =  E_s
	& \iff \begin{pmatrix}0,6l+0,3p & 0,4l+0,7p\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}l & p\end{pmatrix} \\
	& \iff \left\{
		\begin{aligned}
		0,6l+0,3p = l \\
		0,4l+0,7p = p
		\end{aligned}\right.
\end{align*}
Résoudre (1) et (2)  équivaut à résoudre le système d'équations linéaires:
\begin{align*}
	\left\{
		\begin{aligned}
		-0,4l+0,3p = 0 \\
		0,4l-0,3p = 0 \\
		l+p=1
		\end{aligned}\right. \iff
%% Par combinaison linéaire $(L_1+0,4L_3)$ :
	\left\{
		\begin{aligned}
		0,7p = 0,4  \\
		l+p= 1
		\end{aligned}\right.
	\iff \left\{
		\begin{aligned}
		p = \frac{4}{7}  \\
		l = \frac{3}{7}
		\end{aligned}\right.
\end{align*}
L'état stable $E_s$ est : $\begin{pmatrix} \dfrac{3}{7} &  \dfrac{4}{7} \end{pmatrix}$.

\item Les états $E_n$  convergent vers  $E_s$, c'est-à-dire:
\[
\lim_{n \to+\infty} p_n = \dfrac{4}{7}
\quad \text{ et } \quad
\lim_{n \to+\infty} l_n = \dfrac{3}{7}.
\]
En interprétant ces probabilités comme des fréquences, on  déduit qu'à très long terme le parc automobile se répartira de fa\c{c}on stable entre les deux agences, environ  42,9\,\% des voitures étant à Lyon et 57,1\,\% des voitures à Paris (à 0,1\,\% près). Soit, à la voiture près, 343 voitures à Lyon et 457 à Paris.
\end{questions}
\vspace*{-1.5em}
\end{solintro}

\endinput