\thumb


\sectionnn{Matrices}

\begin{vf}{Sommes et produits}{10}
Soient $A$, $B$ et $C$ des matrices.\\
Parmi les propositions suivantes, quelles sont celles qui sont exactes ?
\begin{questions}
\item Si $A\times B = A \times C $ alors $B=C$.
\item Si on peut calculer $A\times B$ et $B\times A$, alors $A$ et $B$ sont des matrices carrées de même ordre.
\item 
Si $A=
\left( \begin{matrix}
2 & 4 \\ 2 & 2
\end{matrix}\right)$,
alors $A^{-1} = 
\left( \begin{matrix}
\frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\[6pt] \frac{1}{2} & \frac{1}{2}
\end{matrix}\right)$.

\item $(A+B)^2 =A^2 + 2 A\times B + B^2$.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Faux. Par exemple si $A =
\left( \begin{matrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{matrix}\right)$, $B = 
\left( \begin{matrix}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{matrix}\right)$ et $C =
\left( \begin{matrix}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{matrix}\right)$ alors $AB = AC =
\left( \begin{matrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{matrix}\right)$ mais $B \neq C$. Par contre cette implication est vraie si $A$ est inversible.

\item Faux. Il suffit que $A$ soit de format $(m , n )$ et $B$ de format $(n, m)$ pour qu'on puisse calculer les deux produits quels que soient les entiers positifs $m$ et $n$.

\item Faux. On applique la formule du cours pour calculer l'inverse de la matrice carrée d'ordre 2. Le déterminant de $A$ est $2 \times 2-2  \times 4 = -4$. Donc :
\[ 
A^{-1} =\dfrac{1}{-4}
\left( \begin{matrix}
2 & -4 \\
-2 & 2
\end{matrix}\right)
= \left( \begin{matrix}
-\frac{1}{2} & 1\\[6pt]
\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}
\end{matrix}\right). \]

\item Faux.  En appliquant la règle de distributivité de la multiplication par rapport à l'addition, on obtient :  $(A+B)^2=A^2 + AB + BA + B^2$.  Mais comme la multiplication n'est pas commutative, $AB + BA$ n'est en général pas égal à $2AB$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{vf}{Systèmes linéaires}{10}
Soient $a$, $b$ et $c$ des réels. On considère le système d'inconnues $x$, $y$ et $z$ :
\[ \left\{
\begin{aligned}
2x+y=a \\
x-2z = b \\
x+y+z = c
\end{aligned} \right.
\] 
Parmi les propositions suivantes, quelles sont celles qui sont exactes ?
\begin{questions}
\item La matrice du système est $\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 \\
1 & -2 & 0 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}$.
\item Le système admet un triplet unique solution quelles que soient les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
\item Si $A$ est la matrice du système, alors la matrice des solutions est :\\ 
$\begin{pmatrix}a & b & c\end{pmatrix} \times A^{-1}$.

\item Si $P$ est solution du système $A \times X=B$ et du système $A'X=B'$, alors $P$ est solution du système $(A+A')\times X = B + B' $.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Faux. La matrice associée est 
$\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0\\
1 & 0 & -2 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}$.

\item \textit{Vrai}. La calculatrice montre que la matrice associée est inversible, donc que le système a une solution unique pour toutes valeurs données aux constantes $a$, $b$ et $c$.

\item \textit{Faux}. Dans un système linéaire, on utilise des matrices colonnes. La matrice solution est alors $A^{-1}\begin{pmatrix}
a \\ b \\ c
\end{pmatrix}$.

\item \textit{Vrai}. Si $P$ est solution de chacun des systèmes, alors $AP=B$ et\linebreak[4] $A'P=B'$.
Or,  $(A+A')P=AP+AP'=B+B'$, ce qui montre que $P$ est solution de $(A+A')X=B+B'$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{vf}{Opérations diverses}{20}
Dire, pour chacune des propositions ci-dessous, si elles sont vraies ou fausses. Justifier.

\begin{questions}
\item Pour toutes matrices carrées $A$ et $B$ de même ordre, on a : \[ A^2 - B^2 = (A + B)(A -B).\]
\item Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $p$ et $I$ la matrice identité d'ordre $p$. On a : $A^2 - I^2 = (A-I)(A + I)$.
\item Soit $A$ une matrice carrée d'ordre 2 telle que $A^2 = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$.

Alors la matrice $A$ est nécessairement la matrice nulle.

\item Soit $a$ un nombre réel et $A$ la matrice carrée définie par $A = \begin{pmatrix}a&1\\1&a\end{pmatrix}$.

La matrice $A$ est inversible pour tout réel $a$.

\item Une écriture matricielle du système $\begin{cases}
x+z&=-1\\
x-2y&=0\\
y+3z&=1
\end{cases}$ est : \[\begin{pmatrix}
1&0&1\\1&-2&0\\1&3&0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}.\]

\item Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $p$ inversible.

On a : $A^3 \times A^{-1} = A^2$.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item  \textit{Faux}. $(A + B)(A-B)=A^2- AB + BA - B^2$.

Mais en général, $AB\neq BA$, donc l'identité proposée est fausse. 

\item \textit{Vrai}. $(A-I)(A + I) = A^2 + AI - IA - I^2 = A^2 + A - A - I^2 = A^2 - I^2$.

\item \textit{Faux}. Par exemple, si $A = \begin{pmatrix}
-2&-4\\1&2\end{pmatrix}$, $A^2 = \begin{pmatrix}
0&0\\0&0\end{pmatrix}$.

\item \textit{Faux}. Le déterminant de $A$ est $a^2 - 1$, et il s'annule pour $a = 1$ et $a = -1$.

\item \textit{Faux}. La matrice carrée est : $\begin{pmatrix}
1&0&1\\1&-2&0\\0&1&3\end{pmatrix}$.

\item \textit{Vrai}. En effet, $A^3 \times A^{-1} = A^2 \times A \times A^{-1} = A^2 \times I = A^2$.
\end{questions}
\end{corrige}



\subsectionnn{Opérations sur les matrices}

\begin{exo}{Sommes et produits}{Lycée François Rabelais, Saint-Brieuc}{1}{15}
On considère les matrices:\enlargethispage*{4\baselineskip}

\hspace*{-4ex}
$A=\begin{pmatrix}
-2&0&1\\1&-1&0\\3&0&1\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}1&-2&-1\\2&2&0\\3&0&1\end{pmatrix},\ C=\begin{pmatrix}1&1\\2&0\\0&-1\end{pmatrix},\ D=\begin{pmatrix}-1&0&1\end{pmatrix}$.
\Par
Calculer: $A+B$, $-3A$, $A \times C$ et $D\times C$.
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{itemize}
\item $A+B=\begin{pmatrix}-2+1&0-2&1-1\\1+2&-1+2&0+0\\3+3&0+0&1+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-1&-2&0\\3&1&0\\6&0&2\end{pmatrix}$.

\item $-3A=\begin{pmatrix}-2\times(-3)&0\times(-3)&1\times(-3)\\1\times(-3)&-1\times(-3)&0\times(-3)\\3\times(-3)&0\times(-3)&1\times(-3)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6&0&-3\\-3&3&0\\-9&0&-3\end{pmatrix}$.

\item $A \times C = \begin{pmatrix}-2\times1+0\times2+1\times0 & -2\times1+0\times0+1\times(-1)\\
1\times1-1\times2+0\times0 & 1\times1-1\times0+0\times(-1)\\
3\times1+0\times2+1\times0 & 3\times1+0\times0+1\times(-1)
 \end{pmatrix}$
 
 donc $A\times C = \begin{pmatrix}-2 & -3\\-1 & 1\\3 & 2\end{pmatrix}$.
 
 \item $D \times C = \begin{pmatrix} -1\times1+0\times2+1\times0 & -1\times1+0\times0+1\times(-1) \end{pmatrix}$
 
 soit $D \times C = \begin{pmatrix}-1 & -2 \end{pmatrix}$.
\end{itemize}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{Puissances d'une matrice}{Lycée Charlemagne, Paris}{1}{15}
Soit la matrice définie par $A=\begin{pmatrix}
0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}$. 

$I$ est la matrice identité d'ordre 3.

\begin{questions}
\item Calculer $A^2$ et montrer que $A^2 = A + 2I$.
\item En déduire $A^3$ en fonction de $A$ et de $I$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $A^2=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2 \end{pmatrix}$.

$\begin{aligned}[t]
A+2I&=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2 \end{pmatrix}\\
&=A^2.
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
A^3 &=A\times A^2\\
&=A\times(A+2I)\\
&=A^2+2AI\\
&=A+2I+2A\\
&= 3A + 2I.
\end{aligned}$
\end{questions}
\end{corrige}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{Systèmes d'équations linéaires}{Lycée Virlogeux, Riom}{1}{15}
Donner l'écriture matricielle de chacun des systèmes suivants, puis les résoudre en effectuant des calculs matricielles à la calculatrice.

\begin{questions}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\item $S_1\;:\;\begin{cases}
y+z&=1\\
x+z&=1\\
x+y&=1
\end{cases}$
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\item $S_2\;:\;\begin{cases}
2x-y+z&=7\\
x+y-z&=4\\
4x+7y+2z&=0
\end{cases}$
\end{minipage}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item L'écriture matricielle de $S_1$ est : $A\times X = B$ avec :
\[
A = \begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}\quad,\quad X = \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\quad\text{et}\quad B = \begin{pmatrix}1\\1\\1 \end{pmatrix}.
\]

$X = A^{-1}\times B$, et la calculatrice donne : 
\[ S = \big\{(0,5~; 0,5~; 0,5)\big\}. \]

\item L'écriture matricielle de $S_2$ est $A\times X = B$ avec :

\[
A = \begin{pmatrix}2&-1&1\\1&1&-1\\4&7&2\end{pmatrix} \quad , \quad X = \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}  \quad \text{et} \quad B = \begin{pmatrix}7\\4\\0 
\end{pmatrix}.\]

$X = A^{-1}\times B$.

\`A la calculatrice, on obtient :
\[ S = \left\{\left(\dfrac{11}{3}~;-\dfrac{14}{9}~; -\dfrac{17}{9}\right) \right\}.\]
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{Matrice inverse}{Lycée François Rabelais, Saint-Brieuc}{1}{20}
\begin{questions}
\item Pour chacune des matrices suivantes, justifier l'existence ou non de la matrice inverse et déterminer, si elle existe, la matrice inverse.
\begin{questions}
\begin{multicols}{2}
\item $A = \begin{pmatrix}5&5\\4&6\end{pmatrix}$
\item $B=\begin{pmatrix}3,5 & 4\\-7 & -8\end{pmatrix}$.
\end{multicols}
\end{questions}

\item On considère la matrice $C=\begin{pmatrix}a & 1\\b & 2
\end{pmatrix}$, où $a$ et $b$ sont deux réels.
\begin{questions}
\item Quelle relation existe-t-il entre $a$ et $b$ lorsque $C$ n'est pas inversible ?
\item Déterminer $a$ et $b$ tels que $C$ est inversible et $C^{-1}=C$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \begin{aretenir}
Pour voir si une matrice carrée d'ordre 2 est inversible on vérifie que son déterminant est différent de zéro.
\end{aretenir}

\begin{questions}
\item $A = \begin{pmatrix}5&5\\4&6\end{pmatrix}$ donc $\det(A)=5\times6 - 4\times5 = 10 \neq 0$.

Ainsi, $A$ est inversible.

Posons donc $A^{-1}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$. On a alors:
\begin{align*}
A\times A^{-1}=I_2 & \iff \begin{pmatrix}5&5\\4&6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\\
& \iff \begin{pmatrix}5a+5c & 5b+5d\\4a+6c & 4b+6d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\\
& \iff \begin{cases}
5a+5c=1&(E_1)\\
5b+5d=0&(E_2)\\
4a+6c=0&(E_3)\\
4b+6d=1&(E_4)
\end{cases}
\end{align*}
On peut déjà écrire que $b=-d$ (équation $(E_2)$) et $a=-\dfrac{3}{2}c$ (équation $(E_3)$). L'équation $(E_4)$ donne alors:
\[
-4d+6d=1 \iff d=\dfrac{1}{2}.
\]
L'équation $(E_1)$ donne ensuite:
\[
-\dfrac{15}{2}c+5c=1 \iff -\frac{5}{2}c=1 \iff c = -\frac{2}{5}.
\]
Ainsi,
\[
A^{-1} = \begin{pmatrix}\frac{3}{5} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{2}{5} & \frac{1}{2}\end{pmatrix}.
\]

\item $B=\begin{pmatrix}3,5 & 4\\-7 & -8\end{pmatrix}$ donc $\det(B)=3,5\times (-8) - (-7)\times 4 = -28+28=0$.

Ainsi, $B$ n'est pas inversible.
\end{questions}

\item 
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
C \text{ n'est pas inversible } & \iff \det(C)=0\\
& \iff 2a-b=0\\
& \iff b=2a.
\end{aligned}$

\item $C$ est inversible donc nécessairement, $b\neq2a$. De plus,
\begin{align*}
C = C^{-1} & \iff C \times C = C^{-1} \times C\\
& \iff C^2 = I_2\\
& \iff \begin{pmatrix}a & 1\\b&  2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a & 1\\b&  2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\\
& \iff \begin{pmatrix}a^2+b & \color{DR}a+2\\ab+2b & \color{DB}b+4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&\color{DR}0\\0&\color{DB}1\end{pmatrix}\\
& \iff {\color{DR}a=-2},\ {\color{DB}b=1-4=-3}.
\end{align*}

\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{Puissances et déduction}{Lycée François Rabelais, Saint-Brieuc}{2}{10}
On considère la matrice $A=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&-1&1\\1&-2&0\end{pmatrix}$. 

On donne: $A^2=\begin{pmatrix}3&-4&2\\1&-1&-1\\1&2&0\end{pmatrix}$ et $A^3=\begin{pmatrix}5&0&2\\0&3&1\\1&-2&4\end{pmatrix}$.

Calculer $A^3-A$, puis en déduire que $A$ est inversible. Déterminer alors $A^{-1}$.
\end{exo}

\begin{corrige}
On a:
\[
A^3-A=\begin{pmatrix}5&0&2\\0&3&1\\1&-2&4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3&-4&2\\1&-1&-1\\1&2&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4&0&0\\0&4&0\\0&0&4\end{pmatrix}=4I_3.
\]
On en déduit alors que:
\[
(A^2-I_3)A=4I_3\qquad\text{soit}\qquad\dfrac{1}{4}(A^2-I_3)A=I_3.
\]
En posant $B=\dfrac{1}{4}(A^2-I_3)$, on a alors $B \times A = I_3$.

De même, $A \times B = A \times \dfrac{1}{4}(A^2-I_3) = \dfrac{1}{4}A(A^2-I_3)A=I_3$.

On a alors $AB = BA = I_3$, donc $A$ est inversible et:
\[
A^{-1} = \dfrac{1}{4}(A^2-I_3) = \dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}2&-4&2\\1&-2&-1\\1&2&-1\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & -1 & \frac{1}{2}\\[4pt]
\frac{1}{4} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{4}\\[4pt]
\frac{1}{4} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{4}
\end{pmatrix}.
\]
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsectionnn{Matrices et suites}

\begin{exo}{États probabilistes}{Lycée Charlemagne, Paris}{2}{20}
Deux fabricants de parfums lancent simultanément leur nouveau produit qu'ils appellent Aurore et Boréale.

Afin de promouvoir celui-ci, chacun organise une campagne de publicité. L'un d'eux contrôle l'efficacité de sa campagne par des sondages hebdomadaires. Chaque semaine, il interroge les mêmes personnes qui toutes se prononcent en faveur de l'un de ces deux produits.

Au début de la campagne, 20\% des personnes interrogées préfèrent Aurore (et les autres préfèrent Boréale).

Les arguments publicitaires font évoluer cette répartition : 10\% des personnes interrogées préférant Aurore et 15\% des personnes interrogées préférant Boréale changent d'avis d'une semaine sur l'autre.

La semaine du début de campagne est notée semaine 0.

Pour tout entier naturel $n$, on désigne par la matrice ligne $P_n = \begin{pmatrix}a_n & b_n\end{pmatrix}$ l'état probabiliste la semaine $n$, où $a_n$ désigne la probabilité qu'une personne interrogée au hasard préfère Aurore la semaine $n$ et $b_n$ la probabilité qu'une personne choisie au hasard préfère Boréale la semaine $n$.

\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item Donner la matrice $P_0$.
\item Cette situation peut être assimilée à une marche aléatoire sur un graphe à deux sommets.

Écrire la matrice de transition $M$ entre les états de cette marche aléatoire.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item Calculer $P_1$ à la main, en détaillant le calcul.
\item Exprimer, pour tout $n$, $P_n$ en fonction de $P_0$ et $n$.
\item En déduire $P_4$ à l'aide de la calculatrice (on donnera des valeurs approchées au centième) et interpréter ce résultat.
\end{questions}

\item Le fabricant de parfum qui a lancé la campagne estime qu'en fait chaque semaine seuls 80\% des consommateurs voient leur comportement influencé comme décrit ci-dessus par la publicité. Les 20\% restants choisissent de façon équiprobable un des deux parfums.
On garde les notations des autres questions ($P_n$ et $M$)

\begin{questions}
\item Établir, pour tout $n\geqslant0$, une relation entre $P_{n+1}$ et $P_n$ faisant intervenir la matrice $M$ et la matrice ligne $N = \begin{pmatrix}0,5&0,5 \end{pmatrix}$.

\item Si les conditions initiales sont celles du début du problème, déterminer, à l'aide de la calculatrice, l'état probabiliste des choix de parfums après 4 semaines de publicité (arrondir les résultats au centième).
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item $P_0=\begin{pmatrix}0,2&0,8\end{pmatrix}$.
\item $M=\begin{pmatrix}0,9&0,1\\0,15&0,85\end{pmatrix}$.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
P_1&=P_0\times M=\begin{pmatrix}
0,2\times0,9+0,8\times0,15 & 0,2\times0,1+0,8\times0,85
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}0,3&0,7\end{pmatrix}.
\end{aligned}$
\item $P_n=P_0\times M^n$.
\item $P_4=P_0\times M^4\approx\begin{pmatrix}0,47 & 0,53\end{pmatrix}$.

Au bout de 4 semaines, la probabilité qu'une personne interrogée préfère le parfum Aurore est environ 0,47, et la probabilité qu'elle préfère Boréale est environ 0,53.
\end{questions}

\item 
\begin{questions}
\item $P_{n+1}=0,8\times P_n\times M+0,2\times N$.

\item On obtient successivement : 
\begin{itemize}
\item $P_1=\begin{pmatrix}0,34 & 0,66\end{pmatrix}$ ;
\item $P_2=\begin{pmatrix}0,424 & 0,576\end{pmatrix}$ ;
\item $P_3=\begin{pmatrix}\numprint{0,4744} & \numprint{0,5256}\end{pmatrix}$ ;
\item $P_4\approx\begin{pmatrix}0,50 & 0,50\end{pmatrix}$.
\end{itemize}
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{Suites et matrices}{Lycée Charlemagne, Paris}{2}{25}
On considère la suite $u$ définie par : 
\[
\begin{cases}
u_0=3\\
u_1=8\\
u_{n+2}=5u_{n+1}-6u_n\quad,\quad\forall n\in\N.
\end{cases}
\]

\begin{questions}
\item Calculer $u_2$ et $u_3$.

\item Pour tout entier naturel $n$, on note $C_n$ la matrice colonne $\begin{pmatrix}u_{n+1}\\u_n\end{pmatrix}$.

On note $A$ la matrice carrée d'ordre 2 telle que, pour tout entier naturel $n$, $C_{n+1} = AC_n$.

Déterminer $A$ et prouver que, pour tout entier naturel $n$, $C_n = A^nC_0$.

\item Soient $P=\begin{pmatrix}2&3\\1&1\end{pmatrix}$, $D=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}$ et $Q=\begin{pmatrix}-1&3\\1&-2\end{pmatrix}$.

\begin{questions}
\item Calculer $QP$.
\item On admet que $A = PDQ$.

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul $n$, \[ A^n = PD^nQ.\]
\end{questions}

\item \`A l'aide des questions précédentes, on peut établir le résultat suivant, qu'on admet : pour tout entier naturel $n$ non nul, 
\[
A^n=\begin{pmatrix}
-2^{n+1}+3^n & 3\times2^{n+1}-2\times3^{n+1}\\
-2^n+3^n & 3\times2^n-2\times3^n
\end{pmatrix}.
\]

En déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$.

La suite $u$ a-t-elle une limite ?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On obtient : $u_1 = 22$ et $u_2 = 62$.

\item $A =\begin{pmatrix}5&-6\\1&0\end{pmatrix}$.

Le résultat est assez évident, mais par rigueur on peut faire une récurrence.

\begin{itemize}
\item La propriété est évidemment vraie au rang 0.
\item Supposons la propriété vraie au rang $k$, c'est-à-dire $C_k = A^kC_0$.

On a $C_{k+1} = AC_k$, donc $C_{k+1}=A\times A^kC_0 = A^{k+1}C_0$.
\end{itemize}

On a montré que la propriété est vraie au rang 0, et que, si elle est vraie à un rang $k$ quelconque, elle est aussi vraie au rang $k + 1$, elle est donc vraie pour tout $n$.

\item 
\begin{questions}
\item $QP=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2$. Cela signifie que $Q$ est l'inverse de $P$.

\item 
\begin{itemize}
\item Initialisation : $A^1 = PDQ$ : c'est ce qu'on admet d'après l'énoncé donc la propriété est vraie au rang 1.
\item Hérédité : supposons la propriété vraie à un rang $k$ supérieur ou égal à 1, c'est-à-dire : $A^k = PD^kQ$.
\begin{align*}
A^{k+1} & = A \times A^k\\
& = PDQ \times PD^kQ\\
& = PD\times(QP)\times D^kQ\\
& = P\times D\times D^k \times Q\quad\text{car }QP=I_2\\
& = P\times D^{k+1}\times Q
\end{align*}
\end{itemize}

Donc pour tout $n$, $A^n = PD^nQ$.
\end{questions}

\item D'après ce qui précède on a :
\[
\begin{pmatrix}u_{n+1}\\u_n\end{pmatrix} = A^n\begin{pmatrix}u_1\\u_0\end{pmatrix}=A^n\begin{pmatrix}
8\\3\end{pmatrix}.
\]

De plus, $D^n =\begin{pmatrix}2^n & 0\\0 & 3^n\end{pmatrix}$ (si vous n'êtes pas convaincus, cela se démontre aisément par récurrence).

On peut en déduire $A^n$, dont seuls deux termes nous intéressent. On en déduit donc en effectuant partiellement le produit matriciel : 
\[
u_n=8(-2^n+3^n)+3(3\times2^n-2\times3n)=2^n+2\times3^n.
\]
2 et 3 étant supérieurs à 1, $\lim\limits_{n\to+\infty}2^n=\lim\limits_{n\to+\infty}3^n=+\infty$. 

Par conséquent, la suite diverge vers $+\infty$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{Suite de matrices}{Lycée Notre-Dame-du-Grandchamp, Versailles}{3}{30}
Dans un pays, deux opérateurs de téléphonie mobile AFR et BFM se partagent le marché.

En 2005, AFR en contrôlait 80\%, et BFM 20\%. Mais la concurrence fait rage. On a observé, dans les années suivantes, que d'une année sur l'autre :

\begin{itemize}
\item 60\% de la clientèle de AFR lui reste fidèle, tandis que 40\% passent chez BFM.
\item 70\% de la clientèle de BFM lui reste fidèle, tandis que 30\% passe chez AFR.
\end{itemize}

Ces proportions sont stables ; il n'y a pas de fuite de clientèle vers des opérateurs étrangers, et il n'y a pas d'abandon de consommation de ces produits.

Pour tout entier naturel $n$, on note respectivement $a_n$ et $b_n$ les parts de marché de AFR et BFM en l'année $(2005+n)$. Ainsi, $a_0=0,8$ et $b_0=0,2$.

\begin{questions}
\item Traduire l'énoncé pour obtenir le système d'équations donnant $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.
\item On pose $(U_n)$ la suite de matrices colonnes telle que $U_n = \begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}$.

\begin{questions}
\item Traduire le système d'équations sous forme matricielle\linebreak $U_{n+1}=AU_n$. Donner $A$.
\item En déduire l'expression de $U_n$ en fonction de $U_0$.
\item \`A l'aide de la calculatrice, donner les parts de marché de AFR et BFM en 2020.
\end{questions}

\item 
\begin{questions}
\item De la relation $a_n+b_n=1$, déterminer les matrices $D$ et $E$ telles que : $U_{n+1}=DU_n+E$, où $D$ est une matrice diagonale et $E$ une matrice colonne.
\item Déterminer la matrice colonne $C$ telle $C=DC+E$.
\item On pose la suite de matrices $(X_n)$ telle que pour tout entier naturel $n$, $X_n=U_n-C$.

Montrer que $X_{n+1}=DX_n$.
\item En déduire l'expression de $X_n$, puis de $U_n$, en fonction de $n$.
\item Montrer alors que $U$ converge vers $C$. Interpréter.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item D'après l'énoncé, on a : $\begin{cases}
a_{n+1} = 0,6a_n+0,3b_n\\
b_{n+1} = 0,4a_n+0,7b_n
\end{cases}$.

\item
\begin{questions}
\item On a : $U_{n+1} = AU_n$ avec $A = \begin{pmatrix}
0,6 & 0,3\\
0,4 & 0,7
\end{pmatrix}$.

\item On a donc : $U_n = A^nU_0$.

\item On obtient alors $U_{15}\approx\begin{pmatrix}0,43\\0,57\end{pmatrix}$.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item En utilisant $a_n+b_n=1$, on obtient :
\begin{align*}
\begin{cases}
a_{n+1} = 0,6a_n+0,3b_n\\
b_{n+1} = 0,4a_n+0,7b_n
\end{cases} &
\iff
\begin{cases}
a_{n+1} = 0,6a_n+0,3(1-a_n)\\
b_{n+1} = 0,4(1-b_n)+0,7b_n
\end{cases}\\
&
\iff
\begin{cases}
a_{n+1} = 0,3a_n+0,3\\
b_{n+1} = 0,3b_n+0,4
\end{cases}
\end{align*}
Donc, $\begin{pmatrix}
a_{n+1}\\b_{n+1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0,3 & 0\\
0 & 0,3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_n\\b_n
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
0,3\\0,4
\end{pmatrix}$.

On a donc $D =\begin{pmatrix}
0,3 & 0\\
0 & 0,3
\end{pmatrix}$ et $E = \begin{pmatrix}
0,3\\0,4
\end{pmatrix}$.

\item On pose $C = \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$.
\[
C=DC+E\iff \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
0,3a\\0,3b\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0,3\\0,4
\end{pmatrix}.
\]
On a donc : $a = 0,3a + 0,3$ et $b = 0,3 b + 0,4$, donc $a = \dfrac{3}{7}$ et $b =\dfrac{4}{7}$, et donc $C = \begin{pmatrix}
\frac{3}{7}\\[6pt]\frac{4}{7}\end{pmatrix}$.

\item On a : 
\begin{align*}
X_{n+1} &  = U_{n+1} - C \\
        & = DU_n +E- C \\
        & = DU_n-DC\\
        & = D(U_n-C)\\
        & = DX_n.
\end{align*}

\item Par analogie avec les suites géométriques, on a donc :
\[
X_n = D^nX_0 =\begin{pmatrix}0,3^n & 0\\0 & 0,3^n
\end{pmatrix}\dbinom{\frac{13}{35}}{-\frac{13}{35}}\]  
car :
\[
X_0 = U_0 - C = \begin{pmatrix}0,8\\0,2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{7}\\[6pt]\frac{4}{7}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{13}{35}\\[6pt]-\frac{13}{35}\end{pmatrix}.
\]
On a ensuite : 
\begin{align*}
U_n &= X_n + C\\
& = \begin{pmatrix}0,3^n & 0\\0 & 0,3^n
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{13}{35}\\[6pt]-\frac{13}{35}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\frac{3}{7}\\[6pt]\frac{4}{7}\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}\frac{13}{35}\times0,3^n+\frac{3}{7}\\[6pt]-\frac{13}{35}\times0,3^n+\frac{4}{7}\end{pmatrix}.
\end{align*}

\item 0,3 est strictement compris entre $-1$ et 1, donc $\lim\limits_{n\to+\infty}0,3^n=0$.

On peut donc en conclure que $\lim\limits_{n\to+\infty}U_n=\begin{pmatrix}\frac{3}{7}\\[6pt]\frac{4}{7}\end{pmatrix} = C$.

Ceci signifie qu'au bout d'un grand nombre d'années, le marché va se stabiliser, AFR ayant 3 parts sur 7 et BFM 4 parts sur 7.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}



\sectionnn{Graphes}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{vf}{Sauts de puces}{10}
Une puce saute d'un sommet à l'autre d'un triangle. Arrivée à un sommet, elle saute sur un des deux autres choisis au hasard.

Les sommets sont numérotés 1, 2 et 3. On considère $X_n$ la variable aléatoire égale au numéro du sommet atteint au $n$\ieme{} saut.

On note $P_n$ la matrice ligne  $\begin{pmatrix}
P(X_n =1) & P(X_n =2) & P(X_n=3)
\end{pmatrix}$.

La puce part du sommet 1.

\begin{questions}
\item La matrice de transition du graphe associé à cette marche aléatoire est :
\[ 
\begin{pmatrix}
\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\[6pt]
\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\[6pt]
\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} 
\end{pmatrix}.
\]

\item $P_0 = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}$.

\item $P_1 = \begin{pmatrix}0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{pmatrix}$.

\item Après un grand nombre de sauts, la puce a moins de chance de se retrouver au sommet de départ qu'aux autres sommets.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{center}
\includegraphics{000_exos_matrice.eps}
\end{center}
\begin{questions}
\item \textit{Faux}. La puce n'a le choix qu'entre deux directions à partir de chaque sommet.
\[
M = \begin{pmatrix}
0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\[6pt]
\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\[6pt]
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0
\end{pmatrix} \]

\item \textit{Faux}. $P_0 = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}$. 

\item \textit{Vrai}. $P_1 = P_0 \times M = 
\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}
\end{pmatrix}$. 

\item \textit{Faux}. Si $S = \begin{pmatrix}a & b & c\end{pmatrix}$ est une distribution invariante du système, alors $S = SM$ et $a$, $b$ et $c$ sont solution du système :
\[ \left\{
\begin{aligned}
2a &= b+c \\
2b &= a+c, \text{ avec $a+b+c=1$.} \\
2c &= a+b
\end{aligned} \right.
\]
Chaque équation étant obtenue à partir d'une autre par permutation de $a$, $b$, $c$, on voit que  s'il y a des solutions, alors $a=b=c$. Donc la distribution invariante correspond à l'équiprobabilité des 3 positions.

Si l'état probabiliste converge, c'est vers la distribution invariante, donc au bout d'un grand nombre de sauts, la puce n'a donc pas plus de chance d'être sur un sommet plutôt qu'un autre.
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 2026

\begin{exo}{Représentation sagittale}{Lycée François Rabelais, Saint-Brieuc\newexo}{1}{5}
\begin{questions}
\item Représenter par un graphe probabiliste une chaîne de Markov à 2 états dont la matrice de transition est $\begin{pmatrix}0,29 & 0,71\\0,13 & 0,87\end{pmatrix}$.

\item Représenter par un graphe probabiliste une chaîne de Markov à 3 états dont la matrice de transition est $\begin{pmatrix}0,2 & 0,1 & 0,7\\0,55 & 0,3 & 0,15\\0,6 & 0,28 & 0,12\end{pmatrix}$
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Voici un graphe probabiliste à deux états dont la matrice de transition est celle de l'énoncé:
\includegraphics{000_graphe-reprsag1}
\item Voici un graphe probabiliste à trois états dont la matrice de transition est celle de l'énoncé:
\begin{center}
\includegraphics{000_graphe-reprsag2}
\end{center}
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 2026

\begin{exo}{Chaîne de Markov et système linéaire}{Lycée François Rabelais, Saint-Brieuc\newexo}{1}{15}
On considère une chaîne de Markov à 2 états de matrice de transition $T=\begin{pmatrix}\frac{2}{3} & \frac{1}{3}\\[4pt]\frac{1}{6} & \frac{5}{6}\end{pmatrix}$. Soit $\pi=\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix}$ sa distribution invariante.
\begin{questions}
\item Justifier que le couple $(x;y)$ est solution du système $(S):\begin{cases}2x-y&=0\\x+y&=1\end{cases}$.
\item Résoudre $(S)$ et en déduire la valeur de $\pi$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Par définition, $\pi = \pi T$, d'où:
\enlargethispage*{5em}
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
x&y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x & y
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{2}{3} & \frac{1}{3}\\[4pt]\frac{1}{6} & \frac{5}{6}
\end{pmatrix}
& \iff
\begin{pmatrix}
x & y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{2}{3}x+\frac{1}{6}y & \frac{1}{3}x+\frac{5}{6}y
\end{pmatrix}\\
& \iff \begin{cases}
x & = \frac{2}{3}x+\frac{1}{6}y \\
y& = \frac{1}{3}x+\frac{5}{6}y
\end{cases}\\
& \iff \begin{cases}
\frac{1}{3}x - \frac{1}{6}y & = 0\\
\frac{1}{3}x - \frac{1}{6}y & = 0
\end{cases}
\end{align*}
\newpage
On obtient deux équations identiques (ce qui est normal). Cependant, il ne faut pas oublier que nous avons un graphe \textit{probabiliste} et donc que $x+y=1$ (la somme des probabilités est toujours égale à 1). 

On a donc bien deux égalités sur $x$ et $y$:
$
\begin{cases}
2x-y=0&(L_1)\\
x+y=1&(L_2)
\end{cases}
$

\item En faisant $(L_1)+(L_2)$, on a: $3x=1$, soit $x=\dfrac{1}{3}$. 

On en déduit alors que $y=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$. Ainsi, $\pi=\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3}
\end{pmatrix}$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Lancer de balle}{Lycée François Rabelais, Saint-Brieuc}{3}{30}
Aline, Benjamin et Chloé s'amusent en se lançant une balle.
\begin{itemize}
\item Quand Aline a la balle, elle l'envoie à Benjamin avec une probabilité de 0,75 et à Chloé avec une probabilité de 0,25.
\item Quand Benjamin a la balle, il l'envoie à Aline avec une probabilité de 0,75 et à Chloé sinon.
\item Chloé envoie toujours la balle à Benjamin.
\end{itemize}
Au début du jeu, Aline a la balle.

On note $A$ l'état : « Aline a la balle », $B$ l'état : « Benjamin a la balle » et $C$ l'état : Chloé a la
balle ».
\begin{questions}
\item En considérant les états $A$, $B$ et $C$ dans cet ordre, écrire la matrice de transition $T$ associée à la  chaîne de Markov.
\item
\begin{questions}
\item Donner la distribution initiale $\pi_0$.
\item Calculer la probabilité qu'Aline ait la balle au bout du cinquième lancer.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item On pose $P=\begin{pmatrix}1&1&5\\1&1&-9\\1&-4&12\end{pmatrix}$. 

Déterminer, à l'aide de la calculatrice, $D=P^{-1}TP$.
\item Exprimer $T^n$ pour tout entier naturel $n$.
\item En déduire, en fonction de $n$, la probabilité qu'Aline ait la balle au bout du $n$-ième lancer.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item La matrice de transition associée à cette chaîne de Markov est la suivante:
\[
T = \begin{pmatrix}
0 & 0,75 & 0,25\\
0,75 & 0 & 0,25\\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}.
\]

\item
\begin{questions}
\item Au début du jeu, Aline a la balle donc la distribution initiale est $\pi_0=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}$.

\item Pour tout entier naturel $n$,  $\pi_n = \pi_0 T^n$ donc:
\[
\pi_5 = \pi_0 T^5 \approx \begin{pmatrix}
0,258 & 0,542 & 0,2
\end{pmatrix} \quad\text{(à la calculatrice)}
\]
Ainsi, la probabilité qu"Aline ait la balle au bout du cinquième lancer est d'environ 0,258.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item À l'aide de la calculatrice, on trouve que $D=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & -0,25 & 0\\
0 & 0 & -0,75
\end{pmatrix}$.

\item Pour tout entier naturel $n$, on a:
\[
D^n = \big(P^{-1}TP\big)^n = P^{-1}T\underbrace{PP^{-1}}_{=I_3}TP\cdots P^{-1}TP =  P^{-1} T^n P.
\]
On en déduit alors:
\[
P D^n P^{-1} = P P^{-1} T^n P P^{-1} = T^n
\]
soit:
\[
T^n = \begin{pmatrix}1&1&5\\1&1&-9\\1&-4&12\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & (-0,25)^n & 0\\
0&0&(-0,75)^n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{12}{35} & \frac{16}{35} & \frac{1}{5}\\
\frac{3}{10} & -\frac{1}{10} & -\frac{1}{5}\\
\frac{1}{14} & -\frac{1}{14} & 0
\end{pmatrix}
\]
On ne va pas chercher à aller plis loin dans ce genre de calculs car cela devient très vite fastidieux.

\item On a:
\begin{align*}
\pi_n &= \begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&5\\1&1&-9\\1&-4&12\end{pmatrix}D^nP^{-1}\\
& = \begin{pmatrix}1&1&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & (-0,25)^n & 0\\
0&0&(-0,75)^n
\end{pmatrix}P^{-1}\\
& = \begin{pmatrix}1 & (-0,25)^n & 5\times(-0,75)^n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\frac{12}{35} & \frac{16}{35} & \frac{1}{5}\\
\frac{3}{10} & -\frac{1}{10} & -\frac{1}{5}\\
\frac{1}{14} & -\frac{1}{14} & 0
\end{pmatrix}
\end{align*}
Ainsi, la probabilité qu'Aline ait la balle au $n$-ième lancer est:
\[
\dfrac{12}{35}+\frac{3}{10}(-0,25)^n+\dfrac{5}{14}(-0,75)^n
\]
(on ne développe que les calculs sur la première colonne de $P^{-1}$).
\begin{Remarque}
on peut en déduire qu'à longs termes, cette probabilité sera proche de $\dfrac{12}{35}$ car $\lim\limits_{n\to+\infty}(-0,25)^n=\lim\limits_{n\to+\infty}(-0,75)^n=0$.

Dans un cas général, la distribution invariante du système est:
\[
\pi=\begin{pmatrix}
\dfrac{12}{35} & \dfrac{16}{35} & \dfrac{1}{5}\end{pmatrix}.
\]
\end{Remarque}
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}


\thumb
\AfficheCorrige
\endinput
